中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习一（含答案）

中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习一

1.如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)经过A(4，0)和B(0，4)两点，其顶点为C．

(1)求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；

(2)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．

①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；

②若S为整数，则这样的M点有     个．

2.抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c(a＜2且a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M(m，n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．

(1)若m＝2，n＝﹣3，求a的值；

(2)记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；

(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx＋b(k≠0)，与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

3.如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接AC．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋2kx＋2k2＋1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜k＜x2)，当x1＋x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；

(3)点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋6与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(6，0)，与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标；

(3)点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标．

6.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线上有一点D(点D位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标．

7.抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(﹣1，0)，C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；

(3)如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MN∥y轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N＋CN的值最小时，求MN的长．

8.已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2＋bx＋m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．

(1)求b的值；

(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；

②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；

(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习一（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为A(4，0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，设抛物线的解析式为y=a(x＋2)(x﹣4)，

把B(0，4)代入得a•2•(﹣4)=4，解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣(x＋2)(x﹣4)，即y=﹣x2＋x＋4；

∵y=﹣(x﹣1)2＋，

∴抛物线的顶点C的坐标为(1，)；

(2)①过M点作MN∥y轴交AB于N点，如图，

设AB的解析式为y=mx＋n，把B(0，4)、A(4，0)代入得

，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x＋4，

设M(t，﹣t2＋t＋4)，则N(t，﹣t＋4)，

∴MN=﹣t2＋t＋4﹣(﹣t＋4)=﹣t2＋2t，

∴S=S△BMN＋S△AMN=•4•MN=•4•(﹣t2＋2t)=﹣t2＋4t=﹣(t﹣2)2＋4，

∴当t=2时，S有最大值，最大值为4；

②∵0＜t＜4，

∴当t=1、2、3时，S为整数，即这样的M点有3个．故答案为3．

2.解：(1)将点A(﹣1，0)代入抛物线y1＝ax2﹣2ax＋c中，

∴a＋2a＋c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴抛物线y1＝ax2﹣2ax﹣3a．

当m＝2，n＝﹣3时，M(2，﹣3)，

∴4a﹣4a﹣3a＝﹣3，解得a＝1；

(2)证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，

∵点P为y1＝ax2﹣2ax﹣3a的最低点，

∴P(a，﹣4a)，

令y1＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，

∴B(3，0)，

∴直线BP的解析式为：y＝2ax﹣6a，

设M(m，am2﹣2am﹣3a)，

∴Q(m，2am﹣6a)，

∴QM＝2am﹣6a﹣(am2﹣2am﹣3a)＝﹣am2＋4am﹣3a，

∴S＝|xB﹣xP|•QM＝﹣am2＋4am﹣3a＝﹣a(m﹣2)2＋a，

∵﹣a＜0，开口向下，

∴当m＝2时，S的最大值为a，

∵a＜2，

∴当1＜m＜3时，S＝a＜2．

(3)解：∵当x＜﹣1时，总有y1＜y2，

∴直线l必经过点A(﹣1，0)，

将点A代入直线l：y2＝kx＋b，

∴﹣k＋b＝0，

∵直线l：y2＝kx＋b由直线PB：y＝2ax﹣6a向上平移t个单位长度得到，

∴k＝b＝2a，b＝﹣6a＋t＝2a，

∴t＝8a，

∴y2＝2ax＋2a，点C(0，2a)，

令2ax＋2a＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x＝﹣1或x＝5，

∴E(5，12a)．

①当∠ECD＝90°时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，

∴△FEC∽△OCD，

∴EF：OC＝CF：OD，即5：2a＝10a：1，∴a＝或a＝﹣(舍)；

∴t＝8a＝4≥4，符合题意；

②当∠CDE＝90°时，过点E作x轴的垂线于点F，

∴△OCD∽△FDE，

∴EF：OD＝DF：OC，即12a：1＝4：2a，解得a＝或a＝﹣(舍)，

∴t＝8a＝＜＝4，不符合题意；

③当∠CED＝90°时，显然不存在．

综上，存在，且t的值为．

3.解：(1)抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，

∴A(﹣1，0)，

∴，解得，

∴抛物线的解析式y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3，∴C(0，3)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋3，

将点B(3，0)代入得：0＝3k＋3，解得：k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3；

设点D坐标为(t，﹣t2＋2t＋3)，则点N(t，﹣t＋3)，

∵A(﹣1，0)，C(0，3)，

∴AC2＝12＋32＝10，

AN2＝(t＋1)2＋(﹣t＋3)2＝2t2﹣4t＋10，CN2＝t2＋(3＋t﹣3)2＝2t2，

①当AC＝AN时，AC2＝AN2，

∴10＝2t2﹣4t＋10，解得t1＝2，t2＝0(不合题意，舍去)，

∴点N的坐标为(2，1)；

②当AC＝CN时，AC2＝CN2，

∴10＝2t2，解得t1＝，t2＝﹣ (不合题意，舍去)，

∴点N的坐标为(，3﹣)；

③当AN＝CN时，AN2＝CN2，

∴2t2﹣4t＋10＝2t2，解得t＝，

∴点N的坐标为(，)；

综上，存在，点N的坐标为(2，1)或(，3﹣)或(，)；

(3)设E(1，a)，F(m，n)，

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴BC＝3，

①以BC为对角线时，BC2＝CE2＋BE2，

∴(3)2＝12＋(a﹣3)2＋a2＋(3﹣1)2，

解得：a＝＋，或a＝﹣，∴E(1，＋)或(1，﹣)，

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴m＋1＝0＋3，n＋＋＝0＋3或n＋﹣＝0＋3，

∴m＝2，n＝﹣或n＝＋，

∴点F的坐标为(2，﹣)或(2，＋)；

②以BC为边时，BE2＝CE2＋BC2或CE2＝BE2＋BC2，

∴a2＋(3﹣1)2＝12＋(a﹣3)2＋(3)2或12＋(a﹣3)2＝a2＋(3﹣1)2＋(3)2，

解得：a＝4或a＝﹣2，

∴E(1，4)或(1，﹣2)，

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴m＋0＝1＋3，n＋3＝0＋4或m＋3＝1＋0，n＋0＝3﹣2，

∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1，

∴点F的坐标为(4，1)或(﹣2，1)，

综上所述：存在，点F的坐标为(2，﹣)或(2，＋)或(4，1)或(﹣2，1)．

4.解：(1)∵(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线y＝﹣x2＋2kx＋2k2＋1上，

∴x1＋x2＝2k，x1x2＝﹣2k2﹣1，y1＝﹣x12＋2kx1＋2k2＋1，y2＝﹣x22＋2kx2＋2k2＋1，

∴y1﹣y2＝(﹣x12＋2kx1＋2k2＋1)﹣(﹣x22＋2kx2＋2k2＋1)＝(x2﹣x1)(x1＋x2﹣2k)，

∵当x1＋x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立，

∴(x2﹣x1)(2﹣2k)＝0，

∵x1＜k＜x2，

∴2﹣2k＝0，

∴k＝1，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；

(2)由(1)知：y＝﹣x2＋2x＋3，

令y＝0，得﹣x2＋2x＋3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A(﹣1，0)，B(3，0)，

令x＝0，得y＝3，

∴C(0，3)，

在Rt△AOC中，AC＝＝，

设直线AC的解析式为y＝mx＋n，

则，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，

如图1，过点M作MD∥y轴交AC于点D，

设M(t，﹣t2＋2t＋3)(﹣1＜t＜0)，则D(t，3t＋3)，

∴MD＝﹣t2＋2t＋3﹣(3t＋3)＝﹣t2﹣t，

∵MN⊥AC，

∴∠MND＝90°＝∠AOC，

∵MD∥OC，

∴∠MDN＝∠ACO，

∴△MDN∽△ACO，

∴＝，即＝，

∴MN＝﹣(t＋)2＋，

∵﹣＜0，

∴当t＝﹣时，线段MN取得最大值，此时，M(﹣，)；

(3)存在．∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，

设P(m，﹣m2＋2m＋3)(m＞1)，则Q(1，﹣m2＋2m＋3)，过点P作PH⊥x轴于点H，则H(m，0)，

∵PQ⊥l，l⊥x轴，

∴PQ∥x轴，

∴∠FPQ＝∠PAH，

∵∠PQF＝∠AHP，

∴△PFQ∽△APH，

当点P在x轴上方时，如图2，PH＝﹣m2＋2m＋3，AH＝m＋1，又OA＝1，OC＝3，

若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，

∴＝，即＝，解得：m＝﹣1(舍去)或m＝，

当m＝时，﹣m2＋2m＋3＝﹣()2＋2×＋3＝，

∴P(，)；

若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，

∴＝，即＝，解得：m＝﹣1(舍去)或m＝0(不符合题意，舍去)；

当点P在x轴下方时，如图3，PH＝m2﹣2m﹣3，AH＝m＋1，

若△PFQ∽△CAO，则△APH∽△CAO，

∴＝，即＝，解得：m＝﹣1(舍去)或m＝，

当m＝时，﹣m2＋2m＋3＝﹣()2＋2×＋3＝﹣，

∴P(，﹣)；

若△PFQ∽△ACO，则△APH∽△ACO，

∴＝，即＝，解得：m＝﹣1(舍去)或m＝6，

当m＝6时，﹣m2＋2m＋3＝﹣62＋2×6＋3＝﹣21，

∴P(6，21)；

综上所述，点P的坐标为(，)或(，﹣)或(6，21)．

5.解：(1)将A(﹣2，0)，B(6，0)代入y＝ax2＋bx＋6，

得：，解得：，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋6；

(2)如图：

∵y＝﹣x2＋2x＋6＝﹣(x﹣2)2＋8，

∴C(0，6)、D(2，8)，

∵B(6，0)，

∴BC＝6，

CD＝2，

BD＝4，

∴BC2＋CD2＝BD2，

∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，

∴S△BCD＝BC•CD＝12，

∵S△PDB＝PD•(6﹣2)＝2PD＝S△CDB＝12，

∴PD＝6，

∴P(2，2)；

(3)∵B(6，0)，C(0，6)．

∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋6，OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵y＝﹣x2＋2x＋6，

∴对称轴l为x＝2，

当x＝2时，y＝﹣x＋6＝4，∴E(2，4)，

设M(m，﹣m＋6)，且2＜m＜6，

①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，过点E作EH⊥MN于H，

∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°，

∵∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠NME＝∠OCB，

∴MN∥y轴，

∴N(m，﹣m2＋2m＋6)，

∴MN＝﹣m2＋2m＋6＋m﹣6＝﹣m2＋3m，EH＝m﹣2，

∴﹣m2＋3m＝2(m﹣2)，解得m＝4或m＝﹣2(不合题意，舍去)，

∴M(4，2)；

②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，

∴EH＝NH＝MH＝EN，∠MEN＝∠ENM＝45°，

∵∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠MEN＝∠OBC，

∴EN∥x轴，

∴点N的纵坐标为4，

当y＝4时，﹣x2＋2x＋6＝4，

解得x＝2＋2或x＝2﹣2(不合题意，舍去)，

∴N(2＋2，4)，

∴EN＝2＋2﹣2＝2，

∴EH＝MH＝EN＝，

∴m＝2＋，

∴M(2＋，4﹣)；

综上所述，点M的坐标为(4，2)或(2＋，4﹣)．

6.解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，

将A(4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c，

∴，解得，

∴y＝﹣x2＋x﹣2；

(2)存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：

设P(t，﹣t2＋t﹣2)，则M(t，0)，1＜t＜4，∴PM＝﹣t2＋t﹣2，

∵A(4，0)，

∴AM＝4﹣t，

∴tan∠MAP＝，

∵C(0，﹣2)，

∴OC＝2，OA＝4，

∴tan∠OAC＝，

①当∠PAM＝∠OAC时，＝，解得t＝2或t＝4(舍)，

∴P(2，1)；

②当∠PAM＝∠OCA时，＝2，解得t＝4(舍)或t＝5(舍)，

∴此时P不存在；

综上所述：P点坐标为(2，1)；

(3)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，

∴，∴，

∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，

过点B作直线AC的平行线y＝x＋m，

∴＋m＝0，∴m＝﹣，∴y＝x﹣，

联立方程组，解得(舍)或，

∴D(3，1)．

7.解：(1)∵y＝﹣x2＋bx＋c经过B(﹣1，0)，C(0，3)，

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3．

(2)如图1中，过点B作BT∥y轴交AC于T，过点P作PQ∥OC交AC于Q．

设P(m，﹣m2＋2m＋3)，

对于抛物线y＝﹣x2＋2x＋3，令y＝0，可得x＝3或﹣1，

∴A(3，0)，

∵C(0，3)，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋3，

∵B(﹣1，0)，

∴T(﹣1，4)，

∴BT＝4，

∵PQ∥OC，

∴Q(m，﹣m＋3)，

∴PQ＝﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m，

∵PQ∥BT，

∴＝＝，

∴﹣m2＋3m＝2，解得m＝1或2，

∴P(1，4)或(2，3)．

(3)如图2中，连接AD′，过点N作NJ⊥AD′于J，过点C作CT⊥AD′于T．

∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴顶点D(1，4)，

∵C(0，3)，

∴直线CD的解析式为y＝x＋3，CD＝，

∵DD′＝2CD，

∵DD′＝2，CD′＝3，

∴D′(3，6)，

∵A(3，0)，

∴AD′⊥x轴，

∴OD′＝3，

∴sin∠OD′A＝，

∵CT⊥AD′，

∴CT＝3，

∵NJ⊥AD′，

∴NJ＝ND′sin∠OD′A＝D′N，

∴D'N＋CN＝CN＋NJ，

∵CN＋NJ≥CT，

∴D'N＋CN≥3，

∴D'N＋CN的最小值为3，

此时N为OD'与CT的交点，∴N(1.5，3)，

∵平移后抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2＋6，MN平行y轴，将x＝1.5代入抛物线解析式，

∴M(，)，

∴MN＝.

8.解：(1)∵已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4；

(2)如图1：①令x2＋bx＋m＝0，

解得x＝2﹣或x＝2＋，

∵M在N的左侧，

∴M(2﹣，0)，N(2＋，0)，

∴MN＝2，MN的中点坐标为(2，0)，

∵△MNP为直角三角形，

∴＝，解得m＝0(舍)或m＝﹣1；

②∵m＝﹣1，

∴y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)，

令x2﹣4x﹣1＝﹣4，解得x＝1或x＝3，

∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)与直线y＝﹣4的交点为(1，﹣4)，(3，﹣4)，

∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)，

当﹣x2＋4x＋1＝﹣4时，解得x＝5(舍)或x＝﹣1，

∴抛物线y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)与直线y＝﹣4的交点为(﹣1，﹣4)，

∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2＋时，﹣4≤y＜0；

(3)y＝x2﹣4x＋m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)，

如图2，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，解得m＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)，当x＝5时，y＝1，

∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)与线段AB有一个交点，

∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；

如图3，当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)经过点(0，﹣1)时，m＝﹣1，

此时图象C与线段AB有三个公共点，

∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点； 

如图4，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点(0，﹣1)时，m＝1，

此时图象C与线段AB有两个公共点，

当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，解得m＝3，

此时图象C与线段AB有一个公共点，

∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；

综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．