2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换（教师版含解析），共15页。试卷主要包含了若 tan 0，则，已知sin(，已知  ，等内容，欢迎下载使用。


专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
理 5 三角函数定义
文 7 三角恒等变换
2011 课标
三角函数定义与二倍角正弦公式
同角三角函数基本关系与诱导公式
同角三角函数基本关系式、三角函数在各象限
的符号及两角和的正切公式
卷 2
理 15
三角恒等变换
2013
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
卷 2
文 6
理 8
二倍角公式及诱导公式
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
本题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、
三角函数性质等基础知识
卷 1
2014
卷 1
文 2 三角函数定义
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角函数在各象限的符号
2015 卷 1
理 2
诱导公式及两角和与差的三角公式
三角恒等变换
三角恒等变换
两角差的正切公式、同角三角函数基本关系、
卷 2
理 9
二倍角公式
二倍角正弦公式、同角三角函数基本关系、三
卷 3
理 5 同角三角函数基本关系与诱导公式
角函数式求值．
2016
诱导公式、同角三角函数基本关系、三角函数
卷 1 文 14 同角三角函数基本关系与诱导公式
求值
利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求
卷 3
文 6 同角三角函数基本关系与诱导公式
值
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、两角和公式及化归与
转化思想
卷 1 文 14
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
2017
卷 3
文 4
二倍角的正弦公式与同角三角函数基本关系．
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、两角和公式及化归
与转化思想
卷 2 理 15
同角三角函数基本关系与诱导公式
理 4 三角恒等变换
2018 卷 3
二倍角余弦公式，运算求解能力
文 4
卷
三角函数定义
三角函数定义、同角三角函数基本关系，转化
与化归思想与运算求解能力
文 11
1
同角三角函数基本关系与诱导公式


同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化
归思想与运算求解能力
卷 2 文 15
二倍角公式及同角三角函数基本关系，运算求
解能力
卷 2 理 10 三角恒等变换
三角恒等变换
卷 3
卷 1
文 5
文 7
二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．
诱导公式，两角和的正切公式
函数零点
2019
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、二倍角公式、已知函
数值求角，运算求解能力
二倍角公式，平方关系
二倍角公式，三角函数的符号
二倍角公式
卷 2 文 11
卷 1
卷 2
理 9 三角恒等变换
理 2 三角恒等变换
2020
文 13 三角恒等变换
理 9 三角恒等变换
文 5 三角恒等变换
卷 3
卷 3
两角和的正切公式
两角和的正弦公式
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
三角函数定义
4/23
2021 年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三
角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍
为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．
同角三角函数基本关系与诱导公式 16/23
三角恒等变换
13/23
十年试题分类*探求规律
考点 36 三角函数定义
1．(2018•新课标Ⅰ，文 11)已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a) ，
2
B(2,b)，且cos 2a = ，则| a -b|= (
)
3
1
5
5
2 5
5
A．
B．
C．
D．1
5
【答案】B
2
【解析】Q角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a) ，B(2,b) ，且cos 2a = ，
3
2
3
5
6
30
6
30
36
6
\cos 2a = 2 cos
2
a -1=
， 解 得 cos
2
a =
， \| cosa |=
， \| sina |= 1-
=
，
6


6
b - a
2-1
| sina |
| cosa |
5
6
30
6
| tana |=|
|=| a -b|=
=
=
，故选 B ．
5
2．(2014 新课标 I，文 2)若 tana >0，则
A. sin 2a > 0
B． cosa > 0
C． sina > 0
D． cos 2a > 0
【答案】A
p
【解析】由tana >0知，a 在第一、第三象限，即kp 即2a 在第一、第二象限，故只有sin 2a >0，故选 A．
(kÎZ )，∴2kp < 2a < 2kp +p
，
2
3．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角q 的顶点与原点重合，始边 与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x上，
则cos 2q =
4
5
3
5
3
5
4
5
(A)-
(B)-
(C)
(D)
【答案】B
y 2 5
【解析】在直线 y = 2x取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sinq =
=
，
r
5
3
∴cos 2q =1-2 sin
2
q =- ，故选 B．
5
3 4
4．(2018 浙江)已知角a 的顶点与原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P(- ,- ) ．
5 5
(1)求sin(a +p)的值；
5
(2)若角 b 满足sin(a + b) = ，求cosb 的值．
13
3 4
【解析】(1)由角a 的终边过点 P(- ,- ) 得sina = - ，
5 5
4
5
4
5
所以sin(a +p) = -sina =
．
3 4
3
(2)由角a 的终边过点 P(- ,- ) 得cosa = - ，
5 5
5
5
得cos(a + b) = ±12
由sin(a + b) =
．
13
13
由b = (a + b)-a 得cosb = cos(a + b) cosa +sin(a + b) sina ，
56 或cosb = -16
所以cosb = -
．
65
65


考点 37 同角三角函数基本关系与诱导公式
p
1．(2019•新课标Ⅱ，文 11)已知a Î(0, )，2sin 2a = cos 2a +1，则sina = (
)
2
1
5
5
3
2 5
5
A．
B．
C．
D．
5
3
【答案】B
【解析】Q2sin 2a = cos 2a +1 ，\ 可得： 4sina cosa =2 cos
p
2
a ，Qa Î(0, ) ， sina > 0 ， cosa > 0 ，
2
5
\cosa = 2sina ，Qsin
2
a +cos
2
a =sin
2
a +(2sina)
2
=5sin
2
a =1，\解得：sina =
，故选 B ．
5
3
4
tana =
，则cos
a +2sin 2a =
2
2．(2016 新课标卷 3，理 5)若
64
48
25
16
25
(A)
(B)
(C) 1
(D)
25
【答案】A
3
4
3
4
5
3
4
5
【解析】由tana =
，得
sina = , cosa =
或
sina = - , cosa = -
，所以
5
5
16
25
12 64
cos
2
a +2sin 2a =
+4´
=
，故选 A．
25 25
1
3．(2016 全国课标卷 3，文 6)若tanq = ，则cos 2q =
(
)
3
4
5
-1
5
1
5
4
5
-
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
10
4．(2013 浙江)已知a ÎR,sina +2 cosa =
tan 2a =
，则
( )
2
4
3
3
4
3
4
A．
B．
C．-
D．-
4
3
【答案】C
10
2
sin
2
a +4 cos
2
a +4 sina cosa 10
【解析】由 (sina +2 cosa)
= (
)
可得
=
，进一步整理可得
2
2
sin a +cos
a
4
2
2


1
2 tana
3
3 tan
2
a -8 tana -3 = 0，解得 tana =3或tana = - ，于是 tan 2a =
= - ，故选 C．
3
1-tan
2
a
4
sina +cosa 1
sina -cosa 2
=
5．(2012 江西)若
，则 tan2α=( )
3
3
4
4
3
A．−
B．
C．−
D．
4
4
3
【答案】B
【解析】分子分母同除cosa 得：
sina +cosa tana +1 1
= ,∴ tana = -3，
sina -cosa tana -1 2
=
2 tana
3
∴tan 2a =
a = 4
1-tan
2
5p
1
5
6．(2013 广东)已知sin(
+a) =
，那么
cosa =
2
2
5
B．-1
5
1
2
5
A．-
C．
D．
5
【答案】C
5p
p
æp
è 2
ö
ø
1
5
【解析】sin(
+a) = sin(2p+ +a) = sin
+a = cosa =
，选 C．
ç
÷
2
2
p
3
p
7．(2016•新课标Ⅰ，文 14)已知q 是第四象限角，且sin(q + ) = ，则 tan(q - ) =
．
4
5
4
4
3
【答案】-
p
p
p
p
【解析】Qq 是第四象限角，\ - + 2kp <
+ 2kp,k ÎZ ，
2
4
4
4
p
p
3
5
p
3
p
p
3
4
5
又 sin(q + ) = ， \cos(q + ) = 1- sin
2
(q + ) = 1-( )
2
=
， ∴ cos(
-q) = sin( +q)
=
，
4
5
4
4
5
4
4
p
4
sin( -q)
p
p
4
p
p
4
4
5
3
sin( -q) = cos(q + ) = ，则tan(q - ) =-tan( -q) =-
=-
=- ．
p
4
4
5
4
4
3
cos( -q)
4
5
p
1
2
8．(2013 新课标Ⅱ，理 15)若q 为第二象限角，tan(q +
=
，则sinq +cosq =
．
)
4
【答案】
p
1
2
tanq -1 ，即cosq = -3sinq ，∵sin
【解析】(法 1)由 tan(q +
)
=
得，
=
2
q +cos
2
q =1， q
为第二
4
3
10
3 10
10
10
5
象限角，∴sinq =
，cosq =-
，∴sinq +cosq = -
．
10


p
5
9．(2014 江苏)已知a Î( , ) ，
p
sina =
．
2
5
(1)求sin(p +a) 的值；
4
5p
(2)求cos(
- 2a) 的值．
6
(p )
5
5
2 5
5
【解析】(1)∵a Î ，p ，sina =
，∴cosa = - 1-sin
a = -
2
2
(p )
p
4
p
4
2
2
10
10
sin +a = sin cosa + cos sina =
(cosa +sina) = -
；
4
4
5
3
5
(2)∵sin 2a = 2sinacosa = - ，cos 2a =cos
a -sin a =
2
2
(5p )
5p
6
5p
6
3 3 1 ( 4)
3 3 + 4
∴cos
- 2a = cos cos 2a +sin sin 2a = -
´ + ´ - = -
．
6
2
5 2
5
10
考点 38 三角恒等变换
1．(2020 全国Ⅰ理 9)已知aÎ(0, π)，且3cos2a -8cosa =5，则sina =
(
)
5
2
3
1
3
5
A．
B．
C．
D．
3
9
【答案】A
【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosa 的一元二次方程，求解得出cosa
，再用
同角间的三角函数关系，即可得出结论．
【解析】3cos 2a -8cosa = 5，得6cos2 a -8cosa -8= 0，即3cos a -4 cosa - =
4 0，解得
2
2
5
cosa = - 或cosa = 2(舍去)，又Qa Î( p ) \ a = 1-cos2 a =
0, , sin
，故选 A．
3
3
2．(2020 全国Ⅱ理 2)若a 为第四象限角，则
(
)
A．cos 2a > 0
【答案】D
B．cos 2a < 0
C．sin 2a > 0
D．sin 2a < 0
【思路导引】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．
p
æ p ö > 0，选项 B 错误；当a = -p
æ 2p ö
时，cos 2a =cosç-
è 3 ø
【解析】当a = - 时，cos 2a = cosç-
<0，
÷
÷
6
è 3 ø
sina < 0, cosa >
3
a
0
，则sin 2a = 2sina cosa < 0
选项 A 错误；由 在第四象限可得：
，选项 C 错误，
选项 D 正确，故选 D．


æ
è
pö
3 ø
æ
è
pö
6 ø
3．(2020 全国Ⅲ文 5)已知sinq +sinçq + ÷ =1，则sinçq + ÷ =
(
)
1
2
3
2
3
2
A．
B．
C．
D．
3
2
【答案】B
【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．
1
2
3
3
3
3
1
3
【解析】由题意可得：sinq +
sinq +
cosq =1，则：
sinq +
cosq =1， sinq + cosq =
，
2
2
2
2
2
3
从而有：sin cosp +cosq sinp
3
，即
æ
è
p ö
6 ø
3
．故选 B．
q
=
sin q +
=
ç
÷
6
6
3
3
æ
è
pö
4．(2020 全国Ⅲ理 9)已知2 tanq -tançq + ÷ = 7 ，则 tanq =
4 ø
(
)
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】D
【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．
æ
è
p ö
4 ø
tanq +1
1+t
Q2 tanq -tan q +
=7，\2 tanq -
1-tanq =7，令t = tanq,t ¹1，则2t -1-t
=7，整
【解析】
ç
÷
理得t
2
-4t + 4 = 0 ，解得
t = 2，即 tanq = 2．故选 D．
p
5．(2019•新课标Ⅱ，理 10)已知a Î(0, )，2sin 2a = cos 2a +1，则sina = (
)
2
1
5
5
3
2 5
5
A．
B．
C．
D．
5
3
【答 案】B
【解析】Q2sin 2a = cos 2a +1，\ 4sina cosa =2 cos
p
2
a ，Qa Î(0, ) ，sina > 0，cosa > 0 ，\cosa = 2sina ，
2
5
Qsin
2
a +cos
2
a =sin
2
a +(2sina)
2
=5sin
2
a =1，\ sina =
，故选 B ．
5
6．(2019•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x) = 2sin x -sin 2x 在[0 ，2p]的零点个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】函数 f (x) = 2sin x -sin 2x 在[0 ，2p]的零点个数，即：2sin x -sin 2x = 0在区间[0 ，2p]的根个数，
即2sin x = sin 2x，即sinx(1-cos x) = 0，即sinx =0或cosx =1，∵ xÎ[0 ，2p]，∴ x = 0,p,2p ，故选


B ．
7．(2019•新课标Ⅰ，文 7) tan 255° = (
)
A．-2- 3
【答案】D
B．-2+ 3
C．2- 3
D．2 + 3
【解析】∵tan 255° = tan(180°+75°) = tan 75° = tan(45°+30°)
3
1+
tan 45°+ tan 30°
1- tan 45°tan 30°
3+ 3 (3+ 3)
2
12 +6 3
3
=
=
=
=
=
= 2+ 3 ，故选 D ．
3
3- 3
6
6
1-1´
3
1
8．(2018•新课标Ⅲ，理 4 文 4)若sina = ，则cos 2a = (
)
3
8
9
7
9
7
9
8
A．
B．
C． -
D． -
9
【答案】B
1
1 7
a =1- 2´ = ，故选 B ．
9 9
【解析】Qsina = ，\cos 2a =1- 2sin
2
3
4
9．(2017 新课标卷 3，文 4)已知sina -cosa = ，则sin 2 =
a
3
7
9
2
9
2
9
7
9
A．-
B．-
C．
D．
【答案】A
( a -cosa )
2
-1= -
sin
7
9
【解析】因为sin 2a = 2sina cosa =
，故选 A．
-1
p
3
10．(2016•新课标Ⅱ，理 9)若cos( -a) = ，则sin 2a = (
)
4
5
7
1
5
C．- 1
7
A．
B．
D． -
25
5
25
【答案】D
p
3
【解析】法1°:Qcos( -a) = ，
4
5
p
p
p
9
7
\sin 2a = cos( - 2a) = cos 2( -a) = 2 cos
2
( -a) -1= 2´ -1= -
25 25
，
2
4
4
法2°:Qcos( -a) = 2(sina +cosa) = ，\ (1+sin 2a) =
p
3
1
9
，\sin 2a = 2´ -1= -
25
9
7
，
4
2
5
2
25
25
故选 D ．
11．(2015 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=


3
3
1
2
1
2
A．-
B．
C．-
D．
2
2
【答案】D
1
【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，故选 D．
2
p
p
1+sin b
cosb
12．(2014 新课标Ⅰ，理 8)设a Î(0, )，b Î(0, ) ，且 tana =
，则
2
2
p
p
p
p
A．3a -b =
【答案】B
B ．2a -b =
C．3a + b =
D．2a + b =
2
2
2
2
sina 1+sinb
【解析】∵tana =
=
，∴sina cosb = cosa +cosa sinb
cosa
cosb
æp
è 2
ö
ø
p
p
p
p
sin(a -b )= cosa =
-a
- ,0 < -a <
sinç
，
÷
2
2
2
2
p
p
∴a -b = -a ，即2a -b = ，选 B
2
2
2
3
p
13．(2013 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2a =
，则cos
2
(a + ) = (
)
4
1
6
1
3
1
2
2
3
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
2
p
1
p
1
1
【解析】因为sin 2a =
，所以cos
2
(a + ) = [1+cos 2(a + )]= (1-sin 2a) = ，故选 A．，
3
4
2
4
2
6
3p
cos(a -
)
p
10
14．(2015 重庆)若tana = 2 tan ，则
＝( )
p
5
sin(a - )
5
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
3p
3p
3p
3p
3p
cos(a - ) cosa cos
+sina sin
cos
+tanasin
10
10
10
p
10
10
p
【解析】
=
=
p
p
p
sin(a - )
sina cos -cosa sin
tana cos -sin
5
5
5
5
5
3p
p
3p
p
3p
p
3p
cos
+2 tan sin
cos cos
+2 sin sin
10
5
10
p
5
10
5
10
=
=
p
p
p
p
2 tan cos -sin
sin cos
5
5
5
5
5


1
2
(cos5p
p
p
-cos5p
p
+cos ) +(cos
)
3cos
cos
10
10
1
10
10
10
p
＝
=
= 3，选 C．
2p
2sin
5
10
ép p ù
ë4 2û
3 7
8
15．(2012 山东)若q Î
,
，sin 2q =
，则sinq =( )
ê
ú
3
4
5
7
4
3
A．
B．
C．
D．
5
4
【答案】D
ép p ù
ë 4 2 û
p
2q = - 1
，
【解析】由q Îê
2q Î[ ,p] cos 2q = - 1-sin
，
2
，
ú可得
2
8
1-cos 2q
3
4
sinq =
=
，故选 D．
2
p
p
p
1
p b
3
b
16．(2011 浙江)若0＜a＜ ，- ＜b＜0，cos( +a) = ，cos( - ) =
，则cos(a + ) =
2
2
4
3
4 2
3
2
3
3
5 3
9
6
A．
B．-
C．
D．-
3
3
9
【答案】C
b
) = cos[(p
p b
p
p b
【解析】cos(a +
+a -
) (
-
)]
)
= cos( +a) cos( - )
2
4
4 2
4
4 2
p
p b
p
p 3p
p b
p p
+sin( +a) sin( - )
+a Î( ,
- Î( , )
，
，而
，
4
4 2
4
4 4
4 2
4 2
p
2 2
3
p b
，sin( - ) =
4 2
6
因此sin( +a) =
，
4
3
b
1
3 2 2
6 5 3
则cos(a + ) = ´
3 3
+
´
=
．
2
3
3
9
2
17．(2020 全国Ⅱ文 13)设sin x = - ，则cos 2x =
．
3
1
9
【答案】
【思路导引】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可．
2
8 1
1
【解析】cos 2x =1-2 sin
2
x =1-2´(- ) =1- =
2
．故答案为： ．
3
9 9
9
p
2
18．(2020 江苏 8)已知sin
2
( +a) = ，则sin 2a
的值是________．
4
3
1
【答案】
3


p
2
p
1
p
1
2
1
3
【解析】∵sin
2
( +a) = ，由sin
2
( +a) = (1-cos( +2a)) = (1+sin 2a) = ，解得sin 2a =
．
4
3
4
2
2
2
3
æ
π ö
4 ø
19．(2020 浙江 13)已知tanq = 2，则cos 2q =
； tan q -
．
=
ç
÷
è
3 1
【答案】-
；
5 3
p
【思路导引】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2q
，根据两角差正切公式得
tan(q -
)
4
cos
cos
2
2
q -sin
q +sin
2
2
q 1-tan
q 1+tan
2
2
q
q
3
æ
è
p ö tanq -1 1
4 ø 1+ tanq 3
【解析】
cos 2q = cos
2
q -sin
2
q =
=
= - ， tan q -
ç
÷
=
= ，故
5
3 1
答案为：- ；
．
5 3
20．(2020 北京 14)若函数 f (x) = sin(x+j)+cosx的最大值为2，则常数j 的一个取值为
．
p
【答案】
2
【解析】∵ f (x) =sin(x+j)+cosx =sinxcosj +cosxsinj +cosx =sin xcosj +cosx(sinj +1)
= cos j +(sinj +1) sin(x+q)，
j +(sinj +1) = 4，cos j +sin
2
2
p
则cos
2
2
2
2
j +2sinj +1 =1+2sinj +1= 4，∴sinj =1，∴j =
．
2
21．(2018•新课标Ⅱ，理 15)已知sina +cosb =1，cosa +sinb = 0 ，则sin(a + b) =
．
1
【答案】-
2
【解析】sina +cosb =1，两边平方可得：sin
2
a +2sinacosb +cos
2
b =1，①，
cosa +sinb = 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos
2
a +2cosasinb +sin
2
b =0 ， ② ， 由 ① + ② 得 ：
1
2+ 2(sina cosb + cosasin b) =1 ，即2+ 2sin(a + b) =1，\2sin(a + b) = -1，\sin(a + b) = - ．
2
5p
1
22．(2018•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan(a - ) = ，则 tana =
．
4
5
3
2
【答案】
5p
1
5
p
1
5
【
解
析
】
Qtan(a - ) =
，
\tan(a - ) =
，
则
4
4
p
p
1
5
tan(a - ) + tan
+1
p
p
1+5 6 3
= = = ．
4
4
p
tana = tan(a - + ) =
=
p
1
5-1 4 2
4
4
1- tan(a - ) tan
1- ´1
4
4
5
π
π
cos (a - )
23．(2017 新课标卷，文 14)已知aÎ(0，) ，tan α=2，则
=__________．
2
4


3 10
10
【答案】
1
p
【解析】由 tana = 2得sina = 2 cosa ，又sin
2
a +cos
2
a =1，所以cos
2
a = ，因为a Î(0, )，所
5
2
5
2 5
5
p
p
p
以
cosa =
,sina =
，
因
为
．
cos(a - ) = cosa cos +sina sin
，
所
以
5
4
4
4
p
5
2 2 5
2 3 10
cos(a - ) =
´
+
´
=
4
5
2
5
2
10
f(x)= sin 2x的最小正周期是 ________．
2
24．(2019 北京 9)函数
p
【答案】
2
1- cos 4x 1 1
2π π
（f x）= sin（
2
2x）=
= - cos 4x ，所以 （f x）的最小正周期T =
2 2
=
【解析】因为
．
2
4
2
tana
2
3
= -
æ
è
π ö
4 ø
æ
π ö
4 ø
sin 2a +
，则
25．(2019 江苏 13)已知
ç
÷ 的值是_________．
tan a +
ç
÷
è
2
【答案】
10
tana
2
tana
2
3
= -
= -
【解析】由
，得
，
p
p
3
tan(a + )
tana + tan
1- tanatan
4
4
p
4
tana(1- tana)
2
1
所以
= - ，解得 tana = 2或 tana = - ．
1+ tana
3
3
2tana
4
1- tan2a
3
5
当tana = 2时，sin 2a =
a = 5
，cos2a =
= -
，
1+ tan
2
1+ tan
2a
p
p
p 4
2 3
2
2
sin(2a + ) = sin 2acos +cos2asin = ´
- ´
=
．
4
4
4 5 2 5 2
10
1-tan2a
4
a = -1 时，sin 2a =
2tana
= - ，cos2a =
3
=
当tan
，
3
1+ tan
2a
5
1+tan a 5
2
p
p
p
3
2 4
2
2
所以sin(2a + ) = sin 2acos +cos2asin = - ´
+ ´
=
．
4
4
4
5 2 5 2
10
p
2
综上，sin(2a + )的值是
．
4
10
26．(2017 北京)在平面直角坐标系
中，角a
与角
b
均以Ox
为始边，它们的终边关于 轴对称．若
y
xOy


1
3
sina =
cos(a -b)
=___________．
，则
7
【答案】-
9
a
b
y
a + b =p +2kp
， 所 以
【 解 析 】 ∵ 角
与 角
的 终 边 关 于
轴 对 称 ， 所 以
；
1
sinb = sin(2kp +p -a) = sina = ，cosb = -cosa
3
1
2
3
7
9
cos(a -b) =cosa cosb +sinasinb = -cos
2
a +sin
2
a = 2sin
2
a -1 = 2´( )
-1= -
．
p
1
27．(2017 江苏)若tan(a - ) = ，则tana =
．
4
6
7
5
【答案】
p
p
tan(a - )+tan
p
p
7
4
4
p
【解析】 tana = tan[(a - )+ ] =
=
．
p
4
4
5
1-tan(a - )´tan
4
4
28．(2015 四川)sin15
o
+sin 75
o
=
．
6
【答案】
2
6
【解析】sin15 +sin 75 =sin15 +cos15 = 2 sin(15 +45 ) =
o
o
o
o
o
o
．
2
1
29．(2015 江苏)已知 tana = -2， tan(a + b ) =
【答案】3
，则 tan 的值为_______．
b
7
1
+ 2
tan(a + b) - tana
1+ tan(a + b) tana
7
【解析】 tanb = tan(a + b -a) =
=
= 3．
2
1-
7
p
30．(2013 四川)设sin 2a = -sina ，a Î( ,p)，则 tan 2a 的值是_____．
2
【答案】 3
1
p
【解析】 sin 2a = 2sina cosa = -sina ，则cosa = - ，又
a Î( ,p)
，
2
2
2 tana
-2 3
1-3
则tana = - 3， tan 2a =
=
= 3
．
1-tan a
2


æ
è
pö 4
6ø 5
æ
è
p ö
31．(2012 江苏)设a 为锐角，若cosç
a +
=
sin 2a +
，则
．
÷
ç
÷的值为
12ø
17 2
50
【答案】
p
4
p
3
p
24
p
7
【解析】 因为a 为锐角，cos(a + )= ，∴sin(a + )= ，∴sin2(a + ) =
cos2(a + ) =
，
6
5
6
5
6
25,
6
25
p
p
p
2 17 17 2
所以 sin(2a +
) = sin[2(a +
)
-
]
=
´
=
．
12
6
4
2
25
50
4
5
32．(2018 江苏)已知a,b 为锐角， tana = ，cos(a + b) = -
．
3
5
(1)求cos 2a 的值；
(2)求 tan(a - b)的值．
4
sina
cosa
4
【解析】(1)因为 tana = ，tana =
，所以
，
sina = cosa
．
3
3
9
a =
因为sin
2
a +cos
2
a =1 ，所以cos
2
25
7
因此，cos 2a = 2 cos a -1= -
2
．
25
(2)因为a,b 为锐角，所以a + b Î(0, π) ．
5
2 5
5
又因为cos(a + b) = -
，所以sin(a + b) = 1-cos
2
(a + b) =
，
5
因此 tan(a + b) = -2 ．
4
2 tana
24
7
因为 tana = ，所以
tan 2a =
= -
，
3
1- tan a
2
tan 2a -tan(a + b)
1+ tan 2a tan(a + b)
2
因此，tan(a - b) = tan[2a -(a + b)] =
= -
．
11
æp ö
f (x)=(a+2cos2 x)cos(2x+q)为奇函数 ，且 f ç ÷ = 0
33．(2014江西)已知函数
(1)求a，q 的值；
，其中aÎR，q Î(0，p)．
è 4 ø
æa ö
è 4 ø
2
æp
è 2
ö
ø
æ
è
p ö
3 ø
(2)若
f ç ÷ = - ，a Îç ，p ÷，求sinça + ÷的值．
5
【解析】(1)因为 f (x)= a+2 cos
(
2
x cos 2x+q 是奇函数，而 y = a+2 cos x为偶函数，所以
) (
)
2
1
p
y2 =cos(2x+q)为奇函数，又q Î(0，p),得q =
．
2


æp ö
f ç ÷ = 0，得-(a+1) = 0 ，即a = -1.
( )
f x =-sin 2x× a+2 cos x
）由
2
所以
（
è 4 ø
æa ö
è 4 ø
1
2
5
1
4
(2)由(1)得： f (x)
= -
f
= - sina = -
sina = ,
，得
sin 4x, 因为 ç ÷
2
2
5
æp
è 2
ö
ø
3
5
又a Î
，p
a = -
p
ç
÷ ，所以cos
,
æ
p ö
3 ø
p
4-3 3
sin a +
= sina cos +sin cosa =
因此
ç
÷
.
è
3
3
10
æ
è
p ö
12ø
f (x) = 2 cos x -
÷,xÎR
34．(2013 广东)已知函数
ç
．
æp ö
è 3 ø
f
(1) 求 ç ÷ 的值；
3
æ3p
è 2
ö
ø
æ
è
p ö
cosq = ,q Î
,2p
f q -
÷，求 ç
(2) 若
ç
÷ ．
6 ø
5
p p
p
【解析】(1) f ( - ) = 2 cos =1.
3 12
4
3 3p
9
4
(2)由于cosq = ,
<θ<2π，所以sinq = - 1-cos
2
q = - 1-
= - ，
5 2
25
5
æ
è
pö
6 ø
æ
è
p p ö
6 12ø
因此 f çq - ÷ = 2 cosçq - - ÷
æ
è
pö
4 ø
p
p
3
2
æ 4ö
´ 2´ -
2
1
= 2 cos q -
= 2 cosq cos + 2 sinq sin = 2´ ´
´
= - .
ç
÷
ç
÷
4
4
5 2
è 5ø 2
5