专题12 圆的基本性质-全国初三数学自主招生专题大揭秘（含答案详解）

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A．B．C．D．4
2．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（ ）
A．2B．4C．2D．4
3．（2020•涪城区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．130°
4．（2020•涪城区校级自主招生）如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝24°，则∠AOB的度数是（ ）
A．56°B．68°C．48°D．12°
二．填空题（共7小题）
5．（2021•江岸区校级自主招生）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为 ．
6．（2021秋•邗江区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝1，则△PMN周长的最小值为 ．
7．（2020•江汉区校级自主招生）如图，在边长为2的等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上两个动点，且满足AE＝CD，连接BE、AD相交于点P，则线段CP的最小值为 ．
8．（2020•涪城区校级自主招生）⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝ ．9．（2020•浙江自主招生）平面直角坐标系中，⊙O交x轴正负半轴于点A、B，点P为⊙O外y轴正半轴上一点，C为第三象限内⊙O上一点，PH⊥CB交CB延长线于点H，已知∠BPH＝2∠BPO，PH＝15，CH＝24，则tan∠BAC的值为 ．
10．（2020•涪城区校级自主招生）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25，则⊙O的半径 ．
11．（2020•浙江自主招生）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC＝10，cs∠BCD＝，∠BCE＝30°，则线段DE的长是 ．
三．解答题（共9小题）
12．（2021•江岸区校级自主招生）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB＝CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．
13．（2020•武昌区校级自主招生）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．
14．（2020•浙江自主招生）如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求证：AM＝DC+CM．
15．（2019•武昌区校级自主招生）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⨀O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE，OD，DE＝．
（1）若AC＝6，求△ODE的面积；
（2）若tan∠ACB＝，求AD的长．
16．（2019•浦东新区校级自主招生）有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田四边到圆的最近距离都是20步，求边长，直径，（240步2＝1亩，π＝3）
17．（2018•温江区校级自主招生）如图，已知⊙O的直径AB＝10，C、D为上半圆上两点，AC＝CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E（点E在线段AO上），CE＝4．
（1）求四边形ACDB的面积；
（2）取CB的中点F，连接DF并延长交⊙O于点G，求DG的长．
18．（2017•镇海区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．
19．（2015•青羊区校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝，求AE的长．
20．（2016•黄冈校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN＝CN．
专题12 圆的基本性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：连接AB，OP，OQ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AB为直径，
∵P为BE的中点，Q为AD的中点，
∴OP∥AC，OP＝AE，OQ∥BD，OQ＝BD，
∴OP⊥OQ，
∴∠POQ＝90°，
∵BD＝AE，
∴OP＝OQ，
∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，
∵∠A＝30°，
∴∠CDA＝60°，
∴∠NDQ＝120°，
∴∠OQA＝120°，
∴∠NQD＝15°，
∴∠DNQ＝45°，
过点Q作QM⊥BC交BC于M，
则△NQM为等腰直角三角形，
∵NQ＝2，
∴MQ＝2，
在Rt△DMQ中，∠MDQ＝60°，
∴DQ＝＝4，
故选：D．
2．【解答】解：如图；过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA；
则AD＝BD，
由折叠的性质得：OD＝CD，
在Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4；
根据勾股定理得：AD＝＝＝2，
∴AB＝2AD＝4；
故选：D．
3．【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝50°，
∴∠CAB＝×50°＝25°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
4．【解答】解：∵∠AOB和∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝24°，
∴∠AOB＝48°，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
5．【解答】解：连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：
∵G（0，2），
∴OG＝2，GO⊥AB，
∴OA＝OB＝AB，
∵⊙G半径为4，
∴AG＝CG＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
在Rt△OAG中，sin∠OAG＝＝＝，OA＝＝2，
∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，
∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴OA＝AC，
∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
∵GM⊥AC，
∴AM＝CM，
∴MF＝AC＝2，
当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，
最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
6．【解答】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′，
∵∠MAB＝20°，
∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON＝∠MOB＝×40°＝20°，
由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，
∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°，
∴△MON′是等边三角形，
∴MN′＝OM＝OB＝AB＝＝4，
∴△PMN周长的最小值＝1+4＝5，
故答案为：5．
7．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝＝，
∴OA＝＝2，
∴OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
故答案为：2．
8．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1，
过点C作CH⊥AB于H，连接AC，则CH＝EF＝1，AH＝（AB﹣CD）＝1，
∴AC＝＝，②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴EO＝3，OF＝4，
∴EF＝OF+OE＝7，
同法可得AC＝5，
③当C，D位置交换时，可得AC＝5或7
故答案为：或5或7．
9．【解答】解：设PB交⊙O于点N，连接PA，延长PB、AC交于点M，
∵AB是直径，PH⊥CB
∴∠ANP＝90°＝∠ACB＝∠H，
∴MC∥PH，
由圆的对称性可得，PA＝PB，∠BPO＝∠APO＝∠APB，
∵∠BPH＝2∠BPO，
∴∠BPH＝∠APB，
∴△PHB≌△PNA （AAS），
∴PN＝PH＝15，
由MC∥PH得，∠HPB＝∠M＝∠APM，
∴AM＝AP＝PB，
∵AN⊥PM，
∴PM＝2PN＝30，由△PHB∽△MCB，
∴＝＝，
设MC＝a，BC＝b，MB＝c，则HB＝24﹣b，PB＝30﹣c，
∴＝＝，
∴＝＝sinM＝sin∠HPB，
∴cs∠HPB＝
在Rt△PHB中，PH＝15，
∴PB＝＝＝25，HB＝sin∠HPB•PH＝20，
∴BC＝24﹣20＝4，MB＝30﹣25＝5，则MC＝＝3，
在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝AM﹣MC＝25﹣3＝22，
∴tan∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
10．【解答】解：连接OC，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝10则有：CM＝CD＝5，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝52+（25﹣x）2，
解得：x＝13，
故答案为：13．
11．【解答】解：过B作BF⊥DE于F．
在Rt△CBD中，BC＝10，cs∠BCD＝，
∴BD＝8．
在Rt△BCE中，BC＝10，∠BCE＝30°，
∴BE＝5．
在Rt△BDF中，∠BDF＝∠BCE＝30°，BD＝8，
∴DF＝BD•cs30°＝4．
在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BCD，即cs∠BEF＝cs∠BCD＝，BE＝5，
∴EF＝BE•cs∠BEF＝3．
∴DE＝DF+EF＝3+4，
故答案为：3+4．
三．解答题（共9小题）
12．【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴，
即AM•MB＝CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，
∵OC＝3，OM＝2
∴CM＝DM＝，
由（1）知AM•MB＝CM•MD．
∴AM•MB＝•＝5．
13．【解答】解：（1）如图1，连接BC，OD交于点N，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，∴∠NDE＝90°，
∵∠BCE＝∠E＝90°，
∴四边形DECN是矩形，
∴∠CND＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∴DE＝BN＝CN＝8，
∵O是AB的中点，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
∴BD＝＝＝4；
（2）如图2，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，垂足为M，
tan∠BAD＝＝
设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，
∵F为OA的中点，
∴AF＝x，
∵GF⊥AB
∴∠AFH＝90°∵tan∠BAD＝
∴FH＝AF•tan∠BAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由（1）知：∠HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝DG，MH＝MD，
∴HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
∵FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为＝8．
14．【解答】证明：在MA上截取ME＝MC，连接BE，
∵BM⊥AC，
∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BAD，
而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD＝180°，∠BEA+∠BCE＝180°，∴∠BEA＝∠BCD，
∵∠BAE＝∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝CD，
∴AM＝AE+EM＝DC+CM．
15．【解答】解：（1）连接 BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OE∥AC，O点为AB的中点，
∴点E为BC的中点，
∴BE＝CE＝DE＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝4，
∴OD＝2，
在△ODE和△OBE中，
，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴S△ODE＝×2×＝；
（2）在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BC＝2DE＝2，
∵tan∠C＝＝，
∴设BD＝x，则CD＝2x，
∴BC＝＝x，∴x＝2，解得x＝2，
∴BD＝2，
∵∠C+∠A＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴tan∠ABD＝，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝＝，
∴AD＝BD＝×2＝1．
16．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．
方田面积减去水池面积为13.75亩，
∴（40+m）2﹣（）2•π＝13.75×240．
解得：m＝20．
即圆池直径20步
那么：方田边长为40步+20步＝60步．
17．【解答】（1）解：过点C作CI⊥BD于I，连接OC．
∵AB＝10，CE⊥AB，CE＝4，
∴OE＝＝＝3，
∴BE＝OE+OB＝8，AE＝OA﹣OE＝2，∵AC＝＝2，BC＝＝＝4，
∴S△ACB＝•AC•BC＝20，
∵AC＝CD，
∴＝，
∴∠CBE＝∠CBI，
∵∠CEB＝∠CIB＝90°，BC＝BC，
∴△BCE≌△BCI（AAS），
∴CI＝CE＝4，BE＝BI＝8，
∵∠AEC＝∠CID＝90°，AD＝CD，CE＝CI，
∴Rt△CEA≌Rt△CID（HL），
∴AE＝ID＝2，
∴BD＝BI﹣DI＝6，
∴S△BCD＝•BD•CI＝12，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△CBD＝20+12＝32．
（2）过点D作DH⊥BC于H．
∵S△BCD＝•BC•DH＝12，BC＝4，
∴DH＝，
在Rt△CDH中，CH＝＝＝，
∵CF＝BC＝2，
∴FH＝CF﹣CH＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝＝2，
∵DF•FG＝CF•FB，
∴FG＝＝5，
∴DG＝DF+FG＝7．
18．【解答】解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC＝AE，
又∵AD是圆O的直径，
∴2OC＝AD，
∴AD＝AE．
（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，
∴BC∥AD，
又AE＝2OC，∴AB＝BE＝4，
∵AD＝AE，
∴BC＝BE＝4，
连接BD，∵点B在圆O上，
∴∠DBE＝90°，
∴DB⊥AE，∵AB＝BE，
∴DA＝DE＝AE，
∴△AED是等边三角形，
∴BC＝OA＝BE＝CE＝4，
∴△BCE是等边三角形，
∴所求面积为4．
19．【解答】证明：（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴DC＝DB．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥BE．
解：（2）设AE＝x，
∵OD⊥BE，
∴可得OD是BE的中垂线，
∴DE＝DB，
∴∠1＝∠2，
∴BD＝ED＝，
∵OD⊥EB，
∴FE＝FB．
∴OF＝AE＝，DF＝OD﹣OF＝．
在Rt△DFB中，；
在Rt△OFB中，；
∴＝．
解得，即．
20．【解答】证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC＝BD．（5分）
∴∠BCD＝∠BDC．
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∵∠BDC＝∠OAC，∴∠BCD＝∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴＝（15分）
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN＝∠ACM，∠CDN＝∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵＝＝＝，
∴CN＝CB，即BN＝CN．（25分）
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