新教材2023年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角课件新人教A版必修第一册

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第五章　三角函数5.1　任意角和弧度制5.1.1　任意角第1课时必备知识 · 探新知角可以看成一条______绕着端点旋转所成的图形．想一想：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．射线　知识点 1角的概念顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．知识点 2角的表示想一想：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．(2)角的三要素是顶点、始边、终边．知识点 3角的分类正角　负角　零角　想一想：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．练一练：1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是 (　　)A．1 B．2　C．3 D．4[解析]　正角有126°，99°共2个．2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为 (　　)A．120°　　 B．－120°　　　C．60°　　 D．240°B　A　如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．想一想：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．知识点 4象限角练一练：－215°是 (　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]　由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．B　所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合________________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．想一想：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　知识点 5终边相同的角练一练：1．(2021·济南外国语期中)下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是 (　　)A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析]　－1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．D　2．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是_______、_________、______．390°　－150°　60°　[解析]　题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.关键能力 · 攻重难 下列命题正确的是 (　　)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[分析]　角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．C　典例1[解析]　终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]　关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【对点练习】❶ (1)(多选题)下列说法，不正确的是 (　　)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　)A．60°，720°　 B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°ACD　B　 已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．典例2[解析]　因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.[归纳提升]　1．一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．2．如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．【对点练习】❷ 下列各角中，与角30°终边相同的角是 (　　)A．－390° B．－330°C．330° D．570°[解析]　－330°＝－360°＋30°，与30°终边相同．B　 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．[分析]　先在0°～360°内找到终边在y＝x上的角；再推广到任意角；最后找出－360°≤β<720°内的角．[解析]　直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：典例3S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.注意解题过程的规范性：①终边在直线y＝x上注意讨论两种情况．② 这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合．[归纳提升]　1．求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．2．求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．[解析]　S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}． 已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．典例4[解析]　(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[归纳提升]　1.表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α