真题重组卷05——2023年高考数学真题汇编重组卷（上海专用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷05

数学（上海地区专用）

考生注意：

1、本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2、本试卷分设试卷和答题卡.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1、（2015·上海·统考高考真题）函数的最小正周期为___________.

【答案】

【分析】先由二倍角公式将化简，再由，即可得出结果.

【详解】因为 ，所以，所以函数的最小正周期为.

故答案为

【点睛】本题主要考查函数的周期，二倍角的余弦公式.

2、（2019年上海高考真题）计算　　．

解：．

故答案为：2．

3、（2022年上海高考真题）已知a∈R，行列式的值与行列式的值相等，则a＝　   　．

【分析】根据行列式所表示的值求解即可．

【解答】解：因为＝2a﹣3，＝a，

所以2a﹣3＝a，解得a＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．

4、（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为　21　（结果用数值表示）．

【考点】DA：二项式定理．版权所有

【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．

【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为

Tr+1=•xr，

令r=2，得展开式中x2的系数为=21．

故答案为：21．

【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．

5、（2017·上海·统考高考真题）已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________

【答案】

【详解】 由四个函数①；②；③；④，

 从中任选个函数，共有种，

 其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，

 所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.

6、（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=　5　．

【考点】A8：复数的模．版权所有

【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．

【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，

得，

则|z|=．

故答案为：5．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

7、（2017·上海·统考高考真题）设、，且，则的最小值等于________

【答案】

【详解】 由三角函数的性质可知，，

 所以，即，

 所以，

 所以.

8、（2021年上海高考真题）已知等比数列，的各项和为，则数列的各项和为________．

【答案】

因为的各项和为，

所以，解得，所以

即数列的各项和为

9、（2011·上海·高考真题）在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是_______________ 千米．

【答案】

【详解】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°-75°-60°=45°

∴AD=x

∴在Rt△ABD中，AB•sin60°= x

x=" 6" （千米）

答：A、C两点之间的距离为 千米．

故答案为 下由正弦定理求解：

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°-75°-60°=45°

又相距2千米的A、B两点

∴ ，解得AC=

答：A、C两点之间的距离为 千米．

故答案为

10、（2013·上海·高考真题）在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________

【答案】

【详解】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．

【考点定位】考查旋转体组合体体积的计算，重点考查空间想象能力，属难题．

11、（2011·上海·高考真题）设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为___________________ ．

【答案】

【分析】可根据是定义在上，以1为周期的函数，研究函数的性质，得，由此关系求出函数在在区间，上的值域即可．

【详解】由题意 在上成立，

故，

因为为上周期为1的函数，

所以

由此知自变量增大1，函数值也增大1

由在上的值域为，

可得在上的值域为，

在上的值域为，

……

在上的值域为，

在上的值域为，

……

在上的值域为，

故在，上的值域为，

故答案为：，

12、（2011·上海·高考真题）已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则___ ．

【答案】

【分析】设线段上到原点距离等于的点为，可得，根据已知条件可得，，，，中必有一点在的左侧，一点在的右侧，再由，，，是中点，可得出，，，的极限即为，即可求解.

【详解】

由可知和一个大于一个小于，

设线段上到原点距离等于的点为，由可得，

所以线段上到原点距离等于的点为，

若则和应在点的两侧，

所以第一次应取，

若，依次下去则，，，，中必有一点在的左侧，一点在的右侧，因为，，，是中点，

所以，，，的极限为，

所以，

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（　　）

A．2 B．2 C．2 D．4

【考点】K4：椭圆的性质．版权所有

【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．

【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．

14、（2017·上海·统考高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，

使得、、成等差数列”的一个必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】 存在，使得成等差数列，可得，

化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.

15、（2016·上海·统考高考真题）设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】试题分析：，，

又，，

注意到，只有这两组．故选B．

【考点】三角函数

【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.

16、（2022年上海高考真题）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}

①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；

②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（　　）

A．①成立②成立 B．①成立②不成立 

C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立

【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．

【解答】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，

当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，

表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆，

圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增，

相邻两个圆的圆心距d＝＝，相邻两个圆的半径之和为l＝2+2，

因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，

若直线l斜率不存在，显然不成立，

设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，

d＝，r＝，

给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，

故直线l只与有限个圆相交，②错误．

故选：B．

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，满分76分）

17、（2012·上海·高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，

PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，

AD=2，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，

从而CD⊥PD.

因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为.

（2）

取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，

从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角 ,

在中，由EF=、AF=、AE=2，

则是等腰直角三角形，所以∠AEF=.

因此异面直线BC与AE所成的角的大小是

18、（2017·上海·统考高考真题）已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.

（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.

【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.

（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.

由余弦定理得，，解得或.

当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.

所以三角形的面积为.

【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

19、（2016·上海·统考高考真题）有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走．于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图

（1）求菜地内的分界线的方程

（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为．设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值

【答案】（1）（）．（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”．

【详解】试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以

为准线的抛物线在正方形内的部分．

（2）通过计算矩形面积，五边形面积，以及计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．

试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以

为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．

（2）依题意，点的坐标为．

所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差

的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．

【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算

【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.

20、（2011·上海·高考真题）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为．

⑴若与重合，求的焦点坐标；

⑵若，求的最大值与最小值；

⑶若的最小值为，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）

（3）

【详解】解：⑴，椭圆方程为，

∴ 左、右焦点坐标为．

⑵ ，椭圆方程为，设，则

∴ 时； 时．

⑶设动点，则

∵ 当时，取最小值，且，∴ 且

解得．

21、（2019年上海高考真题）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有两个元素；

（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．

【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．

当，

集合，0，．

（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：

根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，

②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，

综上，或者．

（3）①当时，，集合，，，符合题意．

②当时，，，，或者，

等差数列的公差，，故，，又，2

当时满足条件，此时，1，．

③当时，，，，或者，因为，，故，2．

当时，，1，满足题意．

④当时，，，

所以或者，，，故，2，3．

当时，，满足题意．

⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．

当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．

综上，，4，5，6．