专题27 倍长中线模型-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用,含解析)(原卷版)
展开模块二 常见模型专练
专题27 倍长中线模型
例1 (2021·黑龙江大庆·统考中考真题)已知,如图1,若是中的内角平分线,通过证明可得,同理,若是中的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图2,在中,是的内角平分线,则的边上的中线长的取值范围是________
例2 (2021·贵州安顺·统考中考真题)(1)如图①,在四边形中,,点是的中点,若是的平分线,试判断,,之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长交的延长线于点,易证得到,从而把,,转化在一个三角形中即可判断.
,,之间的等量关系________;
(2)问题探究:如图②,在四边形中,,与的延长线交于点,点是的中点,若是的平分线,试探究,,之间的等量关系,并证明你的结论.
例3 (2021·山东东营·统考中考真题)已知点O是线段AB的中点,点P是直线l上的任意一点,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.
(1)[猜想验证]如图1,当点P与点O重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________.
(2)[探究证明]如图2,当点P是线段AB上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)[拓展延伸]如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
②若,请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系.
倍长中线模型概述:当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,使得延长后的线段是原中线的二倍,从而构造一对全等三角形(SAS),并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型:
【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点,延长线段AD到点E使AD=DE
1)连接EC,则∆ABD≌∆ECD,AB∥CE
2)连接BE,则∆ADC≌∆EDB,AC∥BE
证明:
∵点D为∆ABC中BC边中点
∴BD=DC
在∆ABD和∆ECD中
AD=ED
∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD(SAS) ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CE
BD=DC
在∆ADC和∆EDB中
AD=ED
∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB(SAS) ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BE
BD=DC
【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点,延长线段DF到点E使DF=DE,
连接EC,则∆BDF≌∆CDE
总结:
【变式1】(2021·浙江湖州·统考二模)如图,在四边形中,,,,,,点是的中点,则的长为( ).
A.2 B. C. D.3
【变式2】(2021·贵州遵义·校联考二模)如图,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,若△CEF的面积为12cm2,则S△DGF的值为( )
A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.9cm2
【变式3】(2022·四川成都·统考一模)在中,,,是边上的中线,记且为正整数.则使关于的分式方程有正整数解的概率为______.
【变式4】(2021·河南周口·统考二模)如图,在中,,,为边的中点,若,则的长度为______.
【变式5】(2022·山东泰安·校考二模)已知ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE.
(1)连接AE、CD,如图1,求证:AE=CD;
(2)若N为CD中点,连接AN,如图2,求证:CE=2AN
(3)若AB⊥BC,延长AB交DE于M,DB=,如图3,则BM=_______(直接写出结果)
【培优练习】
1.如图,为的中线,,,则的长的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.如图,在中,,,是边上的中线,则的长度可能为( )
A.1 B.2 C.5 D.8
3.如图,中,AD为中线,,,,则AC长( )
A.2.5 B.2 C.1 D.1.5
4.对于任意△(见示意图).若 是△的边上的中线,、的角平分线分别交、于点,连接,那么之间的数量关系正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图,中,点是边的中点,线段平分.的延长线交于点,且.下列结论:
①;②;③;④.
正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在中,,,则边上的中线的取值范围是_____.
7.如图,在中,为中线,且,则边的取值范围是___________.
8.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AD上一点,BE=AC.若∠C=70°,∠DAC=50°,则∠EBD的度数为__________________.
9.如图,在中, 是边上的中线.延长到点,使,连接.
(1)求证:;
(2)与的数量关系是:____________,位置关系是:____________;
(3)若,猜想与的数量关系,并加以证明.
10.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,中,若,,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到点E,使,请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到的理由是 .
A. B. C. D.
(2)求得的取值范围是 .
A. B. C. D.
(3)如图2,是的中线,交于E,交于F,且.求证:.
11.(1)阅读理解:
如图①,在中,若,,求边上的中线的取值范围,并说明理由.
解决此问题可以用如下方法:延长到点E使,再连接(或将绕着点D逆时针旋转得到),把,集中在中,体现了转化和化归的数学思想,利用三角形三边的关系即可判断.
(2)问题解决:
如图②,在中,D是边上的中点,于点D,交于点M,交于点N,连接,求证:;
12.某数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图,在中,,,D是的中点,求边上的中线的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到E,使,请补充完整证明“”的推理过程.
(1)求证:
证明:延长到点E,使
在和中
∵(已作)
(对顶角相等)
____________(中点定义)
∴(____________)
(2)由(1)的结论,根据与之间的关系,探究得出的取值范围是____________;
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
(3)【问题解决】如下图,中,,,是的边上的中线,,,且,求的长.
13.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,中,若,求边上的中线的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到点E,使,请根据小明的方法思考:
(1)由已知图能得到的理由是 .
(2)求得的取值范围是 .
(3)如图2,是的中线,交AC于E,交于F,且.求证:.
14.在中,,,垂足为,点是延长线上一点,连接.
(1)如图①,若,,求的长;
(2)如图②,点是线段上一点,,点是外一点,,连接并延长交于点,且点是线段的中点,求证:.
15.数学活动课中,老师给出以下问题:
(1)如图1,在中,是边的中点,若,,则中线长度的取值范围______.
(2)如图2,在中,是边的中点,过点的射线交边于,再作交边于点,连结,请探索三条线段、、之间的大小关系,并说明理由.
(3)已知:如图3,,且,是线段的中点.求证:.
16.(1)阅读理解:如图1,在中,若,.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长到点,使,再连接(或将绕着点逆时针旋转得到),把,,集中在中,利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______;
(2)问题解决:如图2,在中,是边上的中点,于点,交于点,交于点,连接,求证:;
(3)问题拓展:如图3,在四边形中,,,,以为顶点作一个角,角的两边分别交,于,两点,连接,探索线段,,之间的数量关系,并加以证明.
17.课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
(1)如图1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程.
(2)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.请判昕AC与BF的数量关系,并说明理由.
18.【阅读理解】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图,延长AD到点E,使DE=AD,连结BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到的理由是( ).
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
(2)AD的取值范围是( ).
A. B. C. D.
(3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”、“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.
【问题解决】如图,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=BF.
19.我们定义:如图1,在中,把绕点A顺时针旋转得到,把绕点A逆时针旋转得到,连接.当时,我们称是的“旋补三角形”, 边上的中线叫做的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:(1)在图2,图3中,是的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图2,当为等边三角形时,与的数量关系为________;
②如图3,当时,则长为___________.
猜想论证:(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想与的数量关系,并给予证明.
20.(1)方法呈现:
如图①:在中,若,,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使,再连接BE,可证,从而把AB、AC,集中在中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;
(2)探究应用:
如图②,在中,点D是BC的中点,于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,判断与EF的大小关系并证明;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系,并加以证明.
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