中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习三（含答案）

中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习三

1.如图，已知点(0，)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．

(1)求抛物线C1的解析式；

(2)抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1＋2S2的最大值；

(3)如图3，在(2)的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．

①直接写出P点坐标；

②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．

(1)求a的值；

(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？

(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图所示，抛物线y＝﹣x2＋bx＋3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．

(1)求抛物线所对应的函数表达式；

(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．

①若点F在第一象限内，当∠BCF＝∠BCA时，求点F的坐标；

②若∠ACO＋∠FCB＝45°，则点F的横坐标为            ．

4.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，﹣3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．

(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；

(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；

(3)点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．

5.已知，抛物线y＝ax2＋ax＋b(a≠0)与直线y＝2x＋m有一个公共点M(1，0)，且a＜b.

(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示)；

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

(3)a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t＞0)，若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.

6.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴相交于点A(4，0)，与y轴相交于点B(0，3)，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；

(3)如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．

7.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A，B，C，已知点A(﹣1，0)，点C(0，3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由.

8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣＋bx2＋c经过点A(﹣1，0)和点B(0，)，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)求线段CD的长；

(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习三（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)∵点(0,)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋c上，

∴c＝．

∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，

∴b＜0，b2﹣4××＝0．

∴b＝﹣．

∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x＋．

(2)∵y＝＝x2﹣x＋＝(x﹣1)2，

又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，

∴抛物线C2的解析式为y＝(x﹣1)2﹣＝x2﹣x＋2，令x＝0，则y＝2，

∴E(0，2)．

∴OE＝2．

令y＝0，则x2﹣x＋2＝0，解得：x＝1或3，

∴C(1，0)，D(3，0)．

∴OC＝1，OD＝3，

∴CD＝2．

∵点M在抛物线C2上，

∴设M(m，m2﹣m＋2)，

设直线ED的解析式为y＝kx＋n，

∴，解得：，

∴直线ED的解析式为y＝﹣x＋2．

∵MN∥y轴交线段DE于点N，

∴N(m，﹣m＋2)，

∵点M在线段ED的下方，

∴MN＝﹣x＋2﹣(m2﹣m＋2)＝﹣m2＋2m，

∵S△EMD＝S△EMN＋S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2＋3m，S△EON=OE×m＝m，

∴S1＋2S2＝﹣m2＋2m＋2m＝﹣m2＋4m＝﹣(m﹣2)2＋4，

∵﹣1＜0，

∴当m＝2时，S1＋2S2有最大值4；

(3)①点P的坐标为(，)，理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，

∵抛物线C2的解析式为y＝(x﹣1)2﹣，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

∴F(2，0)．

∴OF＝2．

∵OC＝1，

∴CF＝OF﹣OC＝1．

EC＝＝，

∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF＋∠CEF，∠EFO＝∠PEF＋∠G，

∴∠CEF＝∠G．

∵∠ECF＝∠GCE，

∴△ECF∽△GCE，

∴．

∴CE2＝CF•CG，

∴CG＝5，

∴OG＝OC＋CG＝6，

∴G(6，0)．

设直线EG的解析式为y＝ax＋2，

∴6a＋2＝0，

∴a＝﹣．

∴直线EG的解析式为y＝﹣x＋2，

∴，解得：或，

∴P(，)；

②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，

∵P(，)，

∴OK＝，PK＝，

∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，

∴DP＝＝＜1，

∵DF＝1，

∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；

当HP＝HD时，设H(2，h)，则HF＝h，

过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，

则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，

∵HP＝HD，

∴＝．

∴12＋h2＝＋，解得：h＝，

∴H(2，)．

综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为(2，)．

2.解：(1)由题意可知，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P的坐标为(m，2m2)，

∵点P在抛物线F：y＝ax2上，

∴am2＝2m2，

∴a＝2．

(2)∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，

∴yA＝﹣(t﹣m)2＋2m2＝﹣t2＋2mt＋m2，yB＝2t2，

∴s＝yA﹣yB＝﹣t2＋2mt＋m2﹣2t2＝﹣3t2＋2mt＋m2＝﹣3(t﹣m)2＋m2，

∵﹣3＜0，

∴当t＝m时，s的最大值为m2，

∵s的最大值为4，

∴m2＝4，解得m＝±，

∵m＜0，

∴m＝﹣．

(3)存在，理由如下：

设点M的坐标为n，则M(n，2n2)，

∴Q(2n﹣m，4n2﹣2m2)，

∵点Q在x轴正半轴上，

∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，

∴n＝﹣m，∴M(﹣m，m2)，Q(﹣m﹣m，0)．

如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，

∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK＋∠PQK＝90°，

∵∠PQG＝90°，

∴∠PQK＋∠GQN＝90°，

∴∠QPK＝∠GQN，

∴△PKQ∽△QNG，

∴PK：QN＝KQ：GN，即PKGN＝KQQN．

∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，

∴(﹣m﹣2m)(﹣m﹣m)＝2m2QN，解得QN＝+2．

∴G(0，﹣﹣2)．

3.解：(1)∵B(3，0)在抛物线y＝﹣x2＋bx＋3上，

∴﹣32＋3b＋3＝0，

∴b＝2，

∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)①作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI⊥x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF＝∠BCA，

y＝﹣x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，

令y＝0，则﹣x2＋2x＋3＝0，解得：x＝3或＝﹣1，

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)．

∴OB＝OC，AB＝4，

∴△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴∠HAB＝∠OBC＝∠AHI＝∠BHI＝45°，

∴HI＝AI＝BI＝AB＝2，

∴H(1，2)，

∴G(3，4)，

设直线CG的解析式为y＝kx＋3，

把G(3，4)代入得：4＝3k＋3，解得k＝，

∴直线CF的解析式为y＝x＋3，

∴，解得，

∴点F的坐标为(，)；

②当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，

∵点B(3，0)，点C(0，3)，

∴OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵A(﹣1，0)，

∴OA＝1，

∵∠ACO＋∠FCB＝45°，∠CBO＝∠FCB＋∠CNO＝45°．

∴∠ACO＝∠CNO，

∵∠COA＝∠CON＝90°，

∴△CAO∽△NCO，

∴，∴，

∴ON＝9，

∴点N(9，0)，

设直线CF的解析式为y＝k′x＋3，

把N(9，0)代入得：0＝9k′＋3，解得k′＝﹣，

∴直线CF的解析式为y＝﹣x＋3，

∴﹣x＋3＝﹣x2＋2x＋3，∴x1＝0(舍去)，x2＝，

∴点的横坐标为；

当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，

∵∠ACO＋∠FCB＝45°，∠FCB＋∠OCM＝45°．

∴∠ACO＝∠OCM，

∵OC＝OC，∠COA＝∠COM＝90°，

∴△CAO≌△CMO(ASA)，

∴OM＝OA＝1，

∴点M(1，0)，

同理直线CF解析式为：y＝﹣3x＋3．

∴﹣3x＋3＝﹣x2＋2x＋3，∴x1＝0(舍去)，x2＝5，

∴点的横坐标为5．

综上所述，点F的横坐标为或5．

故答案为：或5．

4.解：(1)∵半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2．

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，

设抛物线为y＝a(x＋1)(x﹣3)，

∵抛物线过D(0，﹣3)，

∴﹣3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得a＝1，y＝(x＋1)(x﹣3)，

即y＝x2﹣2x﹣3(﹣1≤x≤3)；

连接AC，BC，

∵AB为半圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CO⊥AB，

∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠OBC＝90°，

∴∠ACO＝∠OBC，

∴△ACO∽△CBO，

∴，

∴CO2＝AOBO＝3，

∴CO＝，

∴CD＝CO＋OD＝3＋；

(2)假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E(m，n)，则点F的坐标为(m，﹣n)．EF与x轴交于点H，连接EM．

∴HM2＋EH2＝EM2，∴(m﹣1)2＋n2＝4，…①；

∵点F在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，

∴m2﹣2m﹣3＝﹣n，…②；

解由①②组成的方程组得：；．(n＝0舍去)

由对称性可得：；．

∴E1(1＋，1)，E2(1﹣，1)，E3(1＋，-1)，E4(1﹣，-1)．

(3)如图4，∵∠BPC＝60°保持不变，

因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．

在Rt△PCR中可求得PR＝1，RC＝．

所以点P的坐标为(1，2)．

5.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋ax＋b有一个公共点M(1，0)，

∴a＋a＋b＝0，即b＝﹣2a，

∴y＝ax2＋ax＋b＝ax2＋ax﹣2a＝a(x＋)2﹣a，

∴抛物线顶点D的坐标为(﹣，﹣a)；

(2)∵直线y＝2x＋m经过点M(1，0)，

∴0＝2×1＋m，解得m＝﹣2，

∴y＝2x﹣2，

则，

得ax2＋(a﹣2)x﹣2a＋2＝0，

∴(x﹣1)(ax＋2a﹣2)＝0，解得x＝1或x＝﹣2，

∴N点坐标为(﹣2，﹣6)，

∵a＜b，即a＜﹣2a，

∴a＜0，

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为x＝﹣，

∴E(﹣，﹣3)，

∵M(1，0)，N(﹣2，﹣6)，

设△DMN的面积为S，

∴S＝S△DEN＋S△DEM＝|(﹣2)﹣1|•|﹣﹣(﹣3)|＝，

(3)当a＝﹣1时，

抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x＋2＝﹣(x＋)2＋，

有，

﹣x2﹣x＋2＝﹣2x，解得：x1＝2，x2＝﹣1，

∴G(﹣1，2)，

∵点G、H关于原点对称，

∴H(1，﹣2)，

设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x＋t，

﹣x2﹣x＋2＝﹣2x＋t，

x2﹣x﹣2＋t＝0，

△＝1﹣4(t﹣2)＝0，

t＝，

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，

把(1，0)代入y＝﹣2x＋t，

t＝2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜.

6.解，(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点C(0，3)，

∴∴

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋c；

(2)如图1，∵PM⊥AB，PE⊥x轴，

∴∠PMN＝∠PEA＝90°，

又∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PMN∽△AEN．

∴．即．又∵，∴．

设直线AB：y＝kx＋b，又直线AB经过点A(4，0)，点B(0，3)，

∴∴

∴y＝﹣x＋3．

∵点P在抛物线y＝﹣x2＋x＋3上，

∴设点P(m，﹣m2＋m＋3)(0＜m＜4)，

∵点N在直线y＝﹣x＋3上，设点N(m，﹣m＋3)．

∴PN＝﹣m2＋m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m．

又．∴，

解得：m1＝2，m2＝4(不合题意，舍去)．

∴点P的坐标是(2,)．

(3)如图2，设OB的中点为点Q，则点Q的坐标(0,)，

又点N(m,﹣m＋3)，过点N作NK⊥y轴于点K，

则NK＝m，KQ＝﹣m＋3﹣＝﹣m＋，

在Rt△NQK中，QN＝＝，

当⊙N与⊙Q内切时，．

∴＝ (4﹣m)﹣，解之得：．

∴当⊙N与⊙Q内切时，．

7.解：(1)∵点A(﹣1，0)，点C(0，3)在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c上，

∴解得b＝2，c＝3.

即抛物线的表达式是y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)令﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

∵点A(﹣1，0)，

∴点B的坐标为(3，0).

设过点B、C的直线的解析式为：y＝kx＋b

，解得k＝﹣1，b＝3.

∴过点B、C的直线的解析式为：y＝﹣x＋3.

设点P的坐标为(a，﹣a＋3)，则点D的坐标为(a，﹣a2＋2a＋3)，

∴PD＝(﹣a2＋2a＋3)﹣(﹣a＋3)＝﹣a2＋3a.

∴S△BDC＝S△PDC＋S△PDB＝﹣(a﹣)2＋.

∴当a＝时，△BDC的面积最大，

∴点P的坐标为(,).

(3)存在.当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或﹣3，

∵E是抛物线上的一点，

∴将y＝3代入y＝﹣x2＋2x＋3，得x1＝0(舍去)，x2＝2；

将y＝﹣3代入y＝﹣x2＋2x＋3，得x3＝1＋，x4＝1﹣.

∴E1(2，3)，E2(1＋，﹣3)，E3(1﹣，﹣3)，

则点F1(1，0)，F2(2＋，0)，F3(2﹣，0)，

当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，

∵E是抛物线上的一点，

∴将y＝3代入y＝﹣x2＋2x＋3，得x1＝0(舍去)，x2＝2；

即点E4(2，3).则F4(﹣3，0).

由上可得，点E的坐标为：E1(2，3)，E2(1＋，﹣3)，E3(1﹣，﹣3)，E4(2，3)，

与之对应的点F的坐标是：F1(1，0)，F2(2＋，0)，F3(2﹣，0)，F4(﹣3，0).

8.解：(1)把A(﹣1，0)和点B(0，)代入y＝﹣x2＋bx＋c，

得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋；

(2)∵y＝﹣(x﹣2)2＋，

∴C(2，)，抛物线的对称轴为直线x＝2，

如图，设CD＝t，则D(2，﹣t)，

∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，

∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，

∴P(2＋t，﹣t)，

把P(2＋t，﹣t)代入y＝﹣x2＋2x＋得﹣(2＋t)2＋2(2＋t)＋＝﹣t，

整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝2，

∴线段CD的长为2；

(3)P点坐标为(4，)，D点坐标为(2，)，

∵抛物线平移，使其顶点C(2，)移到原点O的位置，

∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，

而P点(4，)向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，

∴E点坐标为(2，﹣2)，设M(0，m)，

当m＞0时，•(m＋＋2)•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为(0，)；

当m＜0时，•(﹣m＋＋2)•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为(0，﹣)；

综上所述，M点的坐标为(0，)或(0，﹣)．