2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题34 极坐标系与参数方程（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题34 极坐标系与参数方程（教师版含解析），共18页。试卷主要包含了[选修 4—4等内容，欢迎下载使用。

十年大数据*全景展示
专题 34 极坐标系与参数方程

年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文理 23
极坐标系与参数方程
直线和圆的参数方程，极坐标方程的应用
2012
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标的互化，椭圆参数方程的应用

2013
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
参数方程的求法，参数方程的应用

2014
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程及其应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与参数方程的互化，圆的参数方程的应用

2015
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆极坐标方程的应用
卷 2
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用


2016
卷 1
文理 23
极坐标系与参数方程
极坐标方程与参数方程的互化，极坐标方程的应用

卷 2

文理 23

极坐标系与参数方程
圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，圆的弦
长公式
卷 3
文理 23
极坐标系与参数方程
椭圆的参数方程，直线的极坐标方程，参数方程的应用


2017

卷 1

文理 22

极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的
互化，椭圆参数方程的应用
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直角坐标方程与极坐标方程的互化，极坐标方程的应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用


2018

卷 1

文理 22

极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标方程互化，直线与圆的位置关系，圆的几
何性质
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直线和椭圆的参数方程，直线参数方程参数几何意义的应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
直线与圆的位置关系，圆的参数方程，点的轨迹方程求法


2019

卷 1

文理 22

极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的
互化，参数方程的应用
卷 2
文理 22
极坐标系与参数方程
直线和圆的极坐标方程及其应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
极坐标方程及其应用


2020
卷 1
文理 22
极坐标系与参数方程
参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化

卷 2

文理 22

极坐标系与参数方程
参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程，极坐标
与参数方程的综合应用
卷 3
文理 22
极坐标系与参数方程
极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程及其应用

大数据分析*预测高考


考 点
出现频率
2021 年预测
考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换
23 次考 0 次
2021 年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用．
考点 117 极坐标和直角坐标的互化
23 次考 5 次
考点 118 参数方程与普通方程的互化
23 次考 1 次
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用
23 次考 17 次

十年试题分类*探求规律



考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换
考点 117 极坐标和直角坐标的互化


ìx = t + 1 ,

í2


ìïx = 4cos2q,
1．(2020 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C1 , C2 的参数方程分别为C1 : í
(q为参数)，C : ï t ( t 为

ïî y = 4sin2q
ï y = t - 1



参数)．
(1) 将C1 , C2 的参数方程化为普通方程；
îï t


(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1 , C2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．
【解析】(1)由cos2 q+ sin2 q= 1得C1 的普通方程为： x + y = 4 ，

ìx = t + 1 ìx2 = t 2 + 1 + 2


ï t ï t 2
C 2 2

由í 1 得： í
1 ，两式作差可得 2 的普通方程为： x - y
= 4 ．

ï y = t - ï y2 = t 2 + - 2

îï t îï t 2

ìx = 5

ìx + y = 4 ï
(2)由 得：
2 ，即 P æ 5 , 3 ö ．

î
íx2 - y2 = 4
í
ï
2 2
ï y = 3
î 2
ç ÷
è ø


æ 5 ö2 æ


3 ö2 17


设所求圆圆心的直角坐标为(a, 0)，其中 a > 0 ，则ç a - ÷ + ç 0 - ÷ = a 2 ，解得： a = ，
è 2 ø è 2 ø 10


\ 17 \


æ 17 ö2


æ 17 ö2

2


2 2 17


所求圆的半径 r = ，
10
所求圆的直角坐标方程为： ç x - 10 ÷ + y
= ç 10 ÷
，即 x + y
= x ，
5

\所求圆的极坐标方程为r= 17 cosq．
5
è ø è ø

ìïx = 2 - t - t 2 ,
î
2．(2020 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 íï y = 2 - 3t + t 2

( t 为参数且t ¹ 1)，C


与坐标轴交于 A , B 两点．

(1) 求 AB ；

(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．

【解析】(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A(0,12) ． 令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B(-4, 0) ．
(0 + 4)2 + (12 - 0)2
10
\ AB = = 4 ．



(2)由(1)可知 kAB
= 12 - 0
0 - (-4)
= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．


由 x = rcosq, y = rsinq可得，直线 AB 的极坐标方程为3rcosq- rsinq+12 = 0 ．
3．(2020 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A(r, π) 在直线l : rcosq= 2 上，点 B(r , π ) 在圆C : r= 4 sinq上

1 3 2 6
(其中r³ 0 ， 0 £q< 2p)．
(1)求r1 ， r2 的值
(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
【解析】(1) Q r cos p = 2\r = 4; Q r = 4 sin p 2 ．


1 3 1 2
6 \r2 =

(2) Q rcosq= 2, r= 4 sinq\ 4 sinqcosq= 2,\sin 2q= 1 QqÎ[0, 2p)\q= p, 5p，
4 4

2
2
当q= p时r= 2
4
；当q= 5p 时r= -2 4
< 0 (舍)；即所求交点坐标为当
p
(2 2, ) ．
4

4．(2019 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (r0 ,q0 )(r0 > 0) 在曲线C : r= 4 sinq上，直线 l
过点 A(4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P．
(1)当q = p 时，求r 及 l 的极坐标方程；

0 3 0

(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
3
【解析】(1)因为 M (r,q ) 在C上，当q = p 时， r = 4 sin p = 2 ．
0 0 0 3 0 3
由已知得| OP |=| OA | cos p = 2 ．
3

设Q(r,q) 为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ 中rcosæq- p ö =| OP |= 2 ，
ç 3 ÷
è ø

p æ p ö
3 3
经检验，点 P(2, ) 在曲线rcosçq- ÷ = 2 上．
è ø

所以，l的极坐标方程为rcosæq- p ö = 2 ．
ç 3 ÷

è ø

(2)设 P(r,q) ，在Rt△OAP 中， | OP |=| OA | cosq= 4 cosq,


即 r= 4 cosq．．


ê ú
因为P在线段OM上，且 AP ^ OM ，故q的取值范围是ép , pù ．
ë 4 2 û


所以，P点轨迹的极坐标方程为r= 4 cosq,
qÎ ép , pù ．
ê ú
ë 4 2 û

5．(2019 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A(2, 0) ， B( 2, p) ，C( 2, 3p) ， D(2, p) ，弧 »AB ，
4 4

» ， » 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，
p ， (1, p) ，曲线 M 是弧 » ，曲线 M 是弧 » ，曲线 M 是


BC CD
(1, )
2
1 AB
2 BC 3

弧C»D ．
(1) 分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；

3
(2) 曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且| OP |= ，求 P 的极坐标．

【解析】(1)由题设可得，弧 »AB, B»C,C»D 所在圆的极坐标方程分别为r= 2 cosq， r= 2 sinq，

r= -2 cosq，所以 M 的极坐标方程为r= 2 cosqæ 0 „q„ π ö ， M 的极坐标方程为
1 ç 4 ÷ 2
è ø

r= 2 sinqæ π „q„ 3π ö ， M 的极坐标方程为r= -2 cosqæ 3π „q„ π ö ．
ç 4 4 ÷ 3 ç 4 ÷
è ø è ø

(2)设 P(r,q) ，由题设及(1)知

3
若0 „q„ π ，则 2 cosq= ，解得q= π ；
4 6
3
若 π „q„ 3π ，则 2 sinq= ，解得q= π 或q= 2π ；
4 4 3 3
3
若 3π „q„ π ，则-2 cosq= ，解得q= 5π ．

4
æ
综上，P的极坐标为

3, π ö 或æ



3, π ö 或æ


6
3, 2π ö 或æ



3, 5π ö ．



ç 6 ÷ ç 3 ÷ ç 3 ÷ ç 6 ÷
è ø è ø è ø è ø
考点 118 参数方程与普通方程的互化

6．(2020 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是( )


ìx = 1+ 3t
î
A． í y = -1+ 4t
ìx = 1- 4t
î
B． í y = -1- 3t
ìx = 1- 3t
î
C． í y = -1+ 4t
ìx = 1+ 4t
î
D． í y = -1- 3t


【答案】D
【解析】A．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ， 故 D 正确．故选 D．

7．(2018 全国Ⅲ)[选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)

î
q
在平面直角坐标系 xOy 中， eO 的参数方程为ìx = cosq


(q为参数)，过点(0, -


2) 且倾斜角为a的直



线l 与eO 交于 A ， B 两点．
(1) 求a的取值范围；
(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．
í y = sin ，


【解析】(1) eO 的直角坐标方程为 x2 + y2 = 1．
当a= p 时， l 与eO 交于两点．
2

2
2
1 + k 2
当a¹ p 时，记 tana= k ，则l 的方程为 y = kx - ．l 与eO 交于两点当且仅当| |< 1 ，解得 k < -1 或
2


aÎ p p


p 3p


k > 1，即 ( , ) 或aÎ ( , ) ．
4 2 2 4
a p 3p

综上，
的取值范围是( , ) ．
4 4

(2) l 的参数方程为 ìïx = t cosa, (t 为参数， p < a< 3p ) ．
2
í
ïî y = - + t sina 4 4
设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t = tA + tB ，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sina+ 1 = 0 ．

A B P P 2 A B



于是t

A + tB

= 2 2 sina， tP =
2 sina．又点 P 的坐标(x, y) 满足 ìïx = tP cosa,
2
í
y = - + t

sina.


ì
ïx =

2 sin 2a,
2
ïî P

p 3p

所以点 P 的轨迹的参数方程是í
ï y = - 2 -
2 cos 2a
(a为参数，
< a< ) ．
4 4

îï 2 2
考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用
8．(2018 北京文理)在极坐标系中，直线rcosq+ rsinq= a(a > 0) 与圆r=2 cosq相切，则 a = ．

2
【答案】1+ 【解析】利用 x = rcosq， y = rsinq，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为

2
2
2
(x -1)2 + y2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即


2
|1- a |
= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．



9．(2017 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆r2 - 2rcosq- 4rsinq+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则

| AP | 的最小值为 ．

【答案】1【解析】圆的普通方程为 x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．

设圆心为C(1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．
10．(2017 天津文理)在极坐标系中，直线4rcos(q- p) +1 = 0 与圆r= 2 sinq的公共点的个数为 ．
6
【答案】2【解析】直线的普通方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的普通方程为 x2 + ( y -1)2 = 1 ，因为圆心到直
3

线的距离 d = < 1
4
，所以有两个交点．

11．(2016 北京文理)在极坐标系中，直线rcosq-
| AB |= ．
3rsinq-1 = 0 与圆r= 2 cosq交于 A, B 两点，则



【答案】2【解析】将rcosq-
3rsinq-1 = 0 化为直角坐标方程为 x -
3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直


角坐标方程为(x -1)2 + y2 = 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．

)
12．(2015 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2rsin(q- p =
4
7p
A(2 2, ) ，则点 Α 到直线l 的距离为 ．
4

2 ，点 Α 的极坐标为


【答案】

【解析】由 2rsin(q-
5 2
2
p
2
2
) = 得2r´
4 2
2
7p

(sinq- cosq) = ，所以 y - x = 1，

故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A(2 2, ) 对应的直角坐标为
4
2
A(2,-2) ，所以点 A(2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2 ．
2


13．(2015 安徽文理)在极坐标系中，圆r= 8sinq上的点到直线q=

是 ．
p(rÎ R) 距离的最大值
3


【答案】6【解析】圆r= 8sinq即r2 = 8rsinq，化为直角坐标方程为 x2 + ( y - 4)2 = 16 ，
3
p
直线q= ，则tanq= ，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线
3
4
的距离为| -4 | = 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．



14．(2020 全国Ⅰ文理 21)


ìx = cosk t ,

î
在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = sink t
(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为


极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 4rcosq-16rsinq+ 3 = 0 ．

(1) 当 k = 1时， C1 是什么曲线？


(2) 当 k = 4 时，求C1 与C2 的公共点的直角坐标．
【解析】(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为ìx = cos t ,



( t 为参数)，两式平方相加得 x2 + y2 = 1 ，

î
1 í y = sin t

∴曲线C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．

ìx = cos4 t ,
î
(2)当 k = 4 时，曲线C1 的参数方程为í y = sin4 t ( t 为参数)，∴ x ³ 0, y ³ 0 ，曲线C1 的参数方程化为


ïì x = cos2 t
î
ïí y = sin2 t

(t 为参数)，两式相加得曲线C1 方程为

x
y
+ = 1，得

y
x
= 1 - ，平方得

x
y = x - 2 + 1, 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1 ，

曲线C2 的极坐标方程为4rcosq-16rsinq+ 3 = 0 ，曲线C2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，


x
联立C , C 方程 ìï y = x - 2
+1 ,

，整理得12 x - 32

+ 13 = 0 ，解得
x

= 1 或
= 13 (舍去)，

1 2 í
x
x
ïî4x -16 y + 3 = 0 2 6

\ x = 1 , y = 1 ，\C ,C

1 1
公共点的直角坐标为( , ) ．


4 4 1 2
4 4
ì 1- t 2

ïx = 1+ t 2

15．(2019 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为í
ï
ï y =
î
4t 1+ t 2
(t 为参数)，以坐标原点


O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2rcosq+ 3rsinq+11 = 0 ．

(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；


(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．

1- t 2

æ y ö2

æ 1- t 2 ö2

4t 2

【解析】(1)因为-1 < £ 1 ，且 x2 + ç ÷


= ç ÷


+ = 1，所以C的直角坐标方程为





2 y2
1+ t 2
è 2 ø è1 + t 2 ø
(1+ t 2 )2

x + = 1(x ¹ -1) ．
4

l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．


ìx = cosa,
(2)由(1)可设C的参数方程为

(a为参数， -π
î
í y = 2sina
| 2 cosa+ 2 3 sina+11|
7
4 cos æa- π ö +11
ç 3 ÷

7
C上的点到l 的距离为
= è ø ．


7
当a= - 2π 时， 4 cosæa- π ö +11 取得最小值7，故C上的点到l 距离的最小值为 ．
3 ç 3 ÷
è ø

2
16．(2018 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的方程为 y = k|x| + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r2 + 2rcosq- 3 = 0 ．
(1) 求C2 的直角坐标方程；

(2) 若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．

【解析】(1)由 x = rcosq， y = rsinq得C2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y2 = 4 ．

(2)由(1)知C2 是圆心为 A(-1, 0) ，半径为 2 的圆．

由题设知，C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l1 ，y 轴左边的射线为l2 ．由于 B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与C2 只有一个公共点且l2 与C2 有两个公共点，或l2 与C2 只有一个公共点且l1 与C2 有两个公共点．
k 2 +1
当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 | = 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．

1 2 1 3

经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4 时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．

1 2 3 1 2 2 2


| k + 2 |
k 2 +1
当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以
= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．


2 2 2 3

经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4 时， l 与C 没有公共点．

1 2 3 2 2
综上，所求C 的方程为 y = - 4 | x | +2 ．

1 3

í y = 4 sin θ,
17．(2018 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为ìx = 2 cos θ, ( θ 为参数)，直线l 的参数
î

ìx = 1+ t cos α
î
方程为í y = 2 + t sin α ( t 为参数)．
(1) 求C 和l 的直角坐标方程；

(2) 若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．

x2 + y2 =


【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为
1．
4 16


当cosa¹ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tana× x + 2 - tana；
当cosa= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程

(1+ 3cos2 a)t2 + 4(2 cosa+ sina)t - 8 = 0 ．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t1 ， t2 ，则t1 + t2 = 0 ．
4(2 cosa+ sina)

又由①得t1 + t2 = -
1+ 3cos2 a
，故 2 cosa+ sina= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tana= -2 ．

18．(2018 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为rsin( π -q) = 2 ，曲线C 的方程为r= 4 cosq，求直线l 被曲
6
线C 截得的弦长．

【解析】因为曲线C 的极坐标方程为r=4 cosq，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．

因为直线l 的极坐标方程为rsin( π -q) = 2 ，则直线l 过 A(4, 0) ，倾斜角为 π ，所以 A 为直线l 与圆C 的一
6 6
个交点．
3
设另一个交点为 B，则∠OAB= π ，连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 cos π = 2 ．

6
3
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．


2 6











ìx = 3cosq

î
19．(2017 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为í y = sinq
，(q为参数)，直线l 的参


í y = 1- t
数方程为ìx = a + 4t ( t 为参数)．
î
(1) 若 a = -1，求C 与l 的交点坐标；

17
(2) 若C 上的点到l 距离的最大值为 ，求 a ．



【解析】(1)曲线C 的普通方程为
x2 + 2

y
9
= 1．


当a = -1时，直线l 的普通方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．


ìx + 4 y - 3 = 0
ìx = - 21



ï ìx = 3 ï25
21 24


由í x2 2


解得í y = 0 或í
，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (-
24
, ) ．

ïî 9 + y = 1 î
ï y =
ï
î 25
25 25

(2)直线l 的普通方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cosq, sinq) 到l 的距离为

| 3cosq+ 4 sinq- a - 4 |
17
d = ．



当a ≥-4 时， d 的最大值为
a + 9


．由题设得
a + 9

17
= ，所以a = 8 ；


17
17
17
17
17
当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1 = ，所以 a = -16 ． 综上， a = 8 或 a = -16 ．
20．(2017 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C1 的极坐标方程为rcosq= 4 ．

(1) M 为曲线C1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | × | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C2 的直角坐标

方程；
p
(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3 ) ，点 B 在曲线C2 上，求DOAB 面积的最大值．
【解析】(1)设 P 的极坐标为(r,q) (r> 0) ， M 的极坐标为(r1 ,q) (r1 > 0) ．

4
2
由椭圆知| OP |= r， | OM |= r1 = cosq．由| OM | × | OP |= 16 得C2 的极坐标方程r= 4 cosq(r> 0) ， 因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2 = 4(x ¹ 0) ．
(2)设点 B 的极坐标为(rB ,a) (rB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， rB = 4 cosa，于是DOAB 面积

1 p p 3

3
S = 2 | OA | ×rB ×sin ÐAOB = 4 cosa| sin(a- 3 ) | = 2 | sin(2a- 3 ) -
| ≤ 2 + ．
2

3
3
当a= - p 时， S 取得最大值 2 + ，所以DOAB 面积的最大值为 2 + ．
12

î
21．(2017 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为ìx = 2 + t

( t 为参数)，直线l 的参数方



ìx = -2 + m
ï
1 í y = kt 2

程为í
ïî
y = m
k
( m 为参数)．设l1 与l2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．

(1) 写出C 的普通方程；

2
(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：r(cosq+ sinq) -
交点，求 M 的极径．
= 0 ，M 为l3 与C 的


【解析】(1)消去参数t 得l 的普通方程l
: y = k ( x - 2) ，消去参数m 得l 的普通方程l : y = 1 ( x + 2) ．


1 1

ì y = k ( x - 2)
2 2 k

ï
设 P(x, y) ，由题设得í
ïî y =
1 ( x + 2)
k
，消去k 得 x2 - y2 = 4 ( y ¹ 0) ，所以C 的普通方程为



x2 - y2 = 4 ( y ¹ 0) ．

ìïr2 (cos2q-sin2q) = 4

(2) C 的极坐标方程为r2 (cos2q- sin2q) = 4 (0＜q＜2p,q¹ p) ，联立í 得
ïîr(cosq+sinq)- 2=0
cosq- sinq=2 (cosq+sinq) ，故tanq= - 1 ，从而cos2q= 9 ，sin2q= 1 ，代入r2 (cos2q-sin2q)=4 得

3
5
r2 =5 ，所以交点 M 的极径为 ．
10 10



ìx = -8 + t
í t
22．(2017 江苏)在平面坐标系中 xOy 中，已知直线l 的参考方程为ï
y =



( t 为参数)，曲线C 的参数方


ïì x = 2s2
îï 2

程为í
ïî y = 2 2s
( s 为参数)．设 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值．

【解析】直线l 的普通方程为 x - 2 y + 8 = 0 ．

因为点 P 在曲线C 上，设 P(2s2 , 2 2s) ，从而点 P 到直线l 的的距离

| 2s2 - 4 2s + 8 |
(-1)2 + (-2)2
2(s - 2)2 + 4
5
4 5

2
d = =
，当 s = 时， dmin = 5 ．



4 5
因此当点 P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点 P 到直线l 的距离取到最小值 ．
5

ìx = a cost
î
23．(2016 全国 I 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = 1+ a sin t (t 为参数，a＞0)．在以
坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ： r= 4 cosq．


(I) 说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；

(II) 直线C3 的极坐标方程为q=a0 ，其中 a0 满足tan a0 =2 ，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3



上，求 a．

ìx = a cos t
î
【解析】(1) í y = 1 + a sin t
( t 均为参数)，∴ x2 + ( y - 1)2 = a2 ①


1
∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x2 + y2 - 2 y +1 - a2 = 0 ．

1
∵ x2 + y2 = r2 ，y = rsinq，∴ r2 - 2rsinq+ 1 - a2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．

2
(2) C ：r= 4cosq，两边同乘r得r2 = 4rcosq Qr2 = x2 + y2 ，rcosq= x ，\ x2 + y2 = 4x ，

即( x - 2)2 + y2 = 4 ②

C3 ：化为普通方程为 y = 2x ，由题意： C1 和C2 的公共方程所在直线即为C3 ，

3
①—②得： 4x - 2 y + 1 - a2 = 0 ，即为C ，∴1 - a2 = 0 ，∴ a = 1 ．

24．(2016 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2 + y2 = 25 ．
(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；

10
ìx = t cosa
î
(II) 直线 l 的参数方程是í y = t sina(t 为参数)，l 与 C 交于 A、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．


ìr2 = x2 + y2
í
【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得 x2 + y2 + 12 + 11 = 0 ，由ïrcosq= x
î
ïrsinq= y

可知圆C 的极坐标方程为


r2 + 12rcosq+ 11 = 0 ．
(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：


-6k
1 + k 2
25 - ç
æ 10 ö2
è ø
2
÷
= ，即
36k 2
2
90 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ．

15
=
1 + k 4
3 3

ìïx =


3 cosa

25．(2016 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í
ïî y = sina
(a为参数)，以坐标原

2
点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为rsin(q+ p) = 2 ．

2 4

(Ⅰ)写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；

(Ⅱ)设点 P 在C1 上，点 Q 在C2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．
x2 2
【解析】(Ⅰ) C1 的普通方程为 3 + y = 1， C2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．
(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cosa, sina) ，因为C2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C2

| 3 cosa+sina- 4 |
2
的距离d (a) 的最小值， d (a) = =

p
2 | sin(a+
p
) - 2 | ．
3
3 1

当且仅当a= 2kp+
(k Î Z ) 时， d (a) 取得最小值，最小值为
6
，此时 P 的直角坐标为( , ) ．
2
2 2
ìx = 1 + 1 t,

í
26．(2016 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为ï
ï
ï y =
î
2
3 t,
2
(t 为参数) ，椭圆C 的参数

ìx = cosq,
î
方程为í y = 2sinq,
(q为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A, B 两点，求线段 AB 的长．

ï
2
2
ìx = 1+ 1 t

【解析】椭圆C 的普通方程为 x2 + y
4
= 1，将直线l 的参数方程í
ï
ï y =
î
2
3 t
2
，代入 x2 + y
4
= 1，得



(
(1+ 1 t)2 +

3 t)2
2

= 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．


=
2 4 1 2 7
1 2 7


27．(2015 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ，以坐标原
1 2

点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(Ⅰ)求C1 ， C2 的极坐标方程；


(Ⅱ)若直线C3 的极坐标方程为q=
(rÎ R) ，设C2 与C3 的交点为 M ， N ，求DC2 MN 的面积．
p
4

【解析】(Ⅰ)因为 x = rcosq, y = rsinq，

∴ C 的极坐标方程为rcosq= -2 ， C 的极坐标方程为r2 - 2rcosq- 4rsinq+ 4 = 0 ．
2
1 2

2
(Ⅱ)将q= p 代入r2 - 2rcosq- 4rsinq+ 4 = 0 ，得r2 - 3 2r+ 4 = 0 ，解得r = 2


， r = ，

1
4
2
|MN|= r － r = ，因为C 的半径为 1，则VC MN 的面积 ´

1 2

2 ´1´sin 45o = 1 ．


1 2 2
2 2 2
ìx = t cosa,

î
28．(2015 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 ： í y = t sina, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤a (Ⅰ)求C2 与C3 交点的直角坐标；

(Ⅱ)若C1 与C2 相交于点 A， C1 与C3 相交于点 B，求| AB | 的最大值．

2 3
【解析】(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2 3x = 0 ．联



ìïx2 + y2 - 2 y = 0,

ìx = 0,
ì 3
ïx = 2 ,

立íx2 + y2 - 2 3x = 0, 解得í y = 0, 或í 3


ï
îï î


ï y = ,
î 2


3
3
所以C2 与C1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．
2 2

(Ⅱ)曲线C1 的极坐标方程为q= a(rÎ R, r¹ 0) ，其中0 £a p 5p

所以 AB
= 2 sina- 2 3 cosa = 4 s in(a-
) ，当a= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ．
3 6

)
29．(2015 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为r2 + 2 2rsin(q- p - 4 = 0 ，求圆 C 的半径．

4
【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．



圆C 的极坐标方程为r2 + 2
æ 2 sinq- 2 cos ö
4 = 0 ，化简，得r2 + 2rsinq- 2rcosq- 4 = 0 ．

2
rçç 2 2
q÷÷ -

è ø
6
( x -1 + y +1 = 6) ( )
则圆C 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即 2 2 ，所以圆C 的半径为 ．
ìx = 3 + 1 t

í
30．(2015 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为ï2
ï
ï y = 3 t
î 2
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为r= 2 3 sinq．
(Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；
( t 为参数)．以原点为极点， x

(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．
【解析】(Ⅰ) 由r= 2 3 sinq, 得r2 = 2 3rsinq，从而有 x2 +y2 = 2 3y, 所以x2 + (y -

3 )2 = 3 ．


ç 3 + ø
è
t 2 +12
1

t,
3

t), 又C(0, 3) ，则| PC |=
æ
1
ö2 æ
3
ö2
2

2

è
2
t ÷ + ç
2
t - 3 ÷
ø

(Ⅱ)设 P(3 + = ，

故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．

2
31．(2014 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x
4
+ y2
9
= 1，直线l ： ìx = 2 + t ( t 为参数)．
í y = 2 - 2t
î


(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o 的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．

ìx = 2 cosq.
î
【解析】（I）曲线C的参数方程为í y = 3sinq. (q为参数).


直线l的普通方程为2x + y - 6 = 0.
……5 分


(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2cosq.3sinq)到l的距离为

5
5
d = 4 cosq+ 3sinq- 6 .



则 PA =
d =
sin 30°
5sin(q+a) - 6 , 其中a为锐角，且tana= 4 .
2 5
5
3


当sin(q+a)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .
5

当sin(q+a) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .
5
32．(2014 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C
的极坐标方程为r= 2 cosq，qÎ é0,pù ．



(Ⅰ)求 C 的参数方程；
ëê 2 úû


(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的


坐标．

【解析】(I)C 的普通方程为(x -1)

0 £ t £ x )．


2 + y2

ìx = 1+ cos t,
î
= 1(0 £ y £ 1) ，可得 C 的参数方程为í y = sin t,



(t 为参数，

(Ⅱ)设 D (1+ cos t, sin t) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆．
p

因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t =
3, t = ．
3

3
p p 3
故 D 的直角坐标为(1+ cos , sin ) ，即( , ) ．
3 3 2 2

33．(2013 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为ìx = 4 + 5 cos t ( t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正
î
1 í y = 5 + 5sin t

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为r= 2 sinq．

(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( r≥ 0 ， 0 ≤q≤ 2p)．
ìx = 4 + 5 cos t 2 2

î
【解析】将í y = 5 + 5sin t
消去参数t ，化为普通方程(x - 4)
+ ( y - 5)
= 25 ，

即C1 ： x
2 + y2
ìx = rcosq
î
- 8x -10 y + 16 = 0 ，将í y = rsinq 代入 x
2 + y2
- 8x -10 y + 16 = 0 得，

1
r2 - 8rcosq-10rsinq+16 = 0 ，∴ C 的极坐标方程为r2 - 8rcosq-10rsinq+16 = 0 ．

ìïx2 + y2 - 8x -10 y +16 = 0
(Ⅱ) C 的普通方程为 x2 + y2 - 2 y = 0 ，由í
ìx = 1
解得í
ìx = 0
或í ，

2
2,p
∴ C1 与C2 的交点的极坐标分别为(
ïîx2 + y2 - 2 y = 0
p
)， (2, ) ．
4 2
î y = 1
î y = 2


34．(2013 全国Ⅱ文理)已知动点 P ，Q 都在曲线C

与b= 2a( 0 ìx = 2 cos b
î
：í y = 2 sin b
(b为参数)

上，对应参数分别为b= a


(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为a的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
【解析】(Ⅰ)由题意有 P (2 cosa, 2sina), Q (2 cos 2a, 2sin 2a), 因此 M (cosa+ cos 2a,sina+ sin 2a) ，
ìx = cosa+ cos 2a,
î
M 的轨迹的参数方程为í y = sina+ sin 2a, ( 0
x2 + y2
(Ⅱ) M 点到坐标原点的距离 d = = 2 + 2 cosa( 0
当a=p时， d = 0 ，故 M 的轨迹过坐标原点．

35．(2012 全国文理)已知曲线C 的参数方程是ìx = 2 cosj j为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴
î
1 í y = 3sinj(

为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是r= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C2 上，且 A 、 B 、C 、
p
D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ．
3
(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；

1
(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．
p 5p 4p 11p
【解析】(1)点 A, B, C, D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，
3 6 3 6

点 A, B, C, D 的直角坐标为(1, 3),(-

ìx0 = 2cosj
3,1), (-1, -
3),( 3, -1) ．

(2)设 P(x0 , y0 ) ；则í y
= 3sin
(j为参数) ，

î 0 j

0 0
t = PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = 4x2 + 4 y2 +16 = 32 + 20 sin 2 jÎ[32, 52] ．


ìx = 2 cosa
î
36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为í y = 2 + 2 sin

(a为参数)，M 是C 上
1
a


的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2 的方程
(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线q= p与C 的异于极点的交点为 A，与C 的



异于极点的交点为 B，求 AB ．
3 1 2


【解析】(I)设 P(x, y) ，则由条件知 M( x , y )．由于 M 点在C 上，



ì x = 2 cosa
ï 2
2 2

ì x = 4 cosa
1



ì x = 4 cosa

所以í y
，即í y = 4 + 4 sin
，从而C2 的参数方程为í y = 4 + 4 sin
(a为参数)，

ï
ï = 2 + 2 sina î a î a
î 2

(Ⅱ)曲线C1 的极坐标方程为r= 4sinq，曲线C2 的极坐标方程为r= 8sinq．
射线q= p与C 的交点 A 的极径为r = 4sinp，射线q= p与C 的交点 B 的极径为r = 8sinp．

3 1 1 3 3 2 2 3
3
所以| AB |=| r2 - r1 |= 2 ．