中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习09（含答案）

中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习09

1.如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

2.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．

(1)∠E＝     度；

(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；

(3)求弦DE的长．

3.如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．

(1)求证：BD平分∠PBC；

(2)若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求OE及AB的长．

4.如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP＝∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若PC＝3，PF＝1，求AB的长．

5.如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,过O点作EC⊥OD，EC交BC于C,交直线AD于E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AE=1，AD=3，求阴影部分的面积．

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP.

（1）BD=DC吗？说明理由；

（2）求∠BOP的度数；

（3）求证：CP是⊙O的切线.

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是⊙0的切线.

(2)如果⊙0的半径为5，sin∠ADE＝，求BF的长.

8.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若OF∶OB=1∶3，⊙O的半径为3，求BD:AD的值．

0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习09（含答案）参考答案

一         、解答题

1. (1)证明：连接OC，

∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，

∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB=CD，

∵OA=OB，∴CD=OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，

∵CD∥BA，∴CD⊥AD，

∵OC∥AD，∴OC⊥CD，

∴CD是半圆的切线；

(2)解：∠AED+∠ACD=90°，理由：如图2，连接BE，

∵AB为半圆的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBA+∠BAE=90°，

∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠ABE+∠DAE，

∵∠ACE=∠ABE，∴∠ACE=∠DAE，

∵∠ADE=90°，

∴∠DAE+∠AED=∠AED+∠ACD=90°．

2.解：(1)∵∠ACD＝45°，∠ACD＝∠E，

∴∠E＝45°．

(2)△ACP∽△DEP，理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，

∴△ACP∽△DEP．

(3)∵△ACP∽△DEP，

∴AP：DP=AC：DE．

∵P为CD边中点，

∴DP＝CP＝1，

∵AP＝，AC＝2，

∴DE＝．

3.证明：(1)连接OB．

∵PB是⊙O切线，

∴OB⊥PB，

∴∠PBO＝90°，

∴∠PBD＋∠OBD＝90°，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∵OP⊥BC，

∴∠BED＝90°，

∴∠DBE＋∠BDE＝90°，

∴∠PBD＝∠EBD，

∴BD平分∠PBC．

(2)作DK⊥PB于K，

∵

∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，

∴DK＝DE，

∴＝＝，

∵∠OBE＋∠PBE＝90°，∠PBE＋∠P＝90°，

∴∠OBE＝∠P，

∵∠OEB＝∠BEP＝90°，

∴△BEO∽△PEB，

∴＝，∴＝＝，

∵BO＝1，

∴OE＝，

∵OE⊥BC，

∴BE＝EC，

∵AO＝OC，

∴AB＝2OE＝．

4.证明：(1)如图，连接OC，

∵PD⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∵∠ECP＝∠AED，

又∵∠EAD＝∠ACO，

∴∠PCO＝∠ECP＋∠ACO＝∠AED＋∠EAD＝90°，

∴PC⊥OC，

∴PC是⊙O切线．

(2)延长PO交圆于G点，

∵PF×PG＝PC2，PC＝3，PF＝1，

∴PG＝9，

∴FG＝9﹣1＝8，

∴AB＝FG＝8．

5.【解答】（1）证明：作OH⊥CD，垂足为H，

∵BC、AD是⊙O的切线，∴∠CBO=∠OAE=90°，

在△BOC和△AOE中，，∴△BOC≌△AOE（ASA），∴OC=OE，

又∵EC⊥OD，∴DE=DC，∴∠ODC=∠ODE，∴OH=OA，∴CD是⊙O的切线；

（2）∵∠E+∠AOE=90°，∠DOA+∠AOE=90°，∴∠E=∠DOA，

又∵∠OAE=∠ODA=90°，∴△AOE∽△ADO，∴=，∴OA2=EA•AD=1×3=3，

∵OA＞0，∴OA=，∴tanE==，∴∠DOA=∠E=60°，

∵DA=DH，∠OAD=∠OHD=90°，∴∠DOH=∠DOA=60°，

∴S阴影部分=×3×+×3×﹣=3﹣π．

6.解：（1）BD=DC.理由如下：连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC；

（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，

∴∠BAD=∠CAD，

∴，

∴BD=DE.

∴BD=DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

△ABC中，AB=AC，∠A=30°，

∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，

∴∠DEC=75°，

∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，

∵BP∥DE，

∴∠PBC=∠EDC=30°，

∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，

∵OB=OP，

∴∠OBP=∠OPB=45°，

∴∠BOP=90°；

（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，

在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，

又∵==，∴=，∴=，

又∵∠AGO=∠CGP，

∴△AOG∽△CPG，

∴∠GPC=∠AOG=90°，

∴OP⊥PC，

∴CP是⊙O的切线；

7.证明：(1)连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD平分BC，即DB＝DC，

∵OA＝OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切线；

(2)解：∵∠DAC＝∠DAB，

∴∠ADE＝∠ABD，

在Rt△ADB中，sin∠ADE＝sin∠ABD＝，

而AB＝10，

∴AD＝8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE＝，

∴AE＝6.4，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴＝，∴BF＝.

8.解：

(1)连接OD，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，

∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，

∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO=90°，

而OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC＋∠EDF=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线

(2)∵OF∶OB=1∶3，∴OF=1，BF=2，

设BE=x，则DE=EF=x＋2，

∵AB为直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADO=∠BDE，

而∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，

又∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴==，

即==，∴x=2，∴=