备战2023年北京中考数学仿真卷（七）

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备战2023年北京中考数学仿真卷（七）一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是　　A． B． C． D．【答案】【详解】从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．故选：．2．（2分）实数、在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．【答案】【详解】由数轴知，，，错误，，即正确，，即错误，，即错误．故选：．3．（2分）若点在第一象限，则点在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】【详解】点在第一象限内，，，，点所在的象限是：第二象限．故选：．4．（2分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】【详解】关于的方程有实数根，△，解得，故选：．5．（2分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是　　A． B． C． D．【答案】【详解】，，四边形是的内接四边形，，故选：．6．（2分）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是　　A．8 B．6 C．5 D．4【答案】【详解】，平分，，，为的中点，，故选：．7．（2分）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是　　A．货车出发1.8小时后与轿车相遇 B．货车从西昌到雅安的速度为 C．轿车从西昌到雅安的速度为 D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有【答案】【详解】由题意可知，货车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项不合题意；轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），（小时），设货车出发小时后与轿车相遇，根据题意得：，解得，货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项不合题意；轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有，故选项符合题意．故选：．8．（2分）如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，点，（E），在同一条直线上，令矩形不动，等边三角形以每秒的速度向右移动，当点与点重合时停止移动，设移动秒后，等边三角形与矩形重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是　　A． B． C． D．【答案】【详解】当经过点时，如图所示：为等边三角形，，，，；当经过点时，如图所示：，，，；①当时，如图所示：此时，，，；②当时，如图所示：过作于，此时，，，，，，四边形是矩形，，；③当时，如图所示：此时，，，，，，，，，，，，．故选：．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）要使根式有意义，则的取值范围是 　　．【答案】【详解】，，故答案为：．10．（2分）分解因式：　　．【答案】【详解】原式，故答案为：．11．（2分）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是 　　．（结果保留【答案】【详解】根据圆锥的侧面积公式：，故答案为：．12．（2分）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是 　　．【答案】【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则，点恰好在反比例函数的图像上，，故答案为：．13．（2分）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，则的长为 　　．【答案】【详解】，，，，为等腰直角三角形，，．故答案为：．14．（2分）如图，点在线段上，，，，如果，，，那么的长是　　．【答案】【详解】，，，，，，，，，，在中，，，，解得：或（不合题意舍去），故答案为：．15．（2分）高速公路某收费站出城方向有编号为，，，，的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号，，，，，通过小客车数量（辆260330300360240在，，，，五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是　　．【答案】【详解】，，，，，，，，，，由和得，由和得，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是，故答案为：．16．（2分）如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨．有，两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从 　　原料库（填“”或“” 装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序 　　（按运送的先后顺序依次排列即可）．【答案】；【详解】，，，若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从料库装运，故答案为：；，，，，，，，，．当按运输时，总的“吨千米数”为：；当按线路运输时，总的“吨千米数”为：；当按线路运输时，总的“吨千米数”为：，，当按线路运输时，总的“吨千米数”最小．故答案为：．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．【答案】见解析【详解】．18．（5分）解不等式组：，并写出它的最大整数解．【答案】见解析【详解】，由①得：，由②得：，不等式组的解集是，它的最大整数解是．19．（5分）已知，求代数式的值．【答案】见解析【详解】，当时，原式．20．（5分）下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．已知：直线及直线上一点，如图1．求作：，使得，．作法：如图2．①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，在的上方）；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形　　，四边形是菱形．　　（填推理的依据）　　（填推理的依据）．　　（填推理的依据）．．【答案】见解析【详解】（1）解：如图，为所作；（2）证明：连接，，．，是等边三角形，，，四边形是菱形（四边相等的四边形为菱形），（菱形的对角线互相垂直平分），． 直角三角形的两锐角互余），．故答案为：；四边相等的四边形为菱形；菱形的对角线互相垂直平分；直角三角形的两锐角互余．21．（6分）如图，在平行四边形中，点为的中点，与对角线交于点．（1）求证：；（2）当且时，若，求长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，，，点为的中点，，，，， （2）解：，，在中，，，设，则，，，，，，，．22．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数经过点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）一次函数经过点，将点代入，得，一次函数的解析式为：．（2）令，，，当时，，，解得，解，得，，解得，当时，，满足题意综上，的取值范围是．23．（6分）如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）连接，，，，，是的直径，，，，，是切线；（2），为半径．是切线，，连接，，，，，，，，是的中位线，，，，，，．24．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为（单位：，竖直高度为（单位：，下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：010203040506054.057.857.653.445.233.016.8下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们；（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是 　　的一部分（填“抛物线”或“双曲线” ，结合图象，可推断出水平距离约为 　　（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点 　　（填写“高”或“低” 约 　　（结果保留小数点后一位）．【答案】（1）见解析；（2）抛物线；14.5；（3）高；2.8【详解】（1）如图所示：（2）由图象可知，曲线可看作抛物线的一部分，设该抛物线的解析式为：，将，，代入，得，解得．．当时，最大，当水平距离为时，取最高；故答案为：抛物线；14.5；（3）甲最高为，，故答案为：高；2.8．25．（6分）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．．七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：分组分数频数频率10.0520.1050.25750.25合计201．七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：80  80  82  85  85  85  89．七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：年级平均数中位数众数方差七年级82.085109.9八年级82.4848572.1根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中，的值：　　，　　；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是 　　；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是 　　（填“七”或“八” 年级，理由为 　　；（3）竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约 　　人．【答案】（1）0.35，81，90；（2）八，八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分（答案不唯一，合理均可）；（3）110【详解】（1），，八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数为，故答案为：0.35，81，90；（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级，理由如下，八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分，八年级的成绩好，故答案为：八，八年级成绩的平均分大于七年级年级成绩的平均分（答案不唯一，合理均可）；（3）估计这两个年级成绩优秀的学生共约：（人，故答案为：110．26．（5分）在平面直角坐标系中，点、、是抛物线上三个点．（1）直接写出抛物线与轴的交点坐标；（2）当时，求的值；（3）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）对于，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；（2）当时，抛物线的对称轴为，，解得：；（3）当时，对称轴在的左侧，即，解得：，当时，，解得：，当时，．27．（7分）如图，在中，，，是中点，连接．点在线段上（不与点，重合），连接，点在的延长线上且，连接．（1）比较与的大小，并证明；（2）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】见解析【详解】（1），理由如下：连接，，是的中点，垂直平分线段，，即，，，，，，，；（2）．证明：在线段上取一点，使得，连接，，是的中点，，，，是等边三角形，，，，在和中，，，，，，．28．（7分）对于平面内的点和点，给出如下定义：点为平面内的一点，若点使得是以为顶角且小于的等腰三角形，则称点是点关于点的锐角等腰点．如图，点是点关于点的锐角等腰点．在平面直角坐标系中，点是坐标原点．（1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角等腰点的是 　　．（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角等腰点，求实数的取值范围．（3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足．直线与轴和轴分别交于点，，若线段上存在点关于点的锐角等腰点，请直接写出的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）【详解】（1）如图1中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，点满足条件．故答案为：，． （2）如图2中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，，时，满足条件．当直线经过时，．如图3中，当直线与半圆相切于点，交轴于，交轴于．，，，，，，即，观察图象可知，满足条件的的值为：． （3）根据题意，点关于点的锐角等腰点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图，半圆扫过的区域为图中阴影部分，如图中，阴影部分与相切于点，，，则，，即，解得，如图中，阴影部分与相切于点，，，则，，且，则，即，代入直线，可得，则，解得，观察图象可知，．