专题27 倍长中线模型-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练(全国通用，含解析)（原卷版）

模块二 常见模型专练

专题27 倍长中线模型 

例1  （2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________

例2  （2021·贵州安顺·统考中考真题）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．

，，之间的等量关系________；

（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

例3  （2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．

（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。

倍长中线模型模型：

【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE

1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE

2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE

证明：

∵点D为∆ABC中BC边中点

∴BD=DC

在∆ABD和∆ECD中

AD=ED

∠1=∠2      ∴∆ABD≌∆ECD（SAS）  ∴∠ABD=∠ECD    ∴AB∥CE

BD=DC

在∆ADC和∆EDB中

AD=ED

∠ADC=∠BDE      ∴∆ADC≌∆EDB（SAS）  ∴∠EBD=∠ACD    ∴AC∥BE

BD=DC

【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,

连接EC，则∆BDF≌∆CDE

总结:

【变式1】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）．

A．2 B． C． D．3

【变式2】（2021·贵州遵义·校联考二模）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（    ）

A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2

【变式3】（2022·四川成都·统考一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．

【变式4】（2021·河南周口·统考二模）如图，在中，，，为边的中点，若，则的长度为______．

【变式5】（2022·山东泰安·校考二模）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；

(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN

(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）

【培优练习】

1．如图，为的中线，，，则的长的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ）

A．1 B．2 C．5 D．8

3．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ）

A．2.5 B．2 C．1 D．1.5

4．对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ）

A． B．

C． D．

5．如图，中，点是边的中点，线段平分．的延长线交于点，且．下列结论：

①；②；③；④．

正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在中，，，则边上的中线的取值范围是_____．

7．如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________．

8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD的度数为__________________．

9．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接．

(1)求证：；

(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；

(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．

10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是 　　．

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　　D．

(2)求得的取值范围是 　　．

A．　　　B．　　C．　　D．

(3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．

11．（1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围，并说明理由．

解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．

（2）问题解决：

如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点M，交于点N，连接，求证：；

12．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．

(1)求证：

证明：延长到点E，使

在和中

∵（已作）

（对顶角相等）

____________（中点定义）

∴（____________）

(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是____________；

【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

(3)【问题解决】如下图，中，，，是的边上的中线，，，且，求的长．

13．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：

(1)由已知图能得到的理由是           ．

(2)求得的取值范围是           ．

(3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：．

14．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．

(1)如图①，若，，求的长；

(2)如图②，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．

15．数学活动课中，老师给出以下问题：

(1)如图1，在中，是边的中点，若，，则中线长度的取值范围______．

(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、、之间的大小关系，并说明理由．

(3)已知：如图3，，且，是线段的中点．求证：．

16．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；

(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；

(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．

17．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．

(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．

18．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是（    ）．

A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA

(2)AD的取值范围是（    ）．

A．    B．    C．    D．

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．

【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

19．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；

②如图3，当时，则长为___________．

猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

20．（1）方法呈现：

如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．