江苏省泰州中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试卷(Word版附解析)
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这是一份江苏省泰州中学2022-2023学年高一数学下学期期中考试试卷(Word版附解析),共23页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
江苏省泰州中学2022~2023学年度第二学期期中考试高一数学试题(考试时间:120分钟 总分:150分)命题人: 审题人:一、选择题:(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将答案填涂到答题卡相应区域.)1. 在中,内角的对边分别为,若,则( )A. B. C. 5 D. 6【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.【详解】由余弦定理可得,所以.故选:A.2. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,由二倍角公式即可得到结果.【详解】因为.故选:C3. 向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则( )A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】将,,平移至同一个起点并构建直角坐标系,写出相关向量的坐标,再应用向量数量积的坐标表示求.【详解】将,,平移至同一个起点位置,如下图点位置,建立直角坐标系,则,所以.故选:A4. 已知都是锐角,且,,则( )A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先求,,然后求的值,根据为锐角求出的值.【详解】因为都是锐角,且,所以 又故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,考查计算能力,是基础题.5. 设非零向量,满足,,,则在上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,求得,再利用投影向量的定义求解.【详解】解:因为,,,所以 ,解得,所以 在上的投影向量为,故选:C6. 中国古代四大名楼鹳雀楼,位于山西省运城市永济市蒲州镇,因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图,某同学为测量鹳雀楼的高度,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物,高约为37,在地面上点处(,,三点共线)测得建筑物顶部,鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°,在处测得楼顶部的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为( )A. 64 B. 74 C. 52 D. 91【答案】B【解析】【分析】求出,,,在中,由正弦定理求出m,从而得到的长度.【详解】因为中,⊥,m,,所以m,因为中,⊥,,所以,由题意得:,故,在中,由正弦定理得:,即,故m,故m故选:B7. 已知平面向量,对任意实数都有,成立.若,则的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设,根据题意得到在以为直径的圆周上,过点作,得到,设,求得,进而得到,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】如图所示,设,则,若对任意的实数都有且成立,即对任意的实数都有且成立,即成立,所以在以为直径的圆周上,设圆心为,过点作,交于点,交圆于点,可得向量在上的射影长为,所以,设,其中,且,则,所以,所以,,,当时,取得最大值,最大值为.故选:B.8. 在中,内角,,,.若对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设,则,并确定的取值范围,再由关于的一元二次不等式恒成立,求出间的不等量关系,利用的取值范围,即可求出结果.【详解】在中,,记,则,因为,所以,,从而,所以可化为,即恒成立,所以依题有,化简得,即得恒成立,又由,得或.故选:D.【点睛】方法点睛:本题主要是转化为一元二次不等式恒成立的问题,考查同角间的三角函数关系,考查不等式的关系,属于较难题.
二、多项选择题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.请将答案填涂到答题卡相应区域.)9. 下列各式中,值为的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】熟练掌握二倍角公式 , ,根据题中式子特点,选择公式计算即可.【详解】A.;B. ;C. ;D. .故选:BCD10. 已知,,其中,为锐角,则以下命题正确的是( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.【详解】因为 ( 为锐角), 故 , 故 正确; 因为 , 所以 , 故 B 错误; 由 , 故 , 故 C 正确; 且 , 所以 , 故 D 错误.故选: AC.11. 在中,,,,则下列结论正确的是( )A. 外接圆面积为 B. 若,则C. 的面积有最大值 D. 若有一解,则【答案】AC【解析】【分析】根据正弦定理,余弦定理,面积公式,基本不等式,二次方程的根的分布即可求解.【详解】在 中, 由 , 得 ,
由正弦定理可得, , 即 3 , 可得 外接圆面积为 , 故 正确;
若 , 则 , 得 , 或 , 故B错误;
由余弦定理可得, B,
即 ,
得 , 当且仅当 时取等号,
则的面积有最大值为 , 故C正确;
由 , 得 , 方程的判别式,①,解得=.当时,=0转化为=0,解得=符合题意;当时=0转化为=0,解得=不符合题意;② 0且两根之积 , 可得 有一正根和一负根, 负根舍去,此时 有一解,此时,③ 0且两根之积 , 解得=,当时,=0,解得=符合题意;当时=0,解得=不符合题意;故若有一解,则或,故D错误.
故选:AC.12. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形,其中,,动点在上(含端点),连接交扇形的弧于点,且,则下列说法正确的是( )A. 若,则 B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】建立平面直角系,表示出相关点的坐标,设,可得,由,结合题中条件可判断A,B,表示出相关向量的坐标,利用数量积的运算律,结合三角函数的性质,可判断C,D.【详解】如图,作,分别以,为,轴建立平面直角坐标系,则,设,则,由可得,,且,若,则,,所以,,所以,故A错误;由,,所以,因为,所以,所以,所以,故B正确;由于,故,而,所以,所以,故C正确,,由于,故,故,故D错误;故选:BC三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.)13. 已知,则________.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为,所以.故答案为:.14. 已知,为非零不共线向量,向量与共线,则______.【答案】【解析】【分析】依题意,可以作为平面内的一组基,则,根据平面向量基本定理得到方程组,解得即可.【详解】因为,为非零不共线向量,所以,可以作为平面内的一组基底,又向量与共线,所以,即,所以,解得.故答案为:15. 设,若,则______.【答案】【解析】【分析】首先求出,再由二倍角公式求出,,最后由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为,,所以,所以,,所以.
故答案为:16. 在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,点P是的重心,且,则___________.【答案】或【解析】【分析】根据三角恒等变换可得或,利用重心的性质、模的性质及数量积得运算,可建立关于的方程,求解后利用余弦定理求a即可.【详解】,整理得,解得或(舍去),或.又∵点P是的重心,,整理得.当时,,得,此时,解得;当时,,得,此时,解得.故答案为:或【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,向量的数量积运算法则、性质,余弦定理,属于难题.四、解答题:(本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 已知向量,(1)当,求的值;(2)当,,求向量与的夹角【答案】(1)或 (2)【解析】【分析】(1)根据向量的坐标运算,以及向量垂直的坐标表示即可求解,(2)根据向量平行的坐标关系可求,进而根据向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为向量,,所以,由得,即,即,整理得,解得或,所以或.【小问2详解】因为,,所以,由,可得,解得,所以,,所以,又,所以.18. 若,均为锐角,且.(1)求的值;(2)若,求的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据同角的三角函数基本关系式和二倍角的正切公式即可求解;(2)根据两角差的余弦公式以及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】,均为锐角,且,所以;所以,故;【小问2详解】由于,均为锐角,所以,由于,所以;.19. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角A;(2)若,,求的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得,再由三角形内角性质、诱导公式得,进而确定角的大小;(2)根据余弦定理求c,再应用三角形面积公式求面积即可.小问1详解】因为,结合正弦定理边角关系,所以,整理得,因为,所以,又,所以.【小问2详解】因为,所以,即,解得,所以的面积为.20. 设是边长为4的正三角形,点、、四等分线段(如图所示).(1)求的值;(2)为线段上一点,若,求实数的值;(3)在边的何处时,取得最小值,并求出此最小值.【答案】(1)26 (2) (3)在处时,取得最小值.【解析】【分析】(1)根据向量的线性运算和向量数量积的定义;(2)根据平面向量基本定理即可求解;(3)根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【小问1详解】∵是边长为4的正三角形,点、、四等分线段,∴;【小问2详解】设,又,根据平面向量基本定理解得;【小问3详解】设,,∴,又,∴当时,即在处时,取得最小值.(本题也可以建系来解题)21. 如图,某小区有一块空地,其中AB=50,AC=50,∠BAC=90°,小区物业拟在中间挖一个小池塘,E,F在边BC上(E,F不与B,C重合,且E在B,F之间),且.(1)若,求EF的值;(2)为节省投入资金,小池塘的面积需要尽可能的小.设,试确定的值,使得的面积取得最小值,并求出面积的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)在中,利用余弦定理、正弦定理求得,在中,利用正弦定理结合三角恒等变换可求,即可得结果;(2)利用正弦定理用表示,再结合条件得到,最后根据三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】由题意可得,设,则,在中,由余弦定理,则,即,由正弦定理,可得,即,可得,在中,,,由正弦定理,可得,故.故EF的值.【小问2详解】设,则,由正弦定理,可得,在中,由正弦定理,可得,故的面积,∵,∴,∴,∴,当且仅当,即时,等号成立,故面积的最小值.22. 如图,设中角,,所对的边分别为,,,为边上的中线,已知且,.(1)求边的长度;(2)求的面积;(3)点为上一点,,过点的直线与边,(不含端点)分别交于,.若,求的值.【答案】(1)4 (2) (3)【解析】【分析】(1)根据和正弦定理可得,由余弦定理可得,进而,即可求解;(2)设,根据平面向量的线性运算可得,则结合数量积的运算律和定义可得,由得,化简得,利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解;(3)设,,、.由向量的线性运算可得.结合得,解得,,利用三角形面积公式计算即可求解.【小问1详解】由题意得:,在中,由正弦定理,得,在中,由余弦定理,所以,得,又∵,∴.【小问2详解】设,∵AD为边上的中线,∴,则,,,①整理得,即,得或,由①,得,∴,∴,∴,∴.【小问3详解】由(2)知,,D为BC的中点,则,设,,、.所以,得,又E、G、F三点共线,所以,即.由,得,又,所以,化简得,解得,,∴,,∴.
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