学易金卷2023年中考数学第一次模拟考试卷（全解全析）

2023年中考数学第一次模拟考试卷

九年级数学·全解全析

一、单选题（每小题3分，共30分）

1．A

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】解：∵-3＜-1＜0＜，

∴在实数，，0，中，最小的数是．

故选：A．

【点拨】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．A

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】解：4430万＝4.43×107，

故选：A．

【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3． D

【分析】由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：A、，故A错误；

B、，故B错误；

C、，故C错误；

D、，故D正确；

故选：D．

【点拨】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

4． C

【分析】根据左视图是从左面看到的图形求解即可．

【详解】解：A.不是该几何体的三视图，故不符合题意；

B.不是该几何体的三视图，故不符合题意；

C.是左视图，符合题意；

D.是俯视图，故不符合题意；

故选C．

【点拨】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线．

5． A

【分析】由△ABC为等边三角形，可知内角为60°，且∠1＝45°，可得到∠ACB与∠1度数之和，根据平行线的性质，即可求得∠2的度数．

【详解】∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠1＝45°，

∴∠ACB＋∠1＝60°+45°＝105°，

又∵，

∴∠2＝105°．

故选：A．

【点拨】本题考查平行线的性质，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键．

6． A

【分析】采用列表法列举即可求解．

【详解】根据题意列表如下：

由表可知总的可能情况有30种，连续两次都是白球的情况有6种，

即不放回连续两次都是白球的概率为6÷30=，

故选：A．

【点拨】本题考查了用列举法求解概率的知识，注意不放回试验意味着同一个球只能抽中一次，即在列表法中对角线的那一栏必须空置．

7．C

【分析】设小王跳绳速度为x个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可．

【详解】解：由题意可得，，

故选：C．

【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

8．B

【分析】根据定义化简方程，再由根的判别式判断即可；

【详解】解：由题意得：，

，

∵方程的=02-4×1×0=0，

∴方程有两个相等的实数根，

故选： B．

【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握=0时一元二次方程有两个相等的实数根是解题关键．

9．B

【分析】由作图知，MN是AB的垂直平分线，PQ是AE的垂直平分线，利用勾股定理求得AE，证明△IAF∽△DAE，求得AF=，证明△HGF≌△DAE，求得HF= DE=3，进一步计算即可求解．

【详解】解：过点G作GH⊥AD于点H，

∵正方形ABCD中，

∴四边形ABGH是矩形，

∴AB=GH=6，AH=BG，

由作图知，MN是AB的垂直平分线，PQ是AE的垂直平分线，　

∵正方形ABCD中，AB=6，∴DE=3，

由勾股定理得AE=，

∴AI=IE=，

∵∠AIF=∠D=90°，∠IAF=∠DAE，

∴△IAF∽△DAE，

∴，即，

∴AF=，

∵∠HGF+∠AFI=90°，∠IAF+∠AFI=90°，

∴∠HGF=∠DAE，

∴△HGF≌△DAE，

∴HF= DE=3，

∴AH=BG=AF-HF=，

∴四边形AFGB的面积为．

故选：B．

【点拨】本题考查了基本作图：线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用．

10． B

【分析】根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．

【详解】解：设运动时间，，则，，

在中，，，，则，

当时，有最大值为，

解得，即，

根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，

抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，

，

在中，，，

根据勾股定理可得，

故选：B．

【点拨】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（答案不唯一）

【分析】利用实数的大小比较法则，即可求解．

【详解】解：∵，

∴比大比小的无理数为．

故答案为：（答案不唯一）

【点拨】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．

12．

【分析】先解不等式组，再利用已知不等式组的解集得出关于a的等式，进而得出答案．

【详解】解：，

解①得x＜a，

解②得x≥-2，

由数轴可知不等式的解集为：-2≤x＜a，

所以a=4，

故答案为：4．

【点拨】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．

13．甲

【分析】先分别求出甲乙的平均数，再求出甲乙的方差，由方差越小成绩越稳定做出判断即可．

【详解】解：=（7+6+9+6+7）÷5=7（环），

=（5+9+6+7+8）÷5=7（环），

=[（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]÷5=1.2，

=[（5﹣7）2+（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2]÷5=2，

∵1.2＜2，

∴甲的成绩较为稳定，

故答案为：甲．

【点拨】本题考查平均数、方差、折线统计图，会求一组数据的平均数、方差，会根据方差判断一组数据的稳定性是解答的关键．

14．

【分析】过点，作，交于点，交于点，连接，当运动到点时，与点重合，当线段CD最短时，的长为的长，根据平行线分线段成比例可得，根据特殊角的三角函数值求得，根据弧长公式进行计算即可求解．

【详解】如图，过点，作，交于点，交于点，连接，

根据题意当运动到点时，与点重合，

∴当线段CD最短时，的长为的长，

,，

，

，

，

，

的长为．

当线段CD最短时，的长为．

故答案为：．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，根据特殊角的三角函数值求角度，求弧长，掌握以上知识是解题的关键．

15． 或1

【分析】分∠A1PD=90°和∠A1DP=90°两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质求解即可．

【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=，

∴AB=2，

∴AB=2BC，

∴∠A=30°，∠B=60°，

根据折叠的性质得：A1P=AP，A1C=AC，∠A1=∠A=30°，∠A1CP=∠ACP，

当∠A1PD=90°时，如图，

∴∠A1DP=60°，

∴△BDC为等边三角形，

∴BD=BC=DC=1，

∴A1D=-1，

∴DP=A1D=，

∴AP=A1P=；

当∠A1DP=90°时，如图，

∴∠DCB=30°，∠DCA=60°，∠A1CP=∠ACP=30°，

∴∠CPB=60°，

∴△BPC为等边三角形，

∴BP=BC=1，

∴AP=AB-BP=1；

综上，AP的长度为或1．

故答案为：或1．

【点拨】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、解答题（共75分）

16．（8分）

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则进行化简，然后再进行运算即可；

（2）根据分式混合运算法则进行化简计算即可．

【详解】（1）解：

                        （4分）

（2）

                        （8分）

17．（9分）

【答案】(1)40，108；

(2)见解析

(3)1680人

【分析】（1）由B等级16人，占比40%，求解总人数即可，再利用A等级所占的百分比乘以可得m的值；

（2）先利用总人数求解C等级的人数，再补全图形即可；

（3）由A，B等级所占的百分比乘以总人数即可．

【详解】（1）

解： （名），

；

所以在这次调查中一共抽取了40名学生，扇形图中的108，

故答案为：40，108；（4分）

（2）

C等级的学生为：（人），补全条形统计图如图；

（7分）

（3）

（人），

答：该校2400名学生中大约有1680人达标．（9分）

18．（9分）

【答案】303.8m

【分析】过点C作，垂足为D，设，分别利用解直角三角形得到AD、BD的长度，根据，代入求解即可．

【详解】解：过点C作，垂足为D，如解图所示．

由题意，易知，．（2分）

设．

在中，∴，

（4分）

在中，∵，

∵，

（7分）

解得

答：此段黄河的宽度约为303.8m．

（不同算法，结果不一样．误差范围内即可）（9分）

19.（9分）

【答案】（1）m＝100；（2）y＝6t+10800；（3）进货方案有：方案一：购进甲种运动鞋80双，购进乙种运动鞋120双；方案二：购进甲种运动鞋81双，购进乙种运动鞋119双；方案三：购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双；方案四：购进甲种运动鞋83双，购进乙种运动鞋117双；（4）当该专卖店购进甲运动鞋83双，乙运动鞋117双获得的利润最大，最大利润为11298元．

【分析】（1）用总价除以单价表示出鞋的数量，再根据用3000元购进甲种运动鞋的数量比用2400元购进乙种运动鞋的数量多5列出方程求解即可；

（2）用含t的代数式表示出甲乙两种运动鞋的利润，相加整理即得y关于t的函数解析式；

（3）设购进甲种运动鞋t双，则购进乙种运动鞋（200－t）双，然后根据总进价不低于19520元，且不超过19532元，列出一元一次不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；

（4）设专卖店获得的利润为W元，根据“利润=甲运动鞋的利润+乙运动鞋的利润”列出函数解析式，再根据一次函数的性质结合（3）题的t的范围求得最值即可.

【详解】解：（1）根据题意，得：，

解得：m＝100，m＝24，

经检验：m＝100，m＝24是分式方程的解，

∵进价大于50元，

∴m＝100；（3分）

（2）∵购进甲种运动鞋t双，则购进乙种运动鞋（200﹣t）双，

∴y＝t（160﹣100）+（200﹣t）[150﹣（100﹣4）]＝6t+10800，

即y＝6t+10800；（5分）

（3）设购进甲种运动鞋t双，则购进乙种运动鞋（200﹣t）双，

根据题意得，，

解得：80≤t≤83，

∴进货方案有：

方案一：购进甲种运动鞋80双，购进乙种运动鞋120双；

方案二：购进甲种运动鞋81双，购进乙种运动鞋119双；

方案三：购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双；

方案四：购进甲种运动鞋83双，购进乙种运动鞋117双；（7分）

（4）设专卖店获得的利润为W元，

则W＝（160﹣100）t+（150﹣96）（200﹣t）＝6t+10800，

∵W随t的增大而增大，且80≤t≤83（t为整数），

∴当t＝83时，W取最大值，最大值为11298，

答：当该专卖店购进甲运动鞋83双，乙运动鞋117双时获得的利润最大，最大利润为11298元．（9分）

20．（9分）

【答案】(1)见解析

(2)5

【分析】（1）根据作图，利用垂直平分线和角平分线的性质可证明，从而可进一步得出结论；

（2）证明，根据相似三角形对应边成比例可得结论．

【详解】(1)解：

由题意知是的垂直平分线，且点O在上，

∴，

∴，

∵是的平分线，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵OD是半径，

故是的切线．（4分）

(2)根据题意可知

，

∵，

∴，

设，则，

∴，

∵，

∴

∴，

∴，

解得，故的半径为5．（9分）

21（9分）

【答案】(1)3

(2)见解析

(3)见解析；1.2或2.3或5.0

【分析】（1）利用中垂线的性质证明，推出是等边三角形，，由等边三角形性质证明，推出是等边三角形，即可求出PB；

（2）以PD值为横坐标，对应的PB值为纵坐标，在平面直角坐标系内描点、连线，即可得到函数的图象；

（3）根据题意可知，BC为定值，不随PD的变化而变化，在函数图像上作出，交、于M点和N点，与交于H点，三个交点的横坐标即为线段的长度．

【详解】（1）解：．理由如下，

如图，连接，，，

，，

DC是OA的垂直平分线，

，

又，

是等边三角形，

，

，，

是等边三角形，

，

，

又，

是等边三角形，

故答案为：3．（3分）

（2）以PD值为横坐标，对应的PB值为纵坐标，在平面直角坐标系内描点、连线，即可得到函数的图象,如下图所示：

（6分）

（3）

根据题意，，不随PD的变化而变化，

在函数图像上作出，交、于M点和N点，与交于H点，

观察图象可知，M点、H点、N点的横坐标分别为1.2，2.3，5.0，

故当是等腰三角形时，线段的长度为1.2或2.3或5.0．（9分）

22.（10分）

【答案】（1）；（2），当时，随的增大而增大；（3）或a=-1-．

【分析】（1）当x=0时，求得对应的函数值就是其纵坐标；

（2）代入函数解析式确定a值，求出函数的对称轴，结合抛物线的开口方向求解即可；

（3）分和两种情形求解．

【详解】（1）当时，，所以.（2分）

（2）将点代入，得.

解得

所以（如图1所示）

抛物线的开口向上，对称轴为.                               

因此当时，随的增大而增大. （5分）

（3）抛物线的对称轴为，顶点坐标为.

如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是.

已知最低点到直线的距离为2，

所以.

解得.（7分）

如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点.

所以.

整理，得.

解得，或（舍去正值）.

综上：或.（10分）

23.（12分）

【答案】(1)

(2)①仍然成立，证明见解析；②或．

【分析】（1）先证明是等边三角形可得，再结合运用直角三角形的性质可得，最后代入求解即可；

（2）①如图1：过点A作，垂足为M.先根据题意求得，再结合旋转的性质可得，最后代入计算即可；②当点F在线段BE的延长线上和点F在线段BE上两种情况解答即可．

【详解】(1)解：∵将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，记旋转角为

∴AB=AE

∵

∴是等边三角形，

∴

∵，

∴

∴．（3分）

（2）①仍然成立．证明如下：

过点A作，垂足为M，如解图1所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴，即．

由旋转的性质，可得．

又∵，

∴．

∴．（6分）

②由题意可知需分以下两种情况进行讨论．

（i）当点F在线段BE的延长线上时，如解图2所示．

设，则

∴．

∴在中， ，解得（负值已舍去）．

∴．（9分）

（ⅱ）当点F在线段BE上时，如解图3所示．

设，则．

∴．

∴在中，，解得（负值已舍去），

∴．

综上所述，当以点C，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形时，BE的长为或．（12分）