中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四（含答案）

中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四

1.已知直线y=x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．

(1)如图1，求抛物线的解析式；

(2)如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；

(3)如图3，在(2)的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．

2.在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c(b、c为常数)与x轴交于A(﹣6，0)、B(2，0)两点．

(1)求抛物线L1的函数表达式；

(2)将该抛物线L1向右平移4个单位长度得到新的抛物线L2，与原抛物线L1交于点C，点D是点C关于x轴的对称点，点N在平面直角坐标系中，请问在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，点C(2，﹣4)在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点D(2，0)的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

4.定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．

(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆，并说明理由；

(2)已知二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；

(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x＋4(0＜a＜1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．

5.如图，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知点B(3，0)．

(1)求直线BC及抛物线的函数表达式；

(2)P为x轴上方抛物线上一点．

①若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；

②如图，PD∥y轴交BC于点D，DE∥x轴交AC于点E，求PD＋DE的最大值；

(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

6.已知抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2和直线l2：y＝﹣x﹣均与x轴相交于点A，抛物线l1与x轴的另一个交点为点B(3，0)．

(1)求a，b的值；

(2)将抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，求h的值；

(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方(点P不与点A，D重合)，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l2于点M，N，记W＝PM＋PN，求W的最大值．

7.如图，抛物线y=ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

(1)求抛物线的表达式；

(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积.

8.如图，抛物线y=﹣x2﹣2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.

(1)求A，B，C三点的坐标.

(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积.

(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ，求点F的坐标.

0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十四（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)∵当x=0时，y=﹣x2+bx+3，∴C(0，3)，

将点C代入y=x+m得m=3，当y=0时，x=﹣6，∴A(﹣6，0)，

将点A代入y=﹣x2+bx+3得b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；

(2)如图2，延长QP、AE交于点H，

∵点P、Q关于对称轴对称，∴QP∥x轴，

∵AE⊥x轴，∴∠H=90°，

∵2∠PQF+∠PFQ=90°，

∴∠PQF+∠PFQ=90°﹣∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA，∴∠PQF=∠HAP，

在△HAP和△QEH中，

∴△HAP≌△QEH，∴QH=AH，

过点Q作QK⊥AB于点G，

∴四边形AGQH是正方形，

设点Q(t，﹣t2﹣t+3)，∴QH=t+6，QG=﹣t2﹣t+3，

∴t+6=﹣t2﹣t+3，解得：t=﹣1或t=﹣6(舍去)，

∴Q(﹣1，5)；

∵点P、Q关于x=﹣对称，∴点P(﹣4，5)，

∴PQ=3；

(3)∵DP：DQ=1：4，∴DP=1，D(﹣5，5)，HD=1，

∵DN⊥QK，∠AMN=45°，

过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，

∴AM=AG，∴KMN+∠KAN=180°，

∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°，

∴∠MKA=∠ANG，

∵KAN=∠MAG=90°，∴∠MAK=∠NAG，

在△AKM和△ANG中，

∴△AKM≌△ANG，∴AK=AN，

过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形，

∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL，

在△HKQ和△LND中，

∴△HKQ≌△LND，∴HK=LN，

设HK=LN=m，则AN=AK=m+1，

∴AH=m+1+m=5，∴m=2，

∵∠HQK=∠OAR，

∴tan∠HQK=tan∠OAR=，

设R(m，﹣﹣m2﹣m+3)，过点R作RS⊥AB于点S，

∴，∴m=或m=﹣6(舍)，

∴R(，)．

2.解：(1)把A(﹣6，0)、B(2，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c中，

得，解得，

∴抛物线L1的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x＋12；

(2)存在，理由如下：

∵y＝﹣x2﹣4x＋12＝﹣(x＋2)2＋16，

∴抛物线L2的函数表达式为y＝﹣(x＋2﹣4)2＋16＝﹣(x﹣2)2＋16＝﹣x2＋4x＋12，

令﹣x2﹣4x＋12＝﹣x2＋4x＋12，解得：x＝0，

当x＝0时，y＝﹣x2﹣4x＋12＝12，

∴点C的坐标为(0，12)，

∵点D是点C关于x轴的对称点，

∴点D坐标为(0，﹣12)，

①当M在x轴上方时，要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，

则yM＝yC，即﹣x2＋4x＋12＝12，解得：x1＝0，x2＝4，

∴M1(4，12)；

②当M在x轴下方时，

要使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，

则yM＝yD，即﹣x2＋4x＋12＝﹣12，解得：x1＝2＋2，x2＝2﹣2，

M2(2＋2，﹣12)，M3(2﹣2，﹣12)．

综上所述，在抛物线L2上是否存在点M，使得以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的矩形，点M的坐标为(4，12)或(2＋2，﹣12)或(2﹣2，﹣12)．

3.解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．

在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C(2，﹣4)，

∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，

∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP＋PB＝4＋2＝6，

∴点A(﹣2，0)，点B(6，0)，

把点A(﹣2，0)，点B(6，0)，点C(2，﹣4)代入函数解析式得

，解得，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．

故答案为：y＝x2﹣x﹣3．

(2)设过点D(2，0)的直线MN解析式为y＝k(x﹣2)＝kx﹣2k，

联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，

化简得＝0，

xN＋xM＝﹣＝4(k＋1)，xNxM＝＝8k﹣12.①，

联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝(＋2)2﹣(＋2)﹣3，

化简得y2＋(﹣﹣1)y﹣4＝0，yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2..②，

线段MN的中点就是圆的圆心，∴xO＝(xN＋xM)＝2(K＋1)，

代入直线方程得yO＝2k2，

∴圆心坐标为(2k＋2，2k2)，

直径MN＝＝，

把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，

设圆上某一点(x，y)到圆心的距离等于半径，

∴＝，

化简整理得16k2＋12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x＋y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx＋x2﹣4x＋y2，

圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，

k2、k的系数，常量对应相等，

得﹣8＝﹣4x，x＝2，

16＝﹣4y，y＝﹣4，

由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．

故答案为：以线段MN为直径的圆过定点(2，﹣4)．

4.解：(1)对于二次函数y＝x2﹣4x＋3，

当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，

∴二次函数图象与x轴交点为A(1，0)，B(3，0)，与y轴交点为C(0，3)，

∵点P(2，2)，

∴PA＝PB＝PC＝，

∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x＋3的坐标圆．

(2)如图1，连接PH，

∵二次函数y＝x2﹣4x＋4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，

∴A(2，0)，与y轴的交点H(0，4)，

∴△POA周长＝PO＋PA＋OA＝PO＋PH＋2≥OH＋2＝6，

∴△POA周长的最小值为6．

(3)如图2，连接CD，PA，

设二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，

由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，

∵AB＝，∴AF＝BF＝，

∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C(0，4)，

∴∠PCD＝∠PDC＝30°，

设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，

∵二次函数y＝ax2﹣4x＋4图象的对称轴l为，

∴，即，

在Rt△PAF中，PA2＝PF2＋AF2，

∴，即，

化简，得，解得，∴．

5.解：(1)将点B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x﹣(6m＋9)，

∴m2＋m＝0，

解得m＝0(舍)或m＝﹣1，

∴y＝﹣x2＋4x﹣3，

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C(0，﹣3)，

设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，

将点B(3，0)，C(0，﹣3)代入，

得，解得，

∴y＝x﹣3；

(2)①如图1，过点A作AP∥BC，则S△PBC＝S△ABC，

∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，

∴直线AP的表达式为y＝x﹣1．

联立．解得 (舍)或，

∴P(2，1)；

②由(1)知直线BC的表达式为y＝x﹣3，

设直线AC的解析式为y＝k'x＋b'，

∴，解得，

∴y＝3x﹣3，

设点P(t，﹣t2＋4t﹣3)，则点D(t，t﹣3)，，

∴PD＝﹣t2＋4t﹣3﹣(t﹣3)＝﹣t2＋3t，，

∴＝﹣(t﹣)2＋，

∴当时，PD＋DE取最大值；

(3)如图2，在抛物线上取点Q，使∠ACQ＝45°，

过点B作BM⊥BC，交CQ的延长线于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，

∵B(3，0)，C(0，﹣3)

∴OB＝OC＝3，BC＝3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴△BMN为等腰直角三角形，

∵∠ACQ＝45°，

∴∠OCA＝∠BCM，

∵A(1，0)，

∴，∴，

∵，∴，

∴BN＝NM＝1，

∴M(4，﹣1)，

∴直线CQ的解析式为y＝x﹣3，

设点Q(n,n﹣3)，∴x﹣3＝﹣n2+4n﹣3，

整理得：n2﹣n＝0，解得n＝或n＝0(舍)，

∴Q(,﹣)．

6.解：(1)∵直线l2：y＝﹣x﹣与x轴交于点A，

∴A(﹣1，0)，

将点A(﹣1，0)、点B(3，0)代入抛物线l1：y＝ax2＋bx﹣2，得：

，解得：，

∴a＝，b＝﹣；

(2)∵a＝，b＝﹣，

∴y＝x2﹣x﹣2＝(x﹣1)2﹣，

∴抛物线l1的顶点C(1，﹣)，

将y＝﹣代入直线l2：y＝﹣x﹣得，﹣x﹣＝﹣，解得x＝3，

∴抛物线l1向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l2上，移动后顶点的横坐标为3，

∴h＝3﹣1＝2，即h的值为2；

(3)设抛物线l1和直线l2的另一个交点为点D，

∵x2﹣x﹣2＝﹣x﹣的解为x＝﹣1或x＝2，

∴D(2，﹣2)，

设P(m，m2﹣m﹣2)(﹣1＜m＜2)，

则N(m，﹣m﹣)，M(﹣m2＋2m＋2，m2﹣m﹣2)，

∴PM＝﹣m2＋2m＋2﹣m＝﹣m2＋m＋2，

PN＝﹣m﹣﹣m2＋m＋2＝﹣m2＋m＋，

∴W＝PM＋PN＝﹣m2＋m＋2﹣m2＋m＋＝﹣m2＋m＋＝﹣(m﹣)2＋，

∵﹣＜0，∴W的最大值为．

7.解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y=ax2＋bx中，

得  解得：，

∴抛物线表达式为：y=﹣x2＋4x；

(2)点C的坐标为(3，3)，

又∵点B的坐标为(1，3)，

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；                    

(3)过P点作PD⊥BH交BH于点D，

设点P(m，﹣m2＋4m)，

根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH＋S四边形HAPD﹣S△BPD，

6=×3×3＋(3＋m﹣1)(m2﹣4m)﹣(m﹣1)(3＋m2﹣4m)，

∴3m2﹣15m=0，

m1=0(舍去)，m2=5，

∴点P坐标为(5，﹣5).                         

(4)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M(1，2)，N(2，0)，

由勾股定理得：MC=，

∴S△CMN=××=；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM==，

∴S△CMN=××=；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得：CN==，

∴S△CMN=××=17；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=，

∴S△CMN=××=5；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上所述：△CMN的面积为：或或17或5.

8.解：(1)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3可知点C(0，3)，

令y=0，则0=﹣x2﹣2x＋3，

解得x=﹣3或x=1，

∴点A(﹣3，0)，B(1，0).

(2)由抛物线y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x=﹣1，

设点M的横坐标为m，

则PM=﹣m2﹣2m＋3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周长=2(PM＋MN)=2(﹣m2﹣2m＋3﹣2m﹣2)=﹣2m2﹣8m＋2=﹣2(m＋2)2＋10，

∴当m=﹣2时矩形的周长最大.

∵点A(﹣3，0)，C(0，3)，

可求得直线AC的函数表达式为y=x＋3，当x=﹣2时，y=﹣2＋3=1，则点E(﹣2，1)，

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM·EM=.

(3)∵点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，

∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x＋3，得y=4，

∴点D(﹣1，4).

∴DQ=DC=.

∵FG=2DQ，

∴FG=4，

设点F(n，﹣n2﹣2n＋3)，

则点G(n，n＋3)，

∵点G在点F的上方，

∴(n＋3)﹣(﹣n2﹣2n＋3)=4，解得n=﹣4或n=1.

∴点F(﹣4，﹣5)或(1，0).