专题09 一次函数-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

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则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）
A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．无法确定
2．如图，A，B两地之间的路程为4500米，甲乙两人骑车都从A地出发，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，乙在A，B之间的C地追赶上甲，当乙追赶上甲后，乙立即返回A地，甲继续往B地前行．甲到达B地后停止骑行，乙骑行到达A地时也停止（乙在C地掉头时间忽略不计），在整个骑行过程中，甲和乙都保持各自速度匀速骑行，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
①甲的速度为150m米/分；
②乙的速度为240米/分；
③图中M点的坐标为（24，3600）；
④乙到达A地时，甲与B地相距900米．
A．①③B．①③④C．①④D．①②④
3．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地，货车的路程y1（km），小轿车的路程y2（km）与时间x（h）的对应关系如图所示，下列结论错误的是（ ）x
…
﹣m2﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
0
n2+1
…
A．甲、乙两地的距离为420km
B．y1＝60x，y2＝
C．货车出发4.5h与小轿车首次相遇
D．两车首次相遇时距乙地150km
二．填空题（共5小题）
4．某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：
为盈利最大，店家选择将时装打 折销售，后四周最多盈利 元．
5．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．
（1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为 ；
（2）若点N（m，2）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ．
6．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 ．价格折扣
原价
9折
8折
7折
6折
5折
每周销售数量（单位：件）
20
25
40
90
100
150
7．设实数a，b，c满足＝||，a≥b≥c，则直线y＝必定经过定点 ．
8．对于三个数a、b、c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如，min{﹣1，2，3}＝﹣1，．那么观察图象，可得到min{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最大值为 ．
三．解答题（共7小题）
9．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8）
（1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式；
（2）试讨论在哪家商店购买合算？
10．已知，直线y＝2x+3与直线y＝﹣2x﹣1．
（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．
11．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围．
13．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C
D
总计/t
A


200
B
x

300
总计/t
240
260
500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
14．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．
一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．
（1）求d（点D，△ABC）＝ ；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝ ；
（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；
（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．
15．某市A，B两个蔬菜基地得知某地C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点．从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．C
D
总计/t
A


200
B
x

300
总计/t
240
260
500
专题09 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，
∴函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，
又∵函数经过点（1，0），
∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．
故选：A．
2．【解答】解：由图象可得，
甲的速度为：900÷6＝150（米/分），
乙的速度为：150×15÷（15﹣6）＝250（米/分），
乙骑行到A地时，甲骑车用的时间为：15+（15﹣6）＝24（米/分），
乙骑行到达A地时，甲乙两人相距的路程150×24＝3600（米），故M点的坐标为（24，3600）；
故乙到达A地时，甲与B地相距的路程是：4500﹣150×24＝900（米），
综上所述，①③④说法正确．
故选：B．
3．【解答】解：A、由图象可得，甲乙两地的距离是420km，
∴选项A正确；
B、设货车的路程y1与x的函数关系式为y1＝kx，小轿车的路程y2与x的函数关系式为y2＝mx+n，
将（7，420）代入y1＝kx中，
420＝7k，解得：k＝60，
∴货车的路程y1与x的函数关系式为y1＝60x；
当x＝5.75时，y1＝60x＝60×5.75＝345，
将（5.75，345）、（6.5，420）代入y2＝mx+n中，
，解得：，
∴y2＝100x﹣230（5≤x≤6.5）．
当x＝5时，y2＝100x﹣230＝100×5﹣230＝270，将（0，0）、（3，270）代入y2＝mx+n中，
，解得：，
∴y2＝90x（0≤x≤3）．
∴y2＝，
∴选项B错误；
C、令y1＝60x＝270，解得：x＝4.5，
∴货车出发4.5h与小轿车首次相遇，选项C正确；
D、∵货车出发4.5h与小轿车首次相遇，
∴y1＝60x＝60×4.5＝270，
∴420﹣270＝150（km），
∴两车首次相遇时距乙地150km，选项D正确．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
4．【解答】解：∵400﹣20×2＝360（件），
∴要在六周内卖完，后四周每周至少要卖360÷4＝90（件），
∴折扣应该在8折以下．
设后四周的利润为y，折扣为x（x≤7），依题意得
y＝（1000×﹣500）×360＝36000x﹣180000，
∵36000＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∴当x＝7时，y有最大值，
此时y＝36000×7﹣180000＝72000，
∴当打七折时，后四周的最大盈利为72000元，
故答案为：7；72000．
5．【解答】解：（1）根据题意∵﹣3＜0，
∴y'＝﹣y＝﹣4，
∴点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．（2）点M的“可控变点”N所在函数解析式为：，
∴当m≥0时，将（m，2）代入y＝x﹣1得m＝3，
当m＜0时，将（m，2）代入y＝﹣x+1得m＝﹣1．
把m＝3代入M点所在解析式y＝x﹣1，得y＝2，即M点坐标为（3，2），
把m＝﹣1代入M点解析式y＝x﹣1，得y＝﹣2，及M点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（3，2），（﹣1，﹣2）．
6．【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，
即点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，
点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），
②当BD不平行x轴时，
则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，
则直线DD′∥AB，
设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，
直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（n，7﹣n），
A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝＝，解得：n＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
7．【解答】解：两边平方得：++＝+++++，
∴++＝0
两边都乘以abc得：2c+2a+2b＝0，
a+b+c＝0，
a＝﹣b﹣c，
直线y＝＝x+．
当﹣b﹣c＝0时，b＝﹣c，则＝﹣1，
当x＝1时，y＝﹣1，即直线y＝必定经过定点 （1，﹣1）．
故答案是：（1，﹣1）．
8．【解答】解：当x＞2时，
2x﹣1＞x+1＞2﹣x，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜0，
当1＜x＜2时，
x+1＞2x﹣1＞2﹣x，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x＜1，
当1＝x时，
2x﹣1＝2﹣x＜x+1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，
当1＞x＞时，
x+1＞2﹣x＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0，
当x＝时，
2﹣x＝x+1＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＝0，当x＜时，
2﹣x＞x+1＞2x﹣1，
∴min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1＜0，
综上所述：当1＝x时，
min{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝1，最大为1．
故答案为：1．
三．解答题（共7小题）
9．【解答】解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝5x+120，
在乙店购买需付款：y乙＝144+4.5x；
（2）5x+120＝144+4.5x，
解得：x＝48，
8≤x＜48时，在甲商店购买合算，
x＝48时，在甲乙商店购买一样合算，
x＞48时，在乙商店购买合算．
10．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，当x＝0时，y＝3，即A（0，3）；
在y＝﹣2x﹣1中，当x＝0时，y＝﹣1，即B（0，﹣1）；
（2）依题意，得，
解得；
∴点C的坐标为（﹣1，1）；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D；
∴CD＝1；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝4；
∴S△ABC＝AB•CD＝×4×1＝2．
11．【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货3吨，4吨；
（2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，
∴3a+4b＝31，
则有，
解得：0≤a≤10，
∵a为整数，
∴a＝1，2，…，10，
∵b＝＝7﹣a+为整数，
∴a＝1，5，9，
∴a＝1，b＝7；a＝5，b＝4；a＝9，b＝1，
∴满足条件的租车方案一共有3种，a＝1，b＝7；a＝5，b＝4；a＝9，b＝1；
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
当a＝1，b＝7，租车费用为：W＝100×1+7×120＝940元；当a＝5，b＝4，租车费用为：W＝100×5+4×120＝980元；
当a＝9，b＝1，租车费用为：W＝100×9+1×120＝1020元，
∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少．12．【解答】解：（1）由题意得：
解得：
∴A（3，4）．
（2）如图，当y1＞y2时，x＜3．
（3）当x＜3，y3＞y2恒成立，则x＜3，y3﹣y2＞0恒成立．
∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2，
∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3．
∴若x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0．
当k﹣2＝0，即k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0．
当k﹣2＞0，即k＞2，[（k﹣2）x+3]min不存在．
当k﹣2＜0，即k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故k≥1．
综上：1≤k≤2．
13．【解答】解：（1）填表如下：
依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x）
解得：x＝200
两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200．
（2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200
由题意得：
∴40≤x≤240
∵在w＝2x+9200中，2＞0 C
D
总计/t
A
（240﹣x）
（x﹣40）
200
B
x
（300﹣x）
300
总计/t
240
260
500
∴w随x的增大而增大
∴当x＝40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200
∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小；
m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：
14．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），
d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，
∴d（点D，△ABC）＝1
当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，
d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，
在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝
d（L，△ABC）＝
故答案为：1，；
（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC
有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，
此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，
答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．
（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，
当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：
在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；
同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，
若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间
∴﹣1﹣≤b≤1+
答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．
15．【解答】解：（1）由题意可得，
20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x），
解得x＝200，
故答案为：240﹣x，x﹣40，300﹣x；
答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200；
（2）由题意可得，
w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，
∴w随x的增大而增大，
∵，
∴40≤x≤240，
∴当x＝40时，w取得最小值，此时w＝9280，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，
答：w与x之间的函数关系式是w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨，B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨．
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日期：2021/11/9 16:01:06；用户：高中物理；邮箱：13370277224；学号：38959610
C
D
总计/t
A
240﹣x
x﹣40
200
B
x
300﹣x
300
总计/t
240
260
500