高考数学二轮复习专题11 导数（理科）解答题30题 教师版

这是一份高考数学二轮复习专题11 导数（理科）解答题30题 教师版，共45页。试卷主要包含了已知函数，其中，已知函数.，已知函数，，为自然对数的底数，已知函数等内容，欢迎下载使用。

专题11 导数（理科）解答题30题

1．（黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高三上学期月考数学 (理)试题）已知函数．
（1）若，求曲线在处切线的斜率；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)当时，的单调递增区间为
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅲ）.
【详解】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用．
（1）利用导数的几何意义求解切线方程关键是切点坐标和该点的导数值．
（2）求解定义域和导数，利用导数的正负与函数单调性的关系得到结论．
（3）由已知，转化为.
由(Ⅱ)知，当a0时，f(x)在x>0上单调递增，值域为R，故不符合题意.
当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，进而得到．
解(Ⅰ)由已知，
.
曲线在处切线的斜率为.
(Ⅱ).
①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为.
②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅲ）由已知，转化为.

由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，
解得.
2．（贵州安顺市2023届上学期高三期末数学（理）试题）已知函数，其中．
(1)当时，试判断函数的零点个数；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断；
（2）令结合题意分析可得：当时恒成立，利用参变分离结合导数处理恒成立问题.
【详解】（1）当时，则在定义域上单调递增，
∵，
∴函数的零点个数为1.
（2）由（1）可知：在定义域上单调递增，则的值域为R，
由，令，
若恒成立，等价于当时恒成立，即当时恒成立，
令，则
令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
故实数的取值范围为.
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式有：
①；
②.
3．（贵州省毕节市部分学校2023届高三上学期12月联合考试数学（理）试题）已知函数.
(1)若，证明：存在唯一的极值点.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）求导得到，根据零点存在性定理得到在上存在唯一一个零点，即可得到在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点；
（2）将，转化为，然后分或和两种情况讨论在上的单调性，令，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，，
因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，
，，所以在上存在唯一一个零点，且当时，，时，，
所以在上单调递增，上单调递减，存在唯一的极值点.
（2），可以转化为，
，在上单调递减，
当，即或时，在上大于零，在上单调递增，所以，解得，
所以或；
当时，，时，，所以在上存在一个零点，，
所以在上单调递增，上单调递减，
，
因为，所以，，，则，所以成立；
综上可得，的取值范围为.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
4．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（文）试题）已知函数，，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递减．当时，时，单调递增，当时，单调递减．
(2)

【分析】（1）对函数求导，讨论，即可求出的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，即在时恒成立，令，利用导函数法求出即可得出答案.
（1），①当时，，在上单调递减．②当时，令，得，当时，单调递增；当时，，单调递减．
（2）当时，恒成立，即在时恒成立，令，则，令，则，易知在上单调减函数，∴，∴在上单调递减，∴．①当，即，，∴在上单调递减，此时，符合题意；②当，即时，，时，，∴使得，则时，，单调递增，∴，不符合题意．综上所述，．
5．（江苏省扬州市宝应区曹甸高级中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题）已知函数
(1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数在[1,4]上单调递减，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意整理函数的函数解析式，明确定义域并求导，构造函数，将问题转化为不等式在闭区间有解问题，分情况讨论，利用二次函数的性质，可得答案；
（2）由题意，将问题转化为不等式在闭区间上恒成立问题，利用分情况求最值，可得答案.
【详解】（1）由，易知其定义域为，则，
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，
当时，不等式为，解得，则当时，不等式成立，符合题意；
令，
当时，函数为开口向下的二次函数，则在上必定有解，符合题意；
当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为直线，令，解得，即时，在上有解，符合题意；
综上，.
（2）由（1）可知，，令，
由函数在[1，4]上单调递减，则在上恒成立，
当时，由（1）可知，，解得，则函数在上单调递减，符合题意；
当时，函数为开口向下的二次函数，其对称轴为直线，则函数在上单调递减，即，
令，解得，符合题意；
当时，函数为开口向上的二次函数，其对称轴为直线，
①当，即时，则函数在上，令，解得，即当时，符合题意；
②当，即时，则函数在上，令，解得，即当时，符合题意.
综上，.
6．（陕西省西安市长安区2021-2022学年高三上学期1月质量检测理科数学试题）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；
(2).

【分析】（1）求导，分别令，，即可得到递增递减区间；
（2）将，转化为，然后分、和三种情况讨论求的最大值，根据列不等式求解即可.
【详解】（1）易知函数的定义域为．
当时，，∴
令，得；令，得
∴函数的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（2）

，
①当时，恒成立，在上单调递增，
∴此时 ，
②当，令，得；令，得 ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴．
∵，，，
∴此时
③当，恒成立，在上单调递减．
∴此时，令，得.
要使，，只需在的最大值点
综上，实数a的取值范围为
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.
7．（陕西省西安市鄠邑区2023届高三下学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可.
（2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明.
【详解】（1）∵，定义域为，
则，
①当时，，在上单调递增；
②当时，当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
综上，①当时，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，当时，
.
要证，
只需证，
即证恒成立.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴的最大值为，即：.
∴恒成立，
∴原命题得证.即：当时，.
8．（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题）已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【详解】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.
9．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数.
(1)若函数的图像与直线相切，求实数a的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)（0，）

【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a的方程组，解之即可；
(2)由二次函数和指数函数的性质知当时不符合题意，故，利用分离参数法可得
，根据导数研究函数的单调性，结合图形即可得出结果.
（1）
，设切点为，
则∴
时，显然不成立，∴
消去a得
∴；
（2）
令，即有且只有一个解，
当时，显然不成立，
∴，令，
∴与有且只有一个交点，
∵，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又当时，→0，当
当时，，当时，
如图所示，

综上，a的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
10．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）求出，分、讨论可得的单调区间；
（2），由得，不等式等价于，令，利用的单调性可得答案.
(1)
函数，定义域为，
（i）当时，单调递增；
（ii）当时，时，单调递减；
时，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
由（1）知，当时，，且，
所以，
因为，所以不等式等价于，
令，则在时恒成立，
所以当时，，
又，所以，
故，即.
【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力.
11．（宁夏六盘山高级中学2023届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）对函数求导，分类讨论判断函数得单调性；（2）设曲线过坐标原点的切线与曲线的切点的坐标为，对函数求导，求出斜率，写出切线方程，将原点代入化简求出即可得所求切线方程.
【详解】（1）由，
得.
当，即时，
，在上单调递增.
当，即时，
令，得，.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减.
（2）设曲线过坐标原点的切线与曲线的切点的坐标为，
则，
所以.
所以曲线过坐标原点的切线方程为：
.
因为切线过坐标原点，
所以将点的坐标代入并化简，得，
所以，
所以，
即，易得.
所以切点为.
所以曲线过坐标原点的切线方程为：
，
即.
【点睛】本题作为压轴题出现通常考点有：
①判断（不含参）函数的单调性
②判断（含参）函数的单调性
③求极值，最值
④求切线方程
⑤证明不等式
⑥求参数的取值范围
解决问题时，通常对函数进行求导，判断函数的单调性，求极值最值；分类讨论，对不等式变形构造新函数.
12．（河南省名校联考2022-2023学年高三一轮复习诊断考试（一）理科数学试题）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设，若函数至少有两个不同的零点，求证：.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数导数，分解因式解不等式即可得解；
（2）由题意可转化为至少有两个相异实数根，设，利用导数研究函数的增减性及极值，由图象交点个数建立不等式求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以.
由， 得或; 由， 得.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）， 函数至少有两个不同的零点等价于方程 ， 即至少有两个相异实数根.
设， 则等价于直线与函数的图象至少有两个不同的交点. .
令， 则.
由， 得; 由， 得.
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
所以函数的最小值为.
又所以当时，，又，
因此必存在唯一，使得，
当变化时，的变化情况如下表




0



0

0



0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

当时，有极大值， 当时，有极小值.
又， 且时，，
所以当直线与函数的图象至少有两个交点时， 必须满足， 即，所以.
【点睛】关键点点睛：函数零点个数问题，可转化为方程的根的个数，也可转化为两个函数图象交点的个数，故本题关键点在于利用导数研究的增减性、极值，据此可知应满足的条件得出问题的解.
13．（江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知，，
(1)若与在处的切线重合，分别求，的值.
(2)若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得且，即可得到方程组，解得即可；
（2）依题意可得对恒成立，令，求出函数的导函数，由可得，从而求出的值，再验证即可.
【详解】（1）解：因为，，
所以.，，
因为且，
即且，
解得，.
（2）解：因为对恒成立，
.对恒成立，
即对恒成立，
令，
因为，
所以是的最小值点，且是的极值点，即，
因为在上单调递增，且，所以，
下面检验：当时，对恒成立，
因为，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，符合题意，
所以.
14．（河南省安阳市安东新区第一高级中学2021-2022学年高二下学期3月考试数学理科试题）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2).

【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
而，当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，
任意，存在，使等价于，恒成立，
则有，成立，令，
则，当时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，，
因此当时，最大值为，则，
所以实数的取值范围是.
15．（贵州省遵义市红花岗区2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题）设函数．
(1)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；
(2)若不等式恒成立，证明：．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)证明见解析.

【分析】(1)根据函数的单调性与导数的关系可得在上恒成立，分离变量转化为函数最值，可求的取值范围；(2)化简不等式可得，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，即可做出判断.
【详解】（1）函数为定义域为，
因为函数在定义域内单调递增，且
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以，其中，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，函数在时取最大值，最大值为1，
所以，即，
所以的取值范围为；
（2）因为不等式恒成立，，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
设，，则，
若时，，函数在上单调递增，
当时，，与已知矛盾，
若时，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
因为恒成立，所以，故，
要证明，只需证明，
设，则，设，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，取最小值，最小值为，又，故，，所以，因为，所以，故当时，，所以，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
16．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（理）试题）已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．
【答案】(1)极大值为2，极小值为
(2)

【分析】（1）求导，再利用极值的定义求解；
（2）将问题转化为，设，则，利用导数法得到函数在上单调递增，则得到在上恒成立求解．
（1）
解：，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为．
（2）
，
，即，
即，
设，，
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
，即，
则函数在上单调递增，则由，
得在上恒成立，即在上恒成立．
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，
所以，
故．
17．（山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末数学试题）已知函数.
（1）求曲线在点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，设，讨论零点的个数.
【答案】（1）；（2）当时，有1个零点；当时，有两个零点.
【解析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，求出得切线方程，由方程求得切线在两坐标轴上的截距，从而可得面积．
（2）求出导函数，按，，分类讨论，确定函数的单调性极值，结合零点存在定理判断零点个数．
【详解】解：（1），，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即
直线在轴，轴上得截距分别为，
因此所求三角形的面积为；
（2）由，得
（i）当时，，知时，，又为的增函数（此时），且，所以仅有一个零点
（ii）当时，，
由得，为减函数；得，为增函数
∴，又，
∴存在，使，故在有唯一零点
又当时，，即，所以
，而
图像开口向上，故存在，使得，也即有，则存在，使得，故在有唯一零点，此时，有两个零点
（iii）当时，由得或，
①若，即，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
而，，
此时，仅有一个零点
②若，即，则，为上的增函数，
因为，，此时仅有一个零点，
③若，即，则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
因为，则，，
此时仅有1个零点，
综上，当时，有1个零点；当时，有两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是分类讨论，由导数确定函数的单调性、极值．求出极值时，判断极值的正负，结合单调性再确定是否要判断另一函数值的正负，从而利用零点存在定理说明零点的存在．
18．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）理科数学试题）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)减区间为，增区间为
(2)

【分析】（1）求出函数的定义域，分别解不等式、可得出函数的减区间和增区间；
（2）令，令，分析可知在恒成立即可，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，由此可求得实数的取值范围.
(1)
解：当时，的定义域为，.
由可得，由可得.
所以，函数的减区间为，增区间为.
(2)
解：当时，不等式即，
可化为：，令，因为，则，
即，
设，，则只需在恒成立即可.
，
①当时，且不恒为零，此时在上单调递减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增
所以，，不合乎题意；
③当时，则，且不恒为零，
故在上单调递增，所以恒成立.
综上.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查利用函数不等式恒成立求参数，注意换元，构造函数，将问题转化为在上恒成立，注意到，结合端点效应将问题转化为函数在上的单调性，结合导数求解即可.
19．（内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．
（ⅰ）求的表达式；
（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．
参考数值：，，，．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）

【分析】（1）求得函数的定义域，判断是的极小值点，求出，继而利用导数知识证明当时，．
（2）求出n人生日都不相同的概率可得n人生日至少有两人相同的概率，利用（1）的结论结合题中所给数据，近似计算，可得答案.
【详解】（1）由题意得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，
又，且，所以是的极小值点，故．
而，于是，解得．
下面证明当时，．
当时，，，，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即符合题意．
综上，．
（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，
故n人生日至少有两人相同的概率为．
（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，
由（ⅰ）得
．
记，
则
，
即，由参考数值得，
于是，故．
【点睛】难点点睛：解答第二问时，利用对立事件的概率可求得n人生日至少有两人相同的概率为，求其近似值时，难点在于要利用（1）的结论，得到，从而再利用已知数据计算，解决问题.
20．（四川省雅安市2021-2022学年高二下学期期末数学（理）试题）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，是否存在整数，都有恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在；最小值为3

【分析】（1）求导，然后分与讨论即可求解
（2）由题意可得恒成立，令，则由题意有，利用导数法求出的最大值即可求解
【详解】（1）∵，
当，，
∴在单调递增
当时，，
令，得，得
∴在单调递增，在单调递减
综上：时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在单调递减，
∵
∵
∴，使得，即，
当，，，单调递增，
当，，，单调递减，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值为3
21．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)

【分析】（1）当时，，求出，然后可得答案；
（2）分、两种情况讨论，当时，可判断出在上有唯一零点，且，然后可得，然后可得的范围，然后可得的范围.
【详解】（1）当时，，．
当时，；当时，．
所以有极小值，无极大值．
（2）由题得，．
①当时，，，故，在上单调递增．
所以，解得（舍去）．
②当时，，，
令，则
所以在上单调递增，
故在上有唯一零点，且．
当，，单调递减；
当，，单调递增．
所以，
即，解得．
又因为在上单调递增，所以．
综上，的取值范围为．
22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数，是的导函数.
(1)若，求证：当时，恒成立；
(2)若存在极小值，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）通过两次构造新函数，求解导函数并判断单调性与最值从而可证明恒成立；（2）构造新函数并求解导函数，然后分类讨论与两种情况下函数单调性与极值情况，并利用数形结合并结合零点存在定理分析讨论所有情况.
【详解】（1）∵的定义域为，，
∴，.
令，则.
令，则.
由，得，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，，
即当时，，∴在上单调递增.
∵，∴，∴当时，恒成立.
（2）由（1）知，.
设，则.
①当时，恒成立，∴在上单调递增.
∵，∴当时，，从而；
当时，，从而.
又∵，∴，都有，
所以在上单调递增，此时无极值；
②当时，由，得，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得最小值，且最小值为.
令，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
∵，∴当时，，
即当时，（当且仅当时等号成立）.
（i）当时，，且当时，都有，
∴，且当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，符合题意.
（ii）当时，，且.
∵，∴，∴的图象大致如图（1）.

图（1）
由函数的单调性及零点存在定理，
得在内存在唯一的实数，使得，
∴当时，，从而；
当时，，从而；
当时，，从而，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，符合题意.
（iii）当时，，且.
∵，由（1）知，，
∴的图象大致如图（2）.

图（2）
由函数的单调性及零点存在定理，得在内存在唯一的实数，使，
∴当时，，从而；
当时，，从而；
当时，，从而，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，符合题意.
综上，当存在极小值时，的取值范围为.
【点睛】利用导数求解极值问题，一般需要构造对函数求导，对于一次求导不能判断其单调性的情况，还需要构造新函数，再次求导并判断单调性与最值，从而得原函数的导数正负，即可得函数的单调性，并利用数形结合方法判断极值.
23．（江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数
(1)若求的极值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的极小值为，无极大值
(2)

【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；
（2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案.
【详解】（1）当，
令，解得，
则当单调递减，当单调递增，
故的极小值为，无极大值；
（2）由题意可得
令则
当时，则时，，不合题意；
当时，设，
，，
所以存在时，，
因为，所以在上单调递增，
所以当，；当，，
则当，；当，，
则在单调递减，在单调递增，
所以
因为，所以，即
故解得
综上所述，实数a的取值范围
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
24．（江西省新八校2023届高三上学期第一次联考数学（理）试题）已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围：
(2)若的两个零点分别为，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）令，则有2个零点转化为有2个零点，利用导数得在上单调递减，在上单调递增，再分类讨论与的大小，根据零点存在性定理可得结果；
（2）设的两个零点为和，则，，将所证不等式化为，根据，，将化为，构造函数，，利用导数可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为.
由题意可得，有2个零点，
令，则在时恒成立，故在上单调递增，
所以有2个零点可转化为有2个零点，
因为，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
若，则，此时恒成立，函数没有零点，
若，则，函数有且仅有一个零点，
若，则，因为，所以在上恰有一个零点，
令，则，
令，则，故为增函数，
所以，即，故为增函数，
所以，即，所以，所以，
所以在上恰有1个零点，
故 在和上各有1个零点，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
（2）由（1）可知，有两个零点，设为和，则，，
要证，只要证，即证，即证，
又，，所以，，
所以，只要证，
设，令，，所以只要证，即证，
令，，则，
所以在上为增函数，∴，
即当时，，所以，
即，故.
【点睛】关键点点睛：（1）中，令，将有2个零点转化为有2个零点，再利用导数和零点存在定理求解是解题关键；（2）中，设的两个零点为和，将所证不等式转化为，再构造函数，，利用导数证明不等式是解题关键.
25．（广西南宁市第二中学2023届高三上学期1月月考（期末）数学（理）试题）已知函数有两个不同的零点x1，x2.
(1)当时，求证：；
(2)求实数a的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）构造函数，利用导数求得，进而证得不等式成立.
（2）结合导数，先判断，然后结合的最小值为负数以及零点存在性定理求得的取值范围.
【详解】（1）令，则.
当时，所以在上单调递减.
所以
所以.
（2），
当时，，此时f（x）为增函数，不合题意；
当时，，得，(舍)
所以当，，f（x）单调递减；当，，f（x）单调递增.
如果f（x）有两个不同的零点，必有，
则，得，所以.
此时，又此时，
故在（）有一个零点：
由（1）知，时，，令，
解得，故当时，，故当时，，
故在）上有一个零点，
所以f（x）有两个不同的零点时，a的取值范围为
【点睛】利用导数研究函数的零点，首先要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.然后利用导数进行研究时，转化为极值、最值问进行求解，求解过程中要注意结合单调性以及零点存在性定理来进行判断.
26．（广西桂林市、崇左市2023届高三联考数学(理) 模拟试题）已知（）．
（1）当时，求的单调区间；
（2）函数有两个零点，且
①求的取值范围；
②实数满足，求的最大值．
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为．（2）①②2
【详解】（1）当时，

的单调增区间为，单调减区间为．
（2）①（）
当时，，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）
当时，令，得
列表










极小值



有两个不同的零点 即
当时，，，在上单调递减且图像是不间断的
此时，在上有且只有一个零点
， 令，则设，
，在上单调递增
， 又在上单调递增且图像是不间断的
在上有且只有一个零点
综上，
②有条件知
将两式分别相加，相减得，

设
由题意得对于任意成立
整理即得在成立
令，

当时，
在上单调递增，则，满足条件
当时，
令，
（舍）
当时，，在上单调递减
与条件矛盾
综上，
【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
27．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数存在唯一的极大值点.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求导得到，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到导函数，构造，求导得到函数的单调区间，确定存在唯一的，使得，再判断函数的单调区间得到极值.
【详解】（1）函数的定义域为，，，，
故曲线在点处的切线方程为.
（2），
令，，令，，
，；，，
在为增函数，在上为减函数，
当时，恒成立，
当时，，，
故存在唯一的，使得，即，
且当时，，即；当时，，即，
综上所述：
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，即存在唯一的极大值点.
【点睛】关键点睛：本题考查了曲线的切线方程，证明极值点，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造新函数，确定新函数的单调性来判断隐零点的位置是解题的关键.
28．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（理）试题）已知函数．
(1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程的实根个数；
(2)证明：．
【答案】(1)单调性及极值见解析，原方程有唯一实根
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；
（2）不等式变形为，换元后即证，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.
【详解】（1），函数定义域为，，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，时，， 时，，
在上单调递减，在上单调递增，有极小值．
方程可变形为，即，
当时，，有，在上单调递增，则有，
函数和的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以在上有唯一实根，故原方程有唯一实根．
（2）证明：由知，所要证的不等式等价于，
等价于．（*）
令，则不等式（*）等价于（**）．
构造函数，求导，得．
当时，，函数是减函数；
当时，，函数是增函数．
所以．即（**）成立．故原不等式成立．
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
29．（贵州省思南县梵净山中学2023届高三上学期11月月考数学试题）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）设函数（且），代入求得，根据函数的图象与的图象关于直线对称，得到函数与互为反函数，求得，再设直线相切与函数的切点坐标为，由导数的几何意义得到，即可求解；
（2）设，得到，
对于结论①：得到，变形得到（），令（），不等式等价于在上成立，从而构造函数（），利用导数证明即可；
对于结论②：得到，变形得到（），令（），不等式等价于在上成立，从而构造函数（），利用导数证明即可.
【详解】（1）设函数（且），
因为指数函数经过点，所以，解得：，
则函数，又函数的图象与的图象关于直线对称，
即函数与互为反函数，则，
设直线相切与函数的切点坐标为，由于，
则，解得，
故．
（2）若选择①：不妨设，则，要证不等式，
即，即，
令，则，不等式等价于，即在上成立．
令（），则，
当且仅当时取等号，故函数在为增函数，
所以，故不等式成立．
综上：结论①得证 .
若选择②：不妨设，则，
要证不等式，即，
即要证不等式，
令，则，不等式等价于，
即在上恒成立，
令（），
则，即在为增函数，
所以，
故不等式成立，
综上：结论②得证.
【点睛】关键点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性， 从而比较出代数式的大小，本题中，结论①变形得到（），令（），不等式等价于在上成立，从而构造函数（），结合导数证明；结论②变形得到（），令（），不等式等价于在上成立，从而构造函数（），结合导数证明.
30．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可.
【详解】（1），.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以，即.
所以在上单调递增，.
则在上，存在，使得，即存在唯一零点；
（2），
令，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
即，故.
因为函数在上单调递增，所以.
即.
故不等式恒成立.
【点睛】关键点睛：在证明第二问时，关键是由导数证明，再利用函数的单调性证明，在做题时，要察觉到这一点.