2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题10 定积分及其应用（教师版含解析）

专题 10 定积分及其应用

考点 34  定积分的计算

2

1.(2013 江西)若 S   x2 dx, S 

2 1 dx, S  2 exdx, 则 S , S

, S  的大小关系为

1 1

2 1    x 3 1

1 2 3

1. S1  S2  S3

2. S2  S1  S3

3. S2  S3  S1

4. S3  S2  S1

【答案】B

2     2 2 7 2 1 2

【解析】 S1   1   x  dx 

1  3 ， S2   1

dx  ln x  ln 2 ，

x 1

S  2 exdx  ex 2  e 2  e ．显然 S

 S  S

，故选 B．

3 1 1

2 1 3

2.(2011 福建) 1 (ex  2x)dx 等于

0

A．1 B． e 1

【答案】C

C． e D． e 1

【解析】 1 (ex  2x)dx  (ex  x2 ) 1  e ，选 C．

0 0

3.(2015 湖南) 0  (x 1)dx =       ．

【答案】0

【解析】 2 (x 1)dx  ( 1 x 2   x) 2  0 ．

0 2 0

4.(2013 湖南)若 T x2dx  9,则常数T的值为    ．

0

【答案】3

T T 3

【解析】 0   x  dx    9  T   3 ．

2

0

5.(2012 江西)计算定积分 1  (x2  sin x)dx ．

1

【答案】

2

3

1 (x2 

 x3

 1  1

  1

 1 1 2

【解析】 1

sin x)dx   3  cos x  |1   3  cos1  3

 cos1     ．

3 3 3

 

lg x x  0

   

6.(2011 陕西)设 f (x)  

x 

a ，若 f ( f (1))  1 ，则 a ．

3t 2dt x  0

 0

【答案】8.1

【解析】因为 x  1  0 ，所以 f (1)  lg1  0 ，又因为 f (x)  x  a 3t 2dt  x  a3 ，

0

所以 f (0)  a3 ，所以a3  1， a  1 ．

考点 35 定积分的几何意义

1.(2011 全国课标理 9)由曲线 y  ，直线 y  x  2 及 y 轴围成的图形的面积为

(A) 10

3

【答案】C

(B)4 (C) 16 3

 y 

(D) 6

【解析】解 

 y  x  2

得(4,2)， 由图知， 由曲线 y  ， 直线 y  x  2 及 y 轴围成的图形的面积为

4 2   3 1 16

0  (

 x  2)dx = (

x 2 

3 2

x2  2x) |4 =

，故选 C

3

.

2 .(2014 山东)直线 y  4x 与曲线 y  x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A． 2 B． 4 C．2 D．4

【答案】D

【解析】由 x3  4x 得， x  0 、 x  2 或 x  2 (舍去)，直线 y  4x 与曲线 y  x3 在第一象限内围成的封

闭图形的面积 S 

2 (4x  x3 )dx  (2x2  1 x4 ) |2  4 ，故选 D．

0 4 0

3.(2012 福建)如图所示，在边长为 1 的正方形OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

1 1 1 1

1. B． C． D．

4 5 6 7

【答案】C

1

2   3 1 1 1 1

【解析】∵ S阴影= （

 x)dx  (

x 2 

3 2

x 2 )

 ,正方形的面积为 1，∴ P =

0 6 6

，故选 C．

4.(2015 福建)如图，点 A 的坐标为1, 0 ，点C 的坐标为2, 4 ，函数 f  x  x2 ，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于               ．

5

【答案】

12

5

【解析】由已知得阴影部分面积为4  2 x2 dx  4  7  5 ．所以此点取自阴影部分的概率等于 3   5  ．

1 3 3 4 12

5.(2014 福建)如图，在边长为e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为               ．

2

【答案】

e2

【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴ S

=2(e 

1exdx)  2e  2ex |1  2 ，由几何概型的概率

计算公式，得所求的概率为 S阴 = 2 ．

S e2

阴 0  0

6.  (2012 山东)设a  0 ，若曲线 y  与直线 x  a, y  0 所围成封闭图形的面积为 a2 ，则 a ．

9

【答案】

4

0

2 3 2 3 9

3 0 3 4