高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 组合教课内容课件ppt

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第2课时　组合数的应用
(1)有5名男医生和3名女医生．现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数为(　　)A．45　　B．60　　C．90　　D．120(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，则此人有_________种不同的投资方式．(3)现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为_____.
[分析]　(1)选出的3名医生之间无顺序之分，因此是组合问题，但需要对医生的组成人员分类求解；(2)选出的8种股票无顺序之分，选出的4种债券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解；(3)本小题需要注意一个问题，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题．
[规律方法]　求解无限制条件的组合问题的思路对于无限制条件的组合问题，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类(或每一步)中注意分清对象的总数及取出对象的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数．
(1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有_____种．(2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有_____种．
[分析]　(1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生．也可用间接法，用总的选法数减去全部是男生的选法数．(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没有任何两个人是夫妻．第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻．在每一类中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确定具体的人来介绍子女的教育情况．也可以采用间接法，用总的选法数减去4位家长有2对夫妻的选法数．
[规律方法]　常见的限制条件及解题方法(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
【对点训练】❷ 某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)恰有1名女运动员；(3)至少有1名女运动员；(4)队长中至少有1人参加；(5)既要有队长，又要有女运动员．
平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？[分析]　该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一限制条件．
[规律方法]　要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题．避免重复或遗漏．
【对点训练】❸ (1)四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有(　　)A．30种　　B．33种　　C．36种　　D．39种(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有(　　)A．150种　　B．147种　　　　C．144种　　D．141种
角度1　不同对象分配问题9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人3本；(2)分为三组，每组3本；(3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；
(5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本；(6)分给甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本；(7)分给甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外两人中有一人2本，一人3本；(8)分给甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外两人每人得2本；(9)分给甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外两人每人得2 本．
角度2　相同对象分配问题有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班．(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？[分析]　(1)直接使用隔板法计数；(2)(3)先将问题进行等价转化，再使用隔板法计数．
[解析]　(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C＝36(种)分法．如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别是2个，5个，3个．
[规律方法]　1．分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题．分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
【对点训练】❹ (1)有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案(　　)A．680　　B．816　　C．1 360　　D．1 456(2)(2021·南充高二检测)我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情，现把5名专家分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为(　　)A．116　　B．100　　C．124　　D．90
②将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去A医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，则3个组的分派方法有2×2＝4种情况，则有25×4＝100种分配方法．
计数时重复或遗漏致错将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有______种(用数字作答)．
[辨析]　导致错解的原因；错解一是重复计数；错解二是遗漏计数，分析如下．设4个不同的小球为a，b，c，d，从4个小球中取出3个，若取出的是a，b，c，则d与a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d.若取出的是b，c，d，则a与b，c，d搭配，有b，a；c，a；d，a.其中a，d与d，a是同一种情况．这就是错解一中出错的地方．取3个小球，若取出的是a，b，c，则d与a，b，c搭配有a，d；b，d；c，d 3种情况．遗漏了a，b；b，c；a，c这3种情况．这就是错解二中出错的地方．
1．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)A．36种　　B．48种　　C．96种　　D．192种
2．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有(　　)A．27种　　B．24种　　C．21种　　D．18种
3．某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为(　　)A．84　　B．72　　C．76　　D．130
4．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有(　　)A．150种　　B．180种　　C．200种　　D．280种