2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题23 空间点线面的位置关系（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题23 空间点线面的位置关系（教师版含解析），共32页。试卷主要包含了已知平面 ，直线 ， 满足，设 是直线，等内容，欢迎下载使用。


专题 23 空间点线面的位置关系
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，
空间想象能力、逻辑推理能力
2011
文 18
空间垂直问题及其应用
空间平行问题
空间线线、线面、面面平行、垂直判定与性质及异面直
线的知识，空间想象能力
2013 卷 2
2014 卷 1
理 4
空间垂直问题及其应用
空间线线、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等
基础知识，空间想象能力、推理论证能力
截面问题及利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力与
运算求解能力
文 19
空间垂直问题及其应用
空间几何体的截面问题
空间平行问题
2015 卷 2
卷 3
理 19
文 19
以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体
体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力
折叠问题中的线线垂直的判定、简单几何体的体积的计
算，逻辑推理能力与运算求解能力
2016 卷 2
卷 2
文 19
理 14
空间垂直问题及其应用
空间平行问题
线性、线面、面面平行与垂直的判定与性质，逻辑推理
能力
空间垂直问题及其应用
主要以三棱锥为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质及简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力
与运算求解能力
卷 3
文 19
文 10
空间垂直问题及其应用
空间垂直问题及其应用
主要以正方体为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的
判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
线面平行的判定与性质、简单几何体的计算，逻辑推理
能力与运算求解能力
2017 卷 3
卷 2
卷 1
卷 2
文 18
文 6
空间平行问题
空间平行问题
线面平行的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、点到平面距离
的计算，逻辑推理能力与运算求解能力
折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的
体积，逻辑推理能力及运算求解能力
文 19
空间垂直问题及其应用
2018 卷 1
文 18
空间垂直问题及其应用
本题线面角及截面的最大值，逻辑推理能力及运算求解
能力
卷 1
理 16
文 19
空间几何体的截面问题
空间平行问题
2019 卷 1
空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，


逻辑推理能力及运算求解能力
线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能
力与运算求解能力
卷 1
文 16
空间垂直问题及其应用
卷 3 理 8 文 8 空间位置关系判定
卷 2 理 7 文 7 空间平行问题
空间两直线的位置关系及空间想象能力
面面平行的判定及充要条件
卷 1
文 19
文 20
空间垂直关系，面积、体积 面面垂直的证明，考查锥体的体积公式
空间位置关系判定
空间位置关系判定
线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算
线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明
卷 2
卷 3
文 19
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
考点 78 空间位置关系的判定
考点 79 空间平行问题
1/19
7/19
2021 年高考仍将小题重点考查平行与垂直的判定与性质，为
基础题，若为截面问题，则为中档题，题型为选择填空题．解
答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的
判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算
或点到面的距离，难度为中档题．
考点80空间垂直问题及其应用 11/19
考点81空间几何体的截面问题 2/19
十年试题分类*探求规律
考点 78 空间位置关系的判定
1．(2019•新课标Ⅲ，理 8 文 8)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，DECD为正三角形，平面 ECD ^ 平面 ABCD ，
M 是线段 ED的中点，则(
)
A． BM = EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线
B． BM ¹ EN ，且直线 BM ， EN 是相交直线
C． BM = EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线
D． BM ¹ EN ，且直线 BM ， EN 是异面直线
【答案】B
【解析】Q点 N 为正方形 ABCD的中心，DECD为正三角形，平面 ECD ^ 平面 ABCD，M 是线段 ED的中
点，\BM Ì 平面 BDE ， EN Ì 平面 BDE ，QBM 是DBDE 中 DE 边上的中线， EN 是DBDE 中 BD边上的


3
4
5
6
中线，\直线 BM ， EN 是相交直线，设 DE = a ，则 BD = 2a ， BE =
a
2
+ a
2
= 2a ，\BM =
a，
4
2
3
4
1
2
4
EN =
a + a = a ，\BM ¹ EN ，故选 B ．
2
2．(2019•新课标Ⅰ，文 16)已知ÐACB = 90° ，P 为平面 ABC 外一点，PC = 2，点 P 到ÐACB 两边 AC ，BC
的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为
【答案】 2
．
【解析】因为ÐACB = 90° ，P 为平面 ABC 外一点，PC = 2，点 P 到ÐACB 两边 AC ，BC 的距离均为 3，
过点 P 作 PD ^ AC ，交 AC 于 D ，作 PE ^ BC ，交 BC 于 E ，过 P 作 PO ^ 平面 ABC ，交平面 ABC 于O ，
连结OD ，OC ，则 PD = PE = 3 ，\CD = CE = OD = OE = 2
\P到平面 ABC 的距离为 2 ．
2
- ( 3)
2
= 1，\PO = PD
2
-OD = 3-1= 2 ，
2
考点 79 空间平行问题
1．(2019•新课标Ⅱ，理 7 文 7)设a ， b 为两个平面，则a / /b 的充要条件是(
)
A．a 内有无数条直线与 b 平行
C．a ， b 平行于同一条直线
【答案】B
B．a 内有两条相交直线与 b 平行
D．a ， b 垂直于同一平面


【解析】对于 A ，a 内有无数条直线与 b 平行，aI
对于 B ，a 内有两条相交直线与b 平行，a / /b ；
b 或 / / ；
a
b
对于C ，a ，b 平行于同一条直线，aI
b 或 / / ；
a
b
对于 D ，a ， b 垂直于同一平面，aI
b 或 / / ．故选 B ．
a
b
2．(2017•新课标Ⅰ，文 6)如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ，Q 为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(
)
A．
B．
D．
C．
【答案】A
【解析】对于选项 B ，由于 AB / /MQ ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意；对于选项C ，由于 AB / /MQ ，
结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；对于选项 D ，由于 AB / /NQ，结合线面平行判定定理可知 D 不
满足题意；所以选项 A 满足题意，故选 A ．
a
m n
m Ëa ，n Ìa
m n m a
，则“ ∥ ”是“ ∥ ”的( )
3．(2018 浙江)已知平面 ，直线 ， 满足
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
【答案】A
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若m Ëa ，n Ìa ，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥a ．若m∥a ，m Ëa ，n Ìa ，
不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥a ”的充分不必要条件．故选 A．
4．(2019•新课标Ⅰ，文 19)如图，直四棱柱 ABCD - ABC D 的底面是菱形，AA = 4 ，AB = 2 ，ÐBAD = 60°，
1
1
1
1
1
E ， M ， N 分别是 BC ， BB ， AD 的中点．
1
1
(1)证明： MN / / 平面C1DE ；
(2)求点C 到平面C1DE 的距离．


【解析】证明：(1)连结 B C ，ME ，QM ， E 分别是 BB ， BC 的中点，
1
1
1
\ME / /BC ，又 N 为 AD 的中点，\ND = AD，
1
1
1
2
由题设知 AB / /DC，\BC/ / AD，\ME/ /ND，
1
1
1
1
=
=
=
\四边形 MNDE 是平行四边形，
MN / /ED ，
又MN Ì/ 平面C DE ，\MN / / 平面C DE ．
1
1
解：(2)过C 作C1E 的垂线，垂足为 H ，
由已知可得 DE ^ BC ， DE ^ C1C ，
\DE ^ 平面C1CE ，故 DE ^ CH ，
\CH ^平面C DE ，故CH 的长即为C 到时平面C DE 的距离，
1
1
由已知可得CE =1，CC1 = 4 ，
4 17
\C1E = 17 ，故CH =
，
17
4 17
\点C 到平面C1DE 的距离为
．
17
5．(2017•新课标Ⅱ，文 18)如图，四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，
1
AB = BC = AD，ÐBAD = ÐABC = 90°．
2
(1)证明：直线 BC / / 平面 PAD ；
(2)若DPCD 面积为2 7 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积．


【解析】(1)证明：四棱锥 P - ABCD 中，QÐBAD = ÐABC = 90° ．\BC / /AD ，QAD Ì平面 PAD ，BC Ì/ 平
面 PAD ，
\直线 BC / / 平面 PAD ；
1
(2)解：四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， AB = BC = AD，
2
ÐBAD = ÐABC = 90°．设 AD = 2x ，
则 AB = BC = x ，CD = 2x ，O是 AD 的中点，
连接 PO，OC ，CD的中点为： E ，连接OE ，
2
7x
则OE =
x ， PO = 3x， PE = PO
2
+OE
2
=
，
2
2
1
DPCD面积为2 7 ，可得： PEgCD = 2 7 ，
2
1
7
2
即： ´
xg 2x = 2 7 ，解得 x = 2， PO = 2 3 ．
2
1 1
则VP-ABCD = ´ (BC + AD)´ AB´ PO = ´ ´(2+ 4)´2´2 3 = 4 3 ．
3 2 3 2
1 1
6．(2016•新课标Ⅲ，文 19)如图，四棱锥 P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD ，AD / /BC ，AB = AD = AC = 3，
PA = BC = 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM = 2MD ， N 为 PC 的中点．
(Ⅰ)证明 MN / / 平面 PAB ；
(Ⅱ)求四面体 N - BCM 的体积．


【解析】证明：(Ⅰ)取 BC 中点 E ，连结 EN ， EM ，
QN 为 PC 的中点，\NE 是DPBC 的中位线
\NE / /PB ，
又Q AD / /BC ，\BE / /AD，
Q AB = AD = AC = 3， PA = BC = 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM = 2MD ，
1
\BE = BC = AM = 2，
2
\四边形 ABEM 是平行四边形，
\EM / /AB ，\平面 NEM / / 平面 PAB ，
QMN Ì 平面 NEM ，\MN / / 平面 PAB ．
(Ⅱ)取 AC 中点 F ，连结 NF ，
QNF 是DPAC 的中位线，
1
\NF / /PA， NF = PA = 2，
2
又QPA ^ 面 ABCD，\NF ^ 面 ABCD，
如图，延长 BC 至G ，使得CG = AM ，连结GM ，
QAM / /CG，\四边形 AGCM 是平行四边形，
=
\ AC = MG = 3 ，
又QME = 3， EC = CG = 2，
\DMEG 的高h = 5 ，
1
1
\SDBCM = ´ BC ´h = ´4´ 5 = 2 5 ，
2
2
1
1
4 5
3
\四面体 N - BCM 的体积VN-BCM = ´S
´NF = ´ 2 5´ 2=
．
DBCM
3
3


7．(2013 辽宁)如图， AB 是圆O的直径，PA 垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
(Ⅰ)求证： BC ^ 平面PAC；
(Ⅱ)设Q为 PA的中点，G 为DAOC 的重心， 求证：QG∥平面 PBC ．
【解析】(Ⅰ)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC．
由 PA⊥平面 ABC，BCÌ 平面 ABC，得 PA⊥BC，
又 PA∩AC=A,PAÌ平面 PAC，ACÌ平面 PAC，
所以 BC⊥平面 PAC．
(Ⅱ)连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO．
由 G 为∆AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，
由 G 为 PA 中点，得 QM//PC．
又 O 为 AB 中点，得 OM//BC．
因为 QM∩MO=M,QMÌ平面 QMO．
所以 QG//平面 P BC．
8．(2012 江苏)如图，在直三棱柱ABC - ABC 中，A B = AC ，D，E 分别是棱BC，CC 上的点(点D 不同于
1
1
1
1
1
1
1
1
点 C)，且 AD ^ DE，F 为 BC 的中点．
1
1


求证：(Ⅰ)平面 ADE ^平面 BCC B ；
1
1
(Ⅱ)直线 A1F // 平面 ADE ．
【解析】(Ⅰ)因为ABC - ABC 是直三棱柱，所以CC ^ 平面ABC,
1
1
1
1
又AD Ì平面ABC,所以CC1 ^ AD ，
又因为AD ^ DE,CC , DE Ì平面BCC B ，CC ÇDE = E,
1
1
1
1
所以AD ^平面BCC B ,
1
1
又ADÌ平面ADE,
所以平面ADE^平面BCC B ．
1
1
(Ⅱ)因为AB = AC ，F 为B C 的中点，
1
1
1
1
1
1
所以AF ^ BC ．因为CC ^ 平面ABC ，
1
1
1
1
1 1 1
且A F Ì平面ABC ，
1
1 1 1
所以CC ^ AF.
1
1
又因为CC ，BC Ì平面BCC B ，CC Ç BC = C ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
所以AF ^ 平面BCC B ，
1
1 1
所以A1F // AD．
又 ADÌ平面 ADE ， A1F Ë平面 ADE ，
所以 A1F // 平面 ADE ．
考点 80 空 间垂直问题
1．(2017•新课标Ⅲ，文 10)在正方体 ABCD - ABC D 中， E 为棱CD的中点，则(
)
1
1
1
1
A． A1E ^ DC1
【答案】C
B． A1E ^ BD
C． A1E ^ BC1
D． A1E ^ AC
【解析】连 B C ，由题意得 BC ^ BC ，QAB ^平面 B BCC ，且 BC Ì 平面 B BCC ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
\AB ^ BC ，QAB IBC = B ，\BC ^ 平面 A ECB ，Q A E Ì平面 A ECB ，\A E ^ BC ，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1


故选C ．
2．(2013 新课标Ⅱ，理 4)已知m，n为异面直线，m⊥平面a ，n⊥平面 b ，直线l满足l⊥m，l⊥n，
l Ë a ，l Ë b ，则
A．a ∥ b 且l∥a
B．a ⊥b 且l⊥ b
C．a 与 b 相交，且交线垂直于l
【答案】D
D．a 与b 相交，且交线平行于l
【解析】若a ∥ b ，又m⊥平面a ，则m⊥平面 b ，又∵n⊥平面 b ，∴m∥n，与m与n异面矛盾，
故 A 错；
若l⊥ b ，∵n⊥平面 b ，∴l∥n，与l⊥n矛盾；
若a 与 b 相交，设交线为a，过n上一点作直线b∥m，设b与n确定的平面为g ，∵m⊥l，∴b⊥l，
∵l⊥n，∴l⊥g ，又m⊥平面a ，n⊥平面 b ，∴m⊥a， n⊥a，∴b⊥a，∴a⊥g ，则a∥l，
故选 D．
3．(2011 辽宁)如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD^ 底面 ABCD，则下列结论中不．正．确．的是
A．AC^ SB
B．AB∥平面 SCD
C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
【答案】D
【解析】选项 A 正确，∵SD ^平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD内，所以 AC ^ SD．因为 ABCD为
正方形，所以 AC ^ BD，而 BD 与 SD相交，所以 AC ^平面 SBD，所以 AC ^ SB；选项 B 正确，因为
AB P CD，而CD在平面SCD内，AB 不在平面 SCD内，所以 AB P 平面 SCD；选项 C 正确，设 AC 与
BD的交点为O，连结 SO，则 SA与平面 SBD所成的角 ASO
Ð
， SC 与平面SBD所成的角ÐCSO，易
知这两个角相等；选项 D 错误， AB 与SC 所成的角等于ÐSCD，而 DC 与SA所成的角等于ÐSAB，易
知这两个角不相等，故选 D．
4．(2015 福建)若l,m 是两条不同的直线，m垂直于平面a ，则“l ^ m ”是“l∥a ”的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
【答案】B
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件


【解析】由“m^a 且l ^ m”推出“l Ìa 或l∥a ”，但由“m^a 且l∥a ”可推出“l ^ m”，所以
“l ^ m”是“l∥a ”的必要而不充分条件，故选 B．
5．(2014 广东)若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l ，满足l ^l ,l ^l ,l ^l ，则下面结论一定正确的
1
2
3
4
1
2
2
3
3
4
是
A．l1 ^l4
【答案】D
B．l1 / /l4 C．l ,l 既不垂直也不平行 D．l ,l 的位置关系不确定
1 4 1 4
【解析】利用正方体模型可以看出，l 与l 的位置关系不确定．选 D．
1
4
6．(2014 浙江)设m,n 是两条不同的直线，a,b 是两个不同的平面
A．若m ^ n ，n//a ，则m ^a
C．若m ^ b,n ^ b,n ^a 则m ^a
【答案】C
B．若m//b ， b ^a 则m ^a
D．若m ^ n ，n ^ b ， b ^a ，则m ^a
【解析】选项 A,B,D 中m均可能与平面a 平行、垂直、斜交或在平面a 内，故选C．
7．(2014 辽宁)已知m，n 表示两条不同直线，a 表示平面，下列说法正确的是
A．若m/ /a,n/ /a,则m/ /n
B．若m^a ，n Ìa ，则m ^ n
D．若m/ /a ，m ^ n，则n ^a
C．若m^a ，m ^ n，则n/ /a
【答案】B
【解析】对于选项 A，若m/ /a,n/ /a,，则m与n可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对
于选项 C，若m^a ，m ^ n，则n Ìa 或n/ /a ，C 错误；对于选项 D，若m/ /a ，m ^ n，则n/ /a 或
n Ìa 或n与a 相交，D 错误．故选 B．
m n
a b
8．(2013 广东)设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
a ^ b mÌa n Ì b
^
A．若
B．若
,
,
,则m n
,则m//n
,则a ^ b
a //b mÌa n Ì b
,
,
C．若m ^ n ,mÌa ,n Ì b
D．若m^a ,m//n ,n// b ,则a ^ b
【答案】D
【解析】A 中m,n 可能平行、垂直、也可能为异面；B 中m,n 还可能为异面；C 中m 应与 b 中两条相交
直线垂直时结论才成立，选 D．
l
a,b
是两个不同的平面
9．(2012 浙江)设 是直线，
l a l b
a b
l a l b a b
B．若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥
A．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
C．若a ⊥ b ， ⊥ ，则 ⊥
l a
l b
D．若 ⊥ , ∥ ，则 ⊥
a b l a
l b
【答案】B


l a l b
a b
．如选项 A：
【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的，∵ ∥ ， ⊥ ，则
l a l b
a b a b
a b l a l b l Ì b
∥ ， ∥ 时， ⊥ 或 ∥ ；选项 C：若 ⊥ ， ⊥ ， ∥ 或 ；
选项 D：若a ⊥b , l ⊥a ，l ∥b 或l⊥b ．
10．(2012 浙江)已知矩形 ABCD， AB =1， BC = 2．将DABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻
折，在翻折过程中，
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线 AD与直线 BC垂直
D．对任意位置，三对直线“ AC 与 BD”，“ AB 与CD”，“ AD与 BC”均不垂直
【答案】B
【解析】过点 A作 AE ^ BD ，若存在某个位置，使得 AC ^ BD，则 BD ^ 面 ACE，从而有 BD ^CE，
计算可得 BD 与CE不垂直，则 A 不正确；当翻折到 AC ^CD时，因为 BC ^CD，所以CD ^面 ABC，
从而可得 AB ^CD；若 AD ^ BC ，因为 BC ^CD，所以 BC ^面 ACD，从而可得 BC ^ AC ，而
AB =1< 2 = BC ，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B．
11．(2011 浙江)下列命题中错．误．的是
A．如果平面a ^平面b ，那么平面a 内一定存在直线平行于平面 b
B．如果平面α不垂直于平面 b ，那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面b
C．如果平面a ^平面g ，平面 b ^平面g ，a Ib=l ，那么l ^平面g
D．如果平面a ^平面b ，那么平面a 内所有直线都垂直于平面b
【答案】D
【解析】对于 D，若平面a ^平面 b ，则平面a 内的某些直线可能不垂直于平面 b ，即与平面 b 的关系还
可以是斜交、平行或在平面 b 内，其余选项易知均是正确的，故选 D．
12．(2016•新课标Ⅱ，理 14)a ， b 是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m ^ n ，m ^a ，n / /b ，那么a ^ b ．
②如果m ^a ，n / /a ，那么m ^ n ．
③如果a / /b ，m Ì a ，那么m / /b ．
④如果m / /n，a / /b ，那么m 与a 所成的角和n 与 b 所成的角相等．
其中正确的命题是
(填序号)
【答案】②③④
【解析】①如果m ^ n ，m ^a ，n / /b ，不能得出a ^ b ，故错误；
②如果n / /a ，则存在 直线l Ìa ，使n / /l ，由m ^a ，可得m ^ l ，那么m ^ n ．故正确；
③如果a / /b ，m Ì a ，那么m 与 b 无公共点，则m / /b ，故正确


④如果m / /n，a / /b ，那么m ，n 与a 所成的角和m ，n 与 b 所成的角均相等，故正确；
13．(2019 北京理 12)已知 l，m 是平面 a 外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l ^ m
②mP a
③l ^ a
；
；
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ______．
【答案】 若l ^a，l ^ m，则m P a m P a l ^a， l ^ m
或
，
则
．
【解析】由 l，m 是平面α外的两条不同直线，知：
由线面平行的判定定理得： 若l ^a，l ^ m，则m P a
．
m P a l ^a， l ^ m
由线面平行、垂直的性质定理得
，
则
．
14．(2020 全国 I 文 19)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， ABC是底面的内接正三角形，P
D
DO上一点，ÐAPC =90°．
为
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAC ；
(2)设 DO = 2 ，圆锥的侧面积为 3p，求三棱锥 P ABC 的体积．
-
6
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
8
【思路导引】(1)根据已知可得 PA PB PC，进而有△PAC △PBC ，可得 APC
=
=
@
Ð
= ÐBPC = 90o ，
PB ^ PC
PC ^平面 PAB
即
，从而证得
，即可证得结论；
(2)将已知条件转化为母线l和底面半径 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形
r
ABC
边
APC
AP
RtVAPO
，在 中，求出
PO，即可求出结论．
长，在等腰直角三角形
中求出
【解析】(1) D为圆锥顶点， 为底面圆心，\OD ^平面 ABC
，
Q
O
QP在 DO上，OA OB OC, PA PB PC ，
=
=
\
=
=
QVABC是圆内接正三角形，\AC = BC ，△PAC @ △PBC
\ÐAPC = ÐBPC = 90°，即 PB ^ PC,PA ^ PC
，
，
PAI PB = P,\PC ^
PAB,PC Ì平面 PAC
\
， 平面
^
平面
PAB
平面 PAC ；


(2)设圆锥的母线为l，底面半径为 ，圆锥的侧面积为 rl
r
p = 3p,rl = 3 ，
OD
2
= l
2
-r
2
= 2，解得r =1,l = 3 ， AC = 2rsin 60
o
= 3 ，
2
6
APC
AP =
AC =
在等腰直角三角形
中，
，
2
2
6
2
在RtDPAO中，
PO = AP
2
-OA
2
=
-1 =
，
4
2
1
1
2
3
6
8
\三棱锥
P- ABC 的体积为VP-ABC
=
3PO×S△ABC 3 2
= ´
´
´3=
．
4
15．(2020 全国Ⅱ文 20)如图，已知三棱柱 ABC - A BC 的底面是正三角形，侧面 BBC C 是矩形， M , N 分
1
1
1
1
1
别为 BC , BC 的中点， P 为 AM 上一点．过 BC 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 于 F
．
1
1
1
1
(1)证明： AA // MN ，且平面 A AMN ^平面 EBC F ；
1
1
1
1
p
(2)设O为△ABC 的中心，若 AO = AB =6， AO //平面 EBC F ，且ÐMPN = ，求四棱锥 B - EBC F 的体
1
1
1
1
1
1
1
3
积．
【答案】(1)证明见解析；(2)24 ．


M,N
BC BC 的中点，MN//CC
AA1 / /BB
1
MN//AA1，
，可证
【思路导引】(1)由
分别为
，
，根据条件可得
1
1
1
EBC F ^
A AMN
1
EF ^
A AMN
平面 即可；
1
要证平面
平面
，只需证明
1
1
S
和 M 到 PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得V
B-EB C F
(2)根据已知条件求得
【解析】(1)Q M,N
．
四边形EB C F
1
1
1 1
BC BC 的中点，\MN//BB
AA / /BB \MN//AA
，
1 1 1
分别为
，
，又
1
1
1
在等边VABC
中，
M 为 BC
中点，则
BC ^ AM
Q
，又 侧面
BBC C
为矩形，\BC ^ BB
，
1
1
1
QMN//BB MN ^ BC
MN Ç AM = M ，MN,AM Ì平面 A AMN \
A AMN
BC⊥平面 ，
1
，
，由
，
1
1
Q BC //BC
BC Ë
ABC， BC Ì平面 ABC \BC //
ABC
，
又
，且
平面
，
平面
1
1
1
1
1 1
Q BC Ì
EBC F
EBC F Ç
ABC = EF \BC / /EF
平面 ，
，\EF//BC ，
1 1
又
平面
，且平面
1
1
1
1
1
1
又QBC ^平面 A1AMN
\
，
^
平面
A AMN Ì
，QEF
1
平面
EBC F \
， 平面
EBC F ^
A AMN
平面 ．
1
EF
1
1
1
1
(2)过 M 作 PN 垂线，交点为 H ，画出图形，如图
Q AO
EBC F AOÌ
A AMN
1
A AMN Ç
1
EBC F = NP \AO//NP
平面 ， ，
1 1
//平面
，
平面
，平面
1
1
Q NO//AP \ AO = NP =6 Q O △A B C
的中心，
1
又
，
．
为
1
1
1
3
1
\
=
° = ´6´sin 60
° = 3
ON
AC sin 60
=
= 3
，则 AM 3AP = 3 3
=
，故：ON AP
．
，
1
1
3
Q平面 EBC F ^
平面
A AMN
，平面
EBC F Ç
平面
A AMN = NP MH Ì
，
平面
A AMN
1
1
1
1
1
1
1
EF AP
AP×BC
3´6
\
^
EBC F
Q
=
=
=
= 2．
MH 平面
，又 在等边VABC 中
，即 EF
1
1
BC AM
EBC F
的面积为：
AM
3 3
EBC F
\
为梯形， 四边形
由(1)知，四边形
1
1
1
1


EF +B1C
1
2+6
1
S
=
×NP=
´6= 24，\V
= S
×h，
四边形EB C F
2
2
B-EB C F
3
四边形EB C F
1
1
1
1
1 1
1
\V = ´24´3= 24
．
h M PN
MH = 2 3×sin 60° =3
，
为
到
的距离
3
16．(2020 全国Ⅲ文 19)如图，在长方体 ABCD - ABC D 中，点 E , F 分别在棱 DD , BB 上，且
1
1
1
1
1
1
2DE = ED , BF = 2FB ．证明：
1
1
(1)当 AB = BC时， EF ^ AC；
(2)证明：点C1 在平面 AEF 内．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．
AC ^ BD
AC ^ BB
AC ^
BB D D
平面 ，
1 1
【思路导引】(1)根据正方形性质得
，根据长方体性质得
，进而可证
1
EC1//AF
即可，在CC1 上取点 M
使得CM = 2MC
，再通过平行四边形性质进行
1
即得结果；(2)只需证明
证明即可．
【解析】
ABCD - ABC D
BB1 ^
ABCD\ AC ^ BB
平面 ，
1
(1)因为长方体
，所以
1
1
1
1
ABCD - ABC D ,AB = BC
ABCD为正方形\AC ^ BD，
因为长方体
，所以四边形
1
1
1
1


BB IBD = B,BB、BD Ì
BB D D
，因此 ，
AC ^平面 BB D D
1 1
因为
平面
1
1
1
1
因为 EF
Ì平面 BB D D
，所以
AC ^ EF
．
1
1
(2)在CC1 上取点 M 使得CM = 2MC
DM,MF
，
，连
1
D E = 2ED,DD //CC ,DD =CC
ED = MC ,ED//MC ,
DMC1E
所以四边形 为平行四边形，
因为
，所以
1
1
1
1
1
1
1
\DM //EC
MF//DA,MF=DA,所以四边形MFAD为平行四边形，\DM //AF,\EC1//AF
，因此
，因为
1
C
1
AEF
在平面
内．
17．(2020 江苏 15)在三棱柱 ABC - ABC 中，AB ^ AC，BC ^平面 ABC，E,F 分别是 AC，BC的
1
1
1
1
1
中点．
(1)求证： EF/ /平面 AB C ；
1
1
(2)求证：平面 AB C ^平面 ABB ．
1
1
【答案】见解析
【解析】(1)∵ E,F 分别是 AC ， BC的中点，∴ EF / /AB ，
1
1
∵ EF Ë 平面 AB C ， AB Ì平面 AB C ，∴ EF/ /平面 AB C ．
1
1
1
1
1
1
1
(2)∵ BC ^平面 ABC， AB Ì面 ABB ，∴ BC ^ AB ，
1
1
1
又∵ AB ^ AC， AC IBC =C ， AC Ì面 ABC ， BC Ì 面 ABC ，
1
1
1
1
∴ AB ^ 面 ABC ，∵ AB Ì面 ABB ，∴平面 AB C ^平面 ABB ．
1
1
1
1
18．(2018•新课标Ⅰ，文 18)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB = AC = 3，ÐACM = 90°，以 AC 为折痕将
DACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB ^ DA ．
(1)证明：平面 ACD ^平面 ABC ；


2
(2)Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP = DQ = DA，求三棱锥Q - ABP 的体积．
3
【解析】(1)证明：Q在平行 四边形 ABCM 中，ÐACM = 90°，\AB ^ AC ，
又 AB ^ DA ．且 ADI
AC = A ，
\AB ^ 面 ADC ，\AB Ì 面 ABC ，
\平面 ACD ^平面 ABC ；
(2)Q AB = AC = 3 ，ÐACM = 90°，\AD = AM = 3 2 ，
2
\BP = DQ = DA = 2 2 ，
3
由(1)得 DC ^ AB ，又 DC ^ CA，\DC ^面 ABC ，
1
1
\三棱锥Q - ABP 的体积V = S
´ DC
DABP
3
3
1 2
= ´ S
1
1 2 1
1
´ DC = ´ ´ ´3´3´ ´3=1．
DABC
3 3
3
3 3 2
3
19．(2018•新课标Ⅱ，文 19)如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = 2 2 ，PA = PB = PC = AC = 4，O 为
AC 的中点．
(1)证明： PO ^ 平面 ABC ；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC = 2MB ，求点C 到平面 POM 的距离．
【解析】(1)证明：Q AB = BC = 2 2 ， AC = 4 ，\AB
又O 为 AC 的中点，\OA = OB = OC ，
2
+ BC
2
= AC ，即DABC 是直角三角形，
2


Q PA = PB = PC ，\DPOA @ DPOB @ DPOC ，\ÐPOA = ÐPOB = ÐPOC = 90°，
\PO ^ AC ， PO ^ OB ，OBIAC = 0 ，\PO ^平面 ABC ；
(2)由(1)得 PO ^ 平面 ABC ， PO = PA
在DCOM 中，OM = OC +CM - 2OCgCM cos 45
2 5 2 15
2
- AO = 2 3，
2
2 5
3
2
2
0
=
．
1
1
SDPOM = ´PO´OM = ´ 2 3´
=
，
2
2
3
3
1 2
4
SDCOM = ´ ´ S
= ．
DABC
2 3
3
1
1
设点C 到平面 POM 的距离为d ．由VP-OMC =VC-POM Þ ´ S
gd = ´ S
´ PO ，
DOCM
DPOM
3
3
4 5
5
解得d =
，
4 5
\点C 到平面 POM 的距离为
．
5
20．(2017•新课标Ⅲ，文 19)如图四面体 ABCD中，DABC 是正三角形， AD = CD ．
(1)证明： AC ^ BD ；
(2)已知DACD是直角三角形，AB = BD ，若 E 为棱 BD上与 D 不重合的点，且 AE ^ EC ，求四面体 ABCE 与
四面体 ACDE 的体积比．
【解析】证明：(1)取 AC 中点O，连结 DO 、 BO，
QDABC 是正三角形， AD = CD ，
\DO ^ AC ， BO ^ AC ，
QDO BO = O， AC 平面 BDO ，
I
\
^
QBD Ì 平面 BDO ，\ AC ^ BD ．
(2)法一：连结OE ，由(1)知 AC ^平面OBD，
QOE Ì平面OBD，\OE ^ AC ，
设 AD = CD = 2 ，则OC = OA =1， EC = EA，
Q AE ^ CE ， AC = 2 ，\EC
\EC = EA = 2 = CD ，
2
+ EA
2
= AC
，
2


\E 是线段 AC 垂直平分线上的点，\EC = EA = CD = 2 ，
由余弦定理得：
BC
2
+ BD
2
-CD
2
BC
2
+ BE
2
-CE
2
cosÐCBD =
=
，
2BCgBD
2BCgBE
4+4-2 4+ BE - 2
2´2´2
2
即
=
，解得 BE =1或 BE = 2，
2´2´BE
QBE << BD = 2 ，\BE =1，\BE = ED ，
Q四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD的高h，
QBE = ED ，\SDDCE = SDBCE
，
\四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1．
21．(2016•新课标Ⅱ，文 19)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD上，
AE = CF ， EF 交 BD于点 H ，将DDEF 沿 EF 折到△ D¢EF 的位置．
(Ⅰ)证明： AC ^ HD¢；
5
(Ⅱ)若 AB = 5， AC = 6， AE = ，OD¢ = 2 2 ，求五棱锥 D¢- ABCFE 体积．
4
【解析】(Ⅰ)证明：Q菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD交于点O ，点 E 、F 分别在 AD ，CD上， AE = CF ，
\EF / /AC ，且 EF ^ BD
将DDEF 沿 EF 折到△ D¢EF 的位置，
则 D¢H ^ EF ，
Q EF / /AC ，
\AC ^ HD¢ ；
(Ⅱ)若 AB = 5， AC = 6，则 AO = 3， B0 = OD = 4 ，
5
Q AE = ， AD = AB = 5 ，
4
5 15
\DE = 5- =
，
4
4
Q EF / /AC ，
15
DE EH DH
3
4
5
\
=
=
=
= ，
AD AO OD
4


9
9
\EH = ， EF = 2EH = ， DH = 3，OH = 4-3=1，
4
2
QHD¢ = DH = 3 ，OD¢ = 2 2 ，
\满足 HD¢ = OD¢ +OH
则DOHD¢为直角三角形，且OD¢ ^ OH ，
2
2
2
，
又OD¢ ^ AC ， ACIOH = O ，
即OD¢ ^底面 ABCD ，
即OD¢是五棱锥 D¢ - ABCFE 的高．
9
( + 6)´1
1
(EF + AC)gOH
1
21 69
2
底面五边形的面积 S = ´ ACgOB +
= ´6´4 +
=12+
=
，
2
2
2
2
4
4
1
1 69
23 2
2
则五棱锥 D¢ - ABCFE 体积V = SgOD¢ = ´ ´ 2 2 =
．
3
3
4
22．(2014新课标 I，文19)如图，三棱柱 ABC- ABC 中，侧面BBCC为菱形，BC的中点为O，
1
1
1
1
1
1
且 AO ^平面BBCC．
1
1
(I)证明：B1C ^ AB;
(II)若 AC ^ AB ,ÐCBB = 60 ,BC =1,
o
求三棱柱 ABC- ABC 的高．
1 1 1
1
1
【解析】(I)连结 BC ，则O是 BC 与 BC 的交点，∵侧面 BBC C 为菱形，∴ BC ⊥ BC ，
1
1
1
1
1
1
1
又∵ AO⊥平面 BBC C ，∴ BC ⊥ AO，∴ BC ⊥平面 ABO，∵ AB Ì平面 ABO，
1
1
1
1
∴ B1C ⊥ AB ．
……6分
(II)作OD⊥ BC，垂直为 D，连结 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，∴BC⊥平面 AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，∴OH⊥平面 ABC．


3
∵ÐCBB1=600 ，∴△CBB1 为正三角形，∵BC=1，可得 OD=
．
4
1
1
2
∵AC⊥AB，∴OA= BC = ．
1
2
7
21
∵OH´AD =OD´OA，且 AD=
OD
2
+OA2 =
，得OH =
，
4
14
21
又∵O 是 BC 的中点，∴点 B 到平面 ABC的距离为
，
1
1
7
21
7
故三棱锥 ABC- ABC 的高为
．
……12分
1
1
1
23．(2011•新课标，文 18)如图，四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，ÐDAB=600 ，
AB =2AD, PD ⊥底面 ABCD．
(Ⅰ)证明： PA ^ BD ；
(Ⅱ)若 PD= AD=1，求棱锥 D-PBC的高．
【解析】(Ⅰ)因为ÐDAB = 60°, AB = 2AD ， 由余弦定理得 BD = 3AD
从而 BD2+AD2= AB2，故 BD^AD
又 PD^底面 ABCD，可得 BD^ PD
所以 BD^平面 PAD．故 PA^BD
(Ⅱ)如图，作 DE^ PB，垂足为 E．已知 PD^底面 ABCD，则
知 BD^ AD，又 BC//AD，所以 BC^ BD．
故 BC^平面 PBD，BC^ DE．
PD^ BC．由(Ⅰ)
则 DE^平面 PBC．
由题设知，PD=1，则 BD= 3 ，PB=2，
3
根据 BE·PB=PD·BD，得 DE=
，
2
3
即棱锥 D—PBC 的高为
.
2
24．(2019 江苏 16)如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
1
1
1


求证：(1)A B ∥平面 DEC ；
1
1
1
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB．
在直三棱柱 ABC-A B C 中，AB∥A B ，
1
1
1
1 1
所以 A B ∥ED．
1
1
Ë
1 1
又因为 ED⊂平面 DEC ，A B 平面 DEC1，
1
所以 A B ∥平面 DEC ．
1
1
1
(2)因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC．
因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC ⊥平面 ABC．
1
1
1
1
又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE．
因为 C C⊂平面 A ACC ，AC⊂平面 A ACC ，C C∩AC=C，
1
1
1
1
1
1
所以 BE⊥平面 A ACC ．
1
1
因为 C E⊂平面 A ACC ，所以 BE⊥C E．
1
1
1
1
25．(2018 江苏)在平行六面体 ABCD - ABC D 中， AA = AB ， AB ^ BC ．
1
1
1
1
1
1
1 1
求证：(1) AB∥平面 ABC ；
1
1
(2)平面 ABB A ^平面 ABC ．
1
1
1
【证明】(1)在平行六面体 ABCD - ABC D 中， AB ∥ AB ．
1
1
1
1
1 1
因为 AB Ë平面 A BC ， AB Ì平面 ABC ，
1
1
1
1
1 1
所以 AB ∥平面 A BC ．
1
1


(2)在平行六面体 ABCD - ABC D 中，四边形 ABB A 为平行四边形．
1
1
1
1
1 1
又因为 AA = AB ，所以四边形 ABB A 为菱形，
1
1 1
因此 AB ⊥ AB．
1
1
又因为 AB ⊥ BC ， BC∥ BC ，
1
1
1
1 1
所以 AB1⊥ BC．
又因为 AB I BC= B ， AB Ì平面 ABC ， BC Ì平面 ABC ，
1
1
1
1
所以 AB ⊥平面 ABC ．
1
1
因为 AB Ì平面 ABB A ，
1
1 1
所以平面 ABB A ⊥平面 ABC ．
1
1
1
26．(2017 江苏)如图，在三棱锥 A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E、F(E 与 A、
D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)AD⊥AC．
【解析】证明：(1)在平面 ABD内，因为 AB AD ，
^
EF ^ AD
，
所以 EF ∥ AB ．
ABC
，
又因为
EF Ë平面 ABC， AB Ì
平面


所以 EF ∥平面
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，
ABDI BCD= BD
ABC
．
平面
平面
，
BC Ì平面 BCD， BC ^ BD，
所以
BC ^平面 ABD．
因为 AD
Ì平面 ABD，所以 BC ^ AD
．
又 AB AD ，
^
BC I AB = B ， AB Ì
平面 ABC， BC Ì平面
ABC
，
所以 AD⊥平面
ABC
，
Ì
AC
ABC
，
又因为
平面
AD ^ AC
所以
．
27．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ
的底面对角线 AC 的长为 10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG ，EG 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在
1
1
容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为 40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均
忽略不计)
(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点 A处，另一端置于侧棱CC1 上，求l没入水中部分的长度；
(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l没入水中部分的长度．
【解析】(1)由正棱柱的定义，CC1 ^平面 ABCD，
所以平面 A ACC ^平面 ABCD，CC ^ AC ．
1
1
1
记玻璃棒的另一端落在CC1 上点 M 处．
因为 AC =10 7 ， AM = 40．
3
所以
MN = 40
2
-(10 7)
2
=30，从而sinÐMAC = ．
4
记 AM 与水平的交点为 P ，过 P 作 PQ ^ AC ，Q 为垂足，
1
1
1
1
1
则 PQ ^ 平面 ABCD，故 PQ =12，
1
1
1
1


P1Q
sinÐMAC
1
从而
AP1 =
=16．
答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cm．
l
( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)
(2)如图，O，O
是正棱台的两底面中心．
1
由正棱台的定义，OO
⊥平面
EFGH
，
1
E1EGG1⊥平面 EFGH ，OO EG
．
所以平面
⊥
1
E1EGG1⊥平面 E FG H ，OO E1G
同理，平面
⊥
．
1
1
1
1
1
1
记玻璃棒的另一端落在GG
N
上点 处．
1
G GK E G
，
1
K
为垂足， 则GK =OO1 =32．
过
作
⊥
1
EG = 14 EG = 62
，
因为
，
1
1
62-14
KG
= 24 ，从而GG1 = KG1
2
+GK
2
= 24
2
+32 = 40
2
所以
=
．
1
2
p
4
∠EGG =a,∠ENG = b, sina = sin( +∠KGG ) = cos∠KGG =
设
则
．
1
1
1
2
5
p
3
5
因为
．
2
40
14
7
=
b =
在△ENG 中，由正弦定理可得
，解得sin
．
sina sinb
25
p
24
因为0 < b < ，所以cosb =
．
2
25
于是sin∠NEG = sin(p-a -b) = sin(a + b) = sina cosb +cosa sinb
= ´ +(- 3)´
4 24
7
=
3
．
5 25
5 25 5
EN
P
P
2
PQ2 EG
^
，Q
P2Q
EFGH
⊥平面
PQ
，故 =12，从而
2 2
记
与水面的交点为 ，过
作
为垂足，则
2
2
2
2
P2Q
sin∠NEG
2
EP
= 20．
=
2


答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
28．(2014 山东)如图，四棱锥 P- ABCD中， AP ^ 平面PCD， AD∥BC ，
1
l
AB = BC = AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点．
2
(Ⅰ)求证： AP∥平面BEF ；
(Ⅱ)求证： BE ^ 平面PAC ．
【解析】(Ⅰ)设 AC IBE =O ，连结 OF，EC，
1
由于 E 为 AD 的中点， AB = BC = AD, AD / /BC ，
2
所以 AE / /BC, AE = AB = BC ,
因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 PC 的中点 ，
因此在DPAC中，可得 AP/ /OF ．
又OF Ì平面 BEF ， AP Ë平面 BEF ，所以 AP ∥平面 BEF ．
(Ⅱ)由题意知， ED / /BC,ED = BC ，所以四边形 BCDE为平行四边形，
因此 BE / /CD．又 AP ^平面 PCD，所以 AP ^CD，因此 AP ^ BE ．
因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE ^ AC ．
又 API AC = A，AP，ACÌ平面 PAC，所以 BE ^ 平面 PAC ．
29．(2014 江苏)如图，在三棱锥 P - ABC 中， D ，E，F 分别为棱
PA = 6, BC =8,DF =5.
PC, AC, AB
PA ^ AC
的中点．已知 ，


求证：(Ⅰ)直线 PA ∥平面 DEF ；
(Ⅱ)平面 BDE ^平面 ABC ．
【解析】(Ⅰ)∵ D，E 为 PC，AC 中点，∴DE∥PA
∵ PAË 平面 DEF，DEÌ 平面 DEF，∴PA∥平面 DEF
1
2
(Ⅱ)∵ D，E 为 PC，AC 中点，∴ DE = PA = 3
1
2
∵ E，F 为 AC，AB 中点，∴ EF = BC = 4
DE
2
+EF
2
= DF2 ，∴ÐDEF = 90°，∴DE⊥EF
∴
∵ DE//PA，PA ^ AC ，∴ DE ^ AC
∵ AC I EF = E ，∴DE⊥平面 ABC
∵DEÌ平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC．
P- ABCD
中，AB ^平面
PAD ，AB / /CD,PD = AD ，E 是 PB
中
30．(2012 广东)如图所示，在四棱锥
1
F DC
是
DF = AB PH 为DPAD AD
点，
上的点，且
，
中
边上的高．
2
PH ^
平面
ABCD；
(Ⅰ)证明：
(Ⅱ)若 PH =1, AD = 2,FC =1，求三棱锥
E-BCF
的体积；
EF ^
PAB
．
(Ⅲ)证明：
平面
AB ^平面 PAD PH Ì PAD Þ PH ^ AB
【解析】(Ⅰ)
，
面
PH ^ AD, ADI AB = AÞ PH ^ 面 ABCD
又


1
1
2
E
PB
中点 点 到面
Þ E
BCF
h = PH =
的距离
(Ⅱ) 是
2
1
1 1
1
1
2
E-BCF
V = S
´h = ´ ´FC´ AD´h = ´1´ 2´ =
三棱锥
的体积
DBCF
3
3 2
6
2 12
PA 的中点为G
DG,EG ， PD = ADÞ DG ^ PA
，
(Ⅲ)取
，连接
AB ^平面 PAD Þ PAD ^ PAB Þ DG ^ PAB
又
点
面
面
面
，
1
1
E,G
PB,PA
Þ EG/ / AB,DF/ / AB Þ EG/ /DF Þ DG / /EF ，得 ：EF ^
PAB
平面 ．
是棱
的中点
2
2
31．(2011 江苏)如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面 PAD ⊥平面 ABCD， AB = AD ，
ÐBAD=60°， E 、 F 分别是 AP 、 AD的中点．
求证：(Ⅰ)直线 EF ∥平面 PCD；
(Ⅱ)平面 BEF ⊥平面 PAD ．
【证明】：(Ⅰ)在△PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF//PD．
又因为 EFË平面 PCD，PDÌ平面 PCD，所以直线 EF//平面 PCD．
(Ⅱ)连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD 为正三角形，
因为 F 是 AD 的中点，
所以 BF⊥AD．
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BFÌ平面 ABCD，平面 PADI 平面 ABCD=AD，
所以 BF⊥平面 PAD．
又因为 BFÌ平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD．
32．(2019 江苏 16)如图，在直三棱柱 ABC－A B C 中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC．
1
1
1


求证：(1)A B ∥平面 DEC ；
1
1
1
(2)BE⊥C1E．
证明：(1)因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
所以 ED∥AB．
在直三棱柱 ABC-A B C 中，AB∥A B ，
1
1
1
1 1
所以 A B ∥ED．
1
1
Ë
1 1
又因为 ED⊂平面 DEC ，A B 平面 DEC1，
1
所以 A B ∥平面 DEC ．
1
1
1
(2)因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC．
因为三棱柱 ABC-A B C 是直棱柱，所以 CC ⊥平面 ABC．
1
1
1
1
又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE．
因为 C C⊂平面 A ACC ，AC⊂平面 A ACC ，C C∩AC=C，
1
1
1
1
1
1
所以 BE⊥平面 A ACC ．
1
1
因为 C E⊂平面 A ACC ，所以 BE⊥C E．
1
1
1
1
33．(2011 江苏)如图，在四棱锥 P- ABCD中，平面 PAD ^ 平面 ABCD， AB = AD ，
ÐBAD=60°， E 、 F 分别是 AP 、 AD的中点．
求证：(Ⅰ)直线 EF ∥平面 PCD；
(Ⅱ)平面 BEF ^平面 PAD ．


【证明】(Ⅰ)在△PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，
所以 EF//PD．
又因为 EFË平面 PCD，PDÌ 平面 PCD，
所以直线 EF//平面 PCD．
(Ⅱ)连结 DB，因为 AB=AD，∠BAD=60°，
所以DABD 为正三角形，
因为 F 是 AD 的中点，
所以 BF^AD．
因为平面 PAD^平面 ABCD，BFÌ平面 ABCD，平面 PADI 平面 ABCD=AD，
所以 BF^平面 PAD．
又因为 BFÌ平面 BEF，
所以平面 BEF^ 平面 PAD．
考点 81 空间几何体的截面问题
1．(2018•新课标Ⅰ，理 12)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则a 截此正
方体所得截面面积的最大值为(
)
3 3
4
2 3
3 2
4
3
A．
B．
C．
D．
3
2
【答案】A
【解析】正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，如图：
2
所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a 截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长
，
2
3
´( 2)
3 3
4
a 截此正方体所得截面最大值为：6´
2
=
，故选 A ．
4
2


2．(2015•新课标Ⅱ，理 19)如图，长方体 ABCD - ABC D 中， AB =16 ， BC =10， AA = 8，点 E ， F 分
1
1
1
1
1
别在 AB ， D C 上， AE = D F = 4，过点 E ， F 的平面a 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
1
1
1
1
1
1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线 AF 与平面a 所成角的正弦值．
【解析】(1)交线围成的正方形 EFGH 如图：
(2)作 EM ^ AB ，垂足为 M ，则： EH = EF = BC =10 ， EM = AA1 =8 ，
\ MH = EH
2
- EM =6，\AH =10。
2
以边 DA， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A(10 ，0，0) ， H(10，10，0) ， E(10，4，8) ， F(0 ，4，8) ，\ EF = (-10, 0, 0),EH = (0, 6,-8) 。
r
ì
= -10x = 0
ïngEF
设n = (x, y,z) 为平面 EFGH 的法向量，则：í uuur
，取 z = 3，则 n = (0, 4, 3) ，
r
ïngEH = 6y -8z = 0
î
uuur
r
40
4 5
若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为q ，则 ：sinq =| cos < AF,n >|=
=
，\直线 AF 与平面a 所
180g5 15
4 5
成角的正弦值为
．
15