高考数学二轮复习专题12 导数（文科）解答题30题 教师版

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专题12 导数（文科）解答题30题

1．（新疆兵团地州学校2023届高三一轮期中调研考试数学（文）试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）求得，对参数的值分类讨论，在不同情况下根据导数的正负，即可容易判断对应的单调性；
（2）根据（1）中所求函数单调性，结合区间端点处的函数值，即可求得函数最值.
【详解】（1），定义域为，
当时，，故在单调递增，在单调递减；
当时，，令，解得或，
当时，，
故当时，，在上单调递增；当时，，此时单调递减；
当，，
故当时，，在上单调递减；当时，，此时单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，
又，
故在上的最大值为，最小值为.
2．（宁夏青铜峡市宁朔中学2023届高三上学期期未考试数学 (文) 试题）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
(2)

【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【详解】（1）当时，，

，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
3．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知函数
(1)若在时取得极小值，求实数k的值；
(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据极值点的概念可知，可求出的值，并进行检验时是否取得极小值，由此即可求出结果.
（2）由导数的几何意义结合点斜式可求出在切点处的切线方程，将点代入，可得，再令，求出的单调性，并结合过点可作的两条切线，可知方程有两解，由此可知，即可求证结果.
(1)
解：
∴，
∴
当时，令，得
∴在单调递减，在单调递增，
所以在时取得极小值，
∴
(2)
证明：设切点为，
∴切线为，
又切线过点，
∴
∴，(*)
设
则
∴在单词递减，在单调递增.
∵过点可作的两条切线，
∴方程(*)有两解
∴，
由，得
∴，即.
4．（江西省部分学校2022-2023学年高三上学期11月质量检测巩固卷文科数学试题）已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点与，且，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)．

【分析】（1）设切点，根据切点既在曲线上又在切线上列方程组解决即可；（2）是的两个不同的正根，得，又，令，讨论单调性得即可解决.
【详解】（1）设切点为．
因为，与曲线相切，
所以，
得．
令，则．
令，解得，
令，解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故．
所以的解为．
所以．
（2）因为，，
所以是的两个不同的正根，
即，
故，且，
所以．
因为，
令，
则单调递增，且，
所以在单调递增，
故．
综上所述，的取值范围是．
5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）已知函数．
(1)若，求c的取值范围；
(2)设时，讨论函数的单调性．
【答案】(1)；
(2)函数在区间和上单调递减，没有递增区间.

【分析】（1）由题意知，用导数求的最大值即可；
（2）对求导得，设 ，再用导数的正负，确定的正负，从而知的单调性.
【详解】（1）等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，
所以的取值范围是；
（2）且 ，
因此，
设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，
即，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，
即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
6．（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试文科数学试题）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2).

【分析】（1）求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；
（2）先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数，利用导数求出其最小值，代入可解得结果.
【详解】（1），，
令，得或，
令，得或，令，得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，即，
令，
，
因为，所以，
设，则，
令，得,令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
所以，所以在上为增函数，
所以，即.
7．（河南省十所名校2022-2023学年高三阶段性测试（四）文科数学试题）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线斜率为－4，求的单调区间；
(2)若存在唯一的，满足，求a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)

【分析】（1）求出可得，由、解不等式可得答案；
（2）由得，可得方程在区间内仅有一个实根，设函数，由或，再解不等式组可得答案．
【详解】（1），由题意知，
所以，则当或时，，
当时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由，得，
即，
根据已知，可得方程在区间内仅有一个实根，
设函数，其图象的对称轴为，
所以只需或，
解得或，即a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为方程在区间内仅有一个实根，设函数，然后利用根的分布求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
8．（青海省海东市2022-2023学年高三上学期12月第一次模拟数学（文）试题）已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式，结合导数的几何意义及直线的点斜式即可求解.
（2）利用导数法求出函数的最小值及基本不等式，结合导数的几何意义、两直线平行的条件及直线的点斜式方程即可求解.
【详解】（1），
，则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）设，令，则.
当时，；
当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得最大值2，即.
，当且仅当时，等号成立，取得最小值2.
因为，所以，得.
即，
所以直线的方程为，即.
9．（吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若直线与曲线相切，求实数的值.
【答案】(1)极大值为；极小值为；
(2).

【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，由极值定义可求得结果；
（2）设切点为，利用切线斜率和切点坐标可构造方程组，消元得到；令，利用导数可求得，则可确定的唯一解为，代回方程组可求得的值.
【详解】（1）当时，，
则定义域为，；
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
的极大值为；极小值为.
（2）假设与相切于点，
，
，即，
又，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，即有唯一解：，
，解得：.
10．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）已知函数．
(1)当a=1时，求函数的单调区间；
(2)若在定义域内恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)的单增区间为，单减区间为.
(2).

【分析】（1）利用导数求单调区间；
（2）利用分离参数法得到恒成立. 令，利用导数求出，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为．
当a=1时，.
导函数.
令，解得：；令，解得：.
所以函数的单增区间为，单减区间为.
（2）因为在定义域内恒成立，所以恒成立.
令，只需.
的导函数.
令，解得：.
列表得：


1


+

-

单增
极大值
单减

所以.
所以.
解得：.
所以a的取值范围为.
11．（甘肃省兰州市第五十八中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学 (文科)试题）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间；
（2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值.
【详解】（1）由题意得：定义域为，，
①当时，，，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
①当，即时，在上单调递减，；
②当，即时，在上单调递增，
；
③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
.
，，
当，即时，；
当，即时，；
综上所述：当时，；当时，.
【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点.
12．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学 (文科)试题）设函数．
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数．
【答案】(1)2;(2)见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）令g（x）＝0，得到；设，通过讨论m的范围，根据函数的单调性结合函数的草图求出函数的零点个数即可．
【详解】解：（1）当m＝e时，，∴
当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；
∴当x＝e时，f（x）取最小值．
（2）∵函数，
令g（x）＝0，得；
设，则′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）
当x∈（0，1）时，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函数；
当x∈（1，+∞）时，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是减函数；
当x＝1是（x）的极值点，且是唯一极大值点，∴x＝1是（x）的最大值点；
∴（x）的最大值为，又（0）＝0结合y＝（x）的图象，

可知：①当时，函数g（x）无零点；
②当时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上：当时，函数g（x）无零点；
当或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当时，函数g（x）有且只有两个零点；
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点个数问题，是一道中档题．
13．（陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考文科数学试题）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求的值.
【答案】(1)函数增区间为，减区间为
(2)

【分析】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.
【详解】（1）函数的定义域为
当时，，，
令得，；令得，或，结合定义域得，
∴函数增区间为，减区间为；
（2）
①当时，，∴，∴函数在上是增函数，
∴，∴，∴符合题意；
②当且时，令得，





+
0
-

增函数
极大值
减函数

∴，∴，∴不符合题意，舍去；
③若，即时，在上，
∴在上是增函数，故在上的最大值为，
∴不符合题意，舍去，
综合以上可得.
14．（2022届普通高等学校全国统一模拟招生考试4月份联考文科数学试题）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数的最大值为m，证明：.
【答案】(1)增区间为，减区间为；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用导数研究的单调区间.
（2）应用导数求得的最大值，再构造并利用导数证明不等式.
【详解】（1）当时，.
∴，令，得.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数的减区间为，增区间为；
（2）由，令，得.
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
∴.
令，则.
∴当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴，即.
15．（全国“星云”大联考2022届高三第三次线上联考数学试题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若至少有两个零点，求a的取值范围．
附：是自然对数的底数．
【答案】(1)当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；
(2).

【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）对分五种情况讨论，结合函数的单调性分析得解.
【详解】（1）解：由可得．
列表如下：
区间



的符号
负
正
负
的单调性
递减
递增
递减

综上所述：当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减．
（2）解：
由题意，，
（ⅰ）当时，在上，故只可能在上存在零点．又因为在上单调递减，最多只有一个零点，故不符合题意；
（ⅱ）当时，此时，在上．因为，在上单调递减，所以恰好有两个零点，故符合题意；
（ⅲ）当时，因为，，，且在和单调递减，在单调递增，所以恰好有三个零点，故符合题意；
（ⅳ）当时，和（ⅱ）理由类似，恰好有两个零点，故符合题意；
（ⅴ）当时，和（ⅰ）理由类似，最多只有一个零点，故不符合题意．
综上所述，a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题，常用的方法有：1、方程法（直接解方程分析得解）；2、图象法（直接作出函数的图象分析得解）；3、方程+图象法（令得到，再分析函数的图象得解）.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
16．（山西省晋城市2022届高三第三次模拟文科数学试题）已知函数.
(1)若曲线在处的切线经过第二､四象限且与坐标轴围成的三角形的面积为，求a的值.
(2)证明：当时，.
【答案】(1)或
(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程，可得曲线在处的切线方程，结合题意可知，再根据与坐标轴围成的三角形的面积为，建立方程，即可求出结果；
（2）因为，所以，令，求出，当时，可知，即可判断此时，可知在上单调递减，可知此时成立；当时，令，根据导数在函数单调性和最值中的应用可知在上单调递增，可得，由此可知恒成立，由此即可证明结果.
【详解】（1）解：由题意可知，
，所以，
所以曲线在处的切线方程为.
因为经过第二、四象限，所以，即，
令，则，令，则，
又与坐标轴围成的三角形的面积为，所以，
又，，解得或.
（2）证明：因为，所以，
令，则，
当时，，此时，
则在上单调递减，则，即成立；
当时，令，则，
因为，所以，所以在上递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
综上所述，恒成立，即当时，成立.
17．（内蒙古2023届高三仿真模拟考试文科数学试题）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；
（2）分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，，
所以所求切线方程为，即.
（2）对任意的，恒成立，
等价于对任意的，恒成立.
①当时，显然成立.
②当时，不等式等价于.
设，
所以.
设，则.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以，
又因为在中，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即的取值范围为.
18．（四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第四次月考数学（文科）试题）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)对给定的，函数有零点，求的取值范围；
【答案】(1)减区间为，增区间为
(2)

【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数单调区间.
（2）根据函数的单调性得到只需满足，解得答案.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令得，所以函数在上单调递增；
令得，所以函数在上单调递减.
故函数在减区间为，增区间为.
（2）对给定的，当时，，函数在时取得最小值，
故函数要有零点，则需有，即，故.
所以对给定的，函数有零点，的取值范围为.
19．（宁夏银川市贺兰县景博中学2023届高三上学期期中考试数学（文）试题）已知函数
(1)若在处有极值，求实数的值和极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)，极大值为0；
(2)答案见解析.

【分析】（1）对函数求导，由解出实数a的值，并代入求出单调性检验求出极值即可；
（2）当a≤0时，f(x)在上单调递减；当a>0时，利用导数即可研究函数的单调性．
【详解】（1）函数定义域为，
，
在x=1处取到极值，∴，解得a=1，
.
当00，，
当a≤0时，，在上单调递减；
当a>0时，令，令，
在(0,a)上是增函数，在上是减函数.
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
20．（新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题）已知在处的切线方程为．
(1)求函数的解析式：
(2)是的导函数，证明：对任意，都有．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，令，然后求导得到其在上的最大值，即可得证.
【详解】（1）由题意可得，，且，则，
即，即，所以
（2）由（1）可知，，
所以，
令，
则，
所以时，，
即在上单调递减，
所以，即，
所以，即
21．（四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)①若，求实数的值；
②设，求证：.
【答案】(1)函数的单调增区间为,
单调减区间为.
(2)①； ②见解析.

【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可.
（2）①首先根据题意得到,从而将题意等价为,再结合的单调性分类讨论求解即可;
②根据（1）知:,从而得到,再化简得到,累加即可证明.
【详解】（1）由已知的定义域为.

令,
有两根,
因为，
时,单调递减;
,时,单调递增，
故函数的单调增区间为，
单调减区间为.
（2）①因为,所以等价于.
由（1）知:,
当时,,故满足题意.
当时,时，单调递减，故不满足题意.
当时,时, 单调递增，故不满足题意.
综上可知：.
②证明:由（1）可知:时,,即,当且仅当时取等号.
故当时,可得

即，
即.
故

故
22．（江西省抚州市金溪县第一中学2023届高三上学期11月段考数学（文）试题）已知函数，．
(1)设，当a＝3，b＝5时，求F（x）的单调区间；
(2)若g（x）有两个不同的零点，，求证：．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)证明见解析

【分析】（1）代入a，b的值，求的单调区间；
（2）分离参数得，研究的单调性得，再将所证变形为由比值代换法令可转化成，研究的单调性即可证明.
【详解】（1）当，时，，的定义域为，
∴，
令，解得或，令，解得，
∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由 得： ，
令
∴ 在有两个交点.

由得： ，由得：
∴ 在上单增，在 上单减，
又∵，，当 时，
由于，是方程的实根，
∴ ，不妨设
由，，∴，，
∴，．
要证：，只需证：，即证：，
即证：．
设，则 ，代入上式得：．
∴只需证：
设，
则，
∴在上单调递增，
∴，
∴，故．
【点睛】极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论 型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
23．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（文）试题）已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)设，当时，函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求导，列表根据函数单调性即可解决；
（2），令，则有两个零点等价于有两个零点，分，两种情况讨论，其中时，，由于在上有两个零点，得，由，令函数，求导计算得即可解决.
【详解】（1）由可知
令则，






0


减
极小值
增

所以无最大值，
所以的值域为.
（2）当时，，
令，则有两个零点等价于有两个零点，
对函数求导得：，
当时，在上恒成立，于是在上单调递增.
所以，因此在上没有零点
即在上没有零点，不符合题意.
当时，令得，在上，在上
所以在上单调递减，在上单调递增
所以的最小值为
由于在上有两个零点，
所以
因为，
对于函数，，
所以在区间上，函数单调递减；
在区间，函数单调递增；
所以
所以
所以由零点存在性定理得时，在上有两个零点，
综上，可得的取值范围是.
24．（广西普通高中2023届高三摸底考试数学（文）试题）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，，请判断的符号，并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）对函数求导后，然后分，和三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由（1）知在上递增，在上递减，则，构造函数，利用导数判断其单调性，从而可证得结论.
【详解】（1），
令，则或，
若，，
所以函数在上为增函数；
若，当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
若，当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
综上所述，当时，函数在上为增函数；
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在和上递增，在上递减.
（2）当，时，
由（1）知在上递增，在上递减，
所以，
令，则，
当时，，得函数在上单调递增，
所以，即，则，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，第（1）问解题的关键是正确分类讨论导数的正负，从而可求得导数的单调区间，考查数学分类思想，属于中档题.
25．（贵州省贵阳市五校2022届高三年级联合考试（一）数学（文）试题）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，
（2）由，令，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可
【详解】（1）解：定义域：，
∵，∴，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
，无极大值．
（2）证明：由（1）知，
令，
则，
，，，
∴，即在上单调递减，
，
∴当时，．
26．（贵州省2023届高三3 3 3高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）已经函数．
(1)求函数的单调性；
(2)若，求当时，a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据两种情况讨论.
(2)求出，首先证明
只需要求即可.
【详解】（1）
(1)时，，所以在单调递增.
(2)时，
时，时
所以在单调递减，在单调递增.
综上：时在单调递增
时在单调递减，在单调递增
（2）
，要求，即求
设，则，当，
所以在上单调递增，在单调递减，所以即
设，，
，所以在单调递减，在单调递增
，故当且仅当时成立.所以当且仅当即当且仅当时等号成立，，又因为
所以，所以.
27．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，极小值为
(2)

【分析】（1）求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为，构造，利用导数研究函数的极值和最大值.
【详解】（1）当时，，
其定义域为，，
令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以的极大值为，
极小值为.
（2）由题意，得，
因为对任意，恒成立，
所以，即
在上恒成立，即；
令，，
则，
令，即，得，
令，即，得，
所以是的极大值，也是的最大值 ，
则.
【点睛】方法点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
28．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A卷））已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的最大整数值.
【答案】(1)减区间为和，增区间为
(2)4

【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；
（2）将不等式对任意恒成立转化为，再利用导数法求函数的最值即可求解.
（1）
当时，，
函数的定义域为.
所以，
令，即，解得或.
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为.
（2）
由题得对任意恒成立，
即 ，即可.
设，，则，
令，则，
所以在上为增函数，
又，，
所以存在唯一实数，使得，
即，即，
当时，，所以，在上为减函数；
当时，，所以，在上为增函数，
当时，取得极小值，也为最小值，
所以，
，即.
因此实数a的最大整数值为4.
【点睛】解决此类型题的关键是第一问利用导数法求函数单调性的步骤即可求解，第二问利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用两次求导及函数零点的存在性定理得出导数函数的零点得出单调性，进而得出函数的最值.
29．（内蒙古呼和浩特第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学文科试题）已知是函数的极值点.
(1)求；
(2)证明：有两个零点，且其中一个零点；
(3)证明：的所有零点都大于.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.

【分析】(1)根据极值点的定义可得，求得，检验即可；
(2)根据函数零点个数、方程的根个数与函数图象交点的个数之间的联系，作出和函数图象，结合图形即可判断零点的个数.利用零点的存在性定理即可判断零点的范围；
(3)根据零点的定义可得，利用导数研究函数的性质，根据不等式的性质可得，又，由放缩法可得，结合图形即可证明.
【详解】（1），则，
因为是函数的极值点，所以，
即，解得.
当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极小值点，故；
（2）由(1)知，，令，则，
作和函数图象，如图所示，

由图可知，两函数图象有2个交点，且一个交点分布在上，另一个分布在上，
所以方程有2个解，即函数有2个零点.
易知2是函数的一个零点，设另一个零点为，
又，，
所以，又函数在定义域上连续，
由零点的存在性定理，知；
（3）由(1)知，，
当时，，
当时，令，则，
设，则，，
令或，令，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，得
所以，又，
所以当时，
，
作出函数和的图象，如图所示，

由图可知，两函数图象的交点的的横坐标都大于，
故函数的所有零点都大于.
【点睛】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
30．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)0
(2)详见解析

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求函数的最小值；
（2）由（1）可知，令，不等式变形为，不等式右边裂项为，再用累加求和，即可证明不等式.
【详解】（1），，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以
（2）由（1）知，
即（当且仅当时等成立），
令，则，所以，
而，故，
从而，，…，，
累加可得，命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查导数与数列的综合问题，问题的关键是从要证明的式子入手，将(1)的不等式变形为，再利用裂项相消法求和.