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2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷（含解析）
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这是一份2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( )
A. 0.778×105 B. 7.78×104 C. 77.8×103 D. 778×102
2. 下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5 B. x2⋅x3=x6 C. x3÷x2=x D. (2x2)3=6x6
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. |a|>b C. a+b>0 D. b−a<0
4. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
5. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A. OC//BD B. AD⊥OC
C. △CEF≌△BED D. AF=FD
6. 计算xx−1+2x−11−x的结果为( )
A. −1 B. 1 C. 3xx−1 D. x+1x−1
7. 如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB−BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF//BD，EF与边AD(或边CD)交于点F，EF的长度y(cm)与点E的运动时间x(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 如果二次根式 a+1有意义，那么实数a的取值范围是 ．
10. 因式分解：x(x−3)−x+3= ．
11. 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是______．
12. 如图，在△ABC中，DE//BC，且BD=2AD，若DE=2，则BC边的长为 ．
13. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为 ．
14. 如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC= 3，AC=3.则图中阴影部分的面积是 ．
15. 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/°F
32
50
68
86
104
122
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是______ ．
16. 如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方(从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34).小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b=c+d=17.如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解不等式组：2(x−1)
18. (本小题5.0分)
计算：．
19. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−(2m−3)x+m2+1=0．
(1)若m是方程的一个实数根，求m的值；
(2)若m为负数，判断方程根的情况．
20. (本小题5.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点．
求证：DE//BC，DE=12BC．
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=FE，连接CF．
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N
21. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD=3，tan∠CAB=34时，求AE的长．
22. (本小题5.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B．
(1)求m，k的值；
(2)过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点C，交直线y=x+3于点D．
①当n=2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
成绩(分)
x≤25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5
30
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
b.体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25
c.两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
26.75
26.75
26
本学期
28.50
m
30
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是______；
(3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有______名学生成绩达到优秀；
(4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下：
成绩(分)
x≤25
25
6
8
3
3
4
6
通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25
某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1)；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
25. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
(1)已知∠A=α，求∠D的大小(用含α的式子表示)；
(2)取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A=30°，MF= 7，求⊙O的半径．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,t)，B(m,p)．
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点(不与点C重合)，连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
(1)如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
(2)如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P′和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P′.若图形P与图形P′均存在点在图形Q内部(包括边界)，则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．
(1)如图，点A(1,0)，点B(3,0)．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为3 2的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是：______ ；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P.若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：77800=7.78×104，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
【解析】解：A.x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；
B.x2⋅x3=x5，故本选项不符合题意；
C.x3÷x2=x，故本选项符合题意；
D.(2x2)3=8x6，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方法则是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.由图象可得点A在−2左侧，
∴a<−2，A选项错误，不符合题意．
B.∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|>b，B选项正确，符合题意．
C.∵|a|>b，a<0，
∴−a>b，
∴a+b<0，C选项错误，不符合题意．
D.∵b>a，
∴b−a>0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB=90°，∠OBC=∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OC//BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF=FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立．
故选C．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，以及角的平分线．
6.【答案】A
【解析】解：原式=xx−1−2x−1x−1
=x−2x+1x−1
=−(x−1)x−1
=−1．
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，EF//BD，
∴当0≤x≤4时，y= 2x，
当4
故选：A．
根据运动速度乘以时间，根据勾股定理，可得EF长，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】a≥−1
【解析】解：根据题意知a+1≥0，
解得a≥−1，
故答案为：a≥−1．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
10.【答案】(x−1)(x−3)
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式变形后，提取公因式即可．
【解答】
解：原式=x(x−3)−(x−3)=(x−1)(x−3)，
故答案为(x−1)(x−3)．
11.【答案】15
【解析】
【分析】
由在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，
∴这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是15，
故答案为：15．
12.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD=2AD，
∴ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=13，
∵DE=2，
∴BC=6．
故答案为：6．
由DE//BC可知AD：AB=DE：BC，根据BD=2AD，DE=2，可求出BC的长．
本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行找出线段之间的比例关系是解题关键．
13.【答案】x18+12=x12
【解析】解：设他们这次骑行线路长为xkm，
依题意，可列方程为x18+12=x12，
故答案为：x18+12=x12．
根据“完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时”列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键．
14.【答案】π6
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，∵BC= 3，AC=3，
∴AB= AC2+BC2=2 3，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD=BC= 3，CO=DO，
∴AD=AB−BD=2 3− 3= 3，
在Rt△ABC中，BC=12AB，
∴∠A=30°．
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，∠AOD=60∘，
在Rt△AOD中，
∴OA2=OD2+AD2，
∴AC−OD2=OD2+AD2，
∴3−OD2=OD2+ 32
解得OD=1，
∴S阴影=60π×12360=π6．
故答案为π6．
本题考查切线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用．
首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC，进而由AD=AB−BD可求出AD的长度，利用含30°角的直角三角形的性质可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
15.【答案】−40
【解析】解：通过表格中数据可知华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间满足一次函数关系，
设华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，
得b=3210k+b=50，
解得k=1.8b=32
即y=1.8x+32，
当y=x时，x=1.8x+32，
解得：x=−40．
因此当华氏−40度时，摄氏也是−40度．
故答案为：−40．
设摄氏温度为x(℃)与华氏温度为y(℉)之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解析式，当y=x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
16.【答案】1
【解析】解：如图，
根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是x，x+y，17−y，15，
∴x+x+y+17−y+15=34，
∴x=1；
故答案为1．
根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y，在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，再根据每列和是34，即可求解；
本题考查整式的加减法；能够通过三阶幻方的规律解决四阶幻方，合理的进行分割幻方是解题的关键．
17.【答案】解：2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵m是方程的一个实数根，
∴m2−(2m−3)m+m2+1=0，
整理得，3m=−1，
∴m=−13；
(2)Δ=b2−4ac=［−(2m−3)］2−4(m2+1)=−12m+5，
∵m<0，
∴−12m>0．
∴Δ=−12m+5>0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【解析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
(1)由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
(2)计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
20.【答案】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴CF//AB，CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∴DE=12DF=12BC；
方法二：证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，
∵AM//BC，MN//AC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM=CN，MN=AC，
∵AM//CN，
∴∠M=BND，
∵点 D是AB边的中点，
∴AD=BD，
在△AMD与△BND中，
∠M=∠BND∠ADM=∠BDNAD=BD，
∴△AMD≌△BND(AAS)，
∴AM=BN，DM=DN，
∴DN=12MN，AM=12BC，
∵CE=12AC，
∴DN=CE，
∴四边形DNCE是平行四边形，
∴DE=CN，DE//CN，
∴DE=12BC，DE//BC．
【解析】方法一：由中点可得AD=BD，AE=CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE=∠F，AD=CF，从而有CF//AB，CF=BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF=BC，DF//BC，从而可求证DE=12BC；
方法二：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM=CN，MN=AC，根据全等三角形的性质得到AM=BN，DM=DN，根据平行四边形的性质得到DE=CN，DE//CN，于是得到结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO．
∵AO=BO，
∴AC=BD．
∴▱ABCD为矩形．
(2)解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG=EA．
∵AO=BO，
∴∠CAB=∠ABD．
∵AD=3，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34=ADAB．
∴AB=4．
∴BD= AD2+AB2= 32+42=5，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35．
设AE=EG=x，则BE=4−x，
在△BEG中，∠BGE=90°，
∴sin∠ABD=x4−x=35．
解得：x=32，
∴AE=32．
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35，设AE=EG=x，则BE=4−x，在Rt△BEG中，由三角函数的定义得出x4−x=35，即可得出答案．
22.【答案】解：(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m)，
∴m=1+3=4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,4)，
∴k=1×4=4；
(2)①当n=2时，点P的坐标为(0,2)，
当y=2时，2=4x，解得x=2，
∴点C的坐标为(2,2)，
当y=2时，x+3=2，解得x=−1，
∴点D的坐标为(−1,2)，
∴CD=2−(−1)=3；
②0
②当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则B(−3,0)
当y=n时，n=4x，解得x=4n，
∴点C的坐标为(4n,n)，
当y=n时，x+3=n，解得x=n−3，
∴点D的坐标为(n−3,n)，
当点C在点D的右侧时，
若CD=OB，即4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，
∴当0
若CD=OB，即n−3−4n=3，解得n1=3+ 13，n2=3− 13(舍去)，
∴当n≥3+ 13时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0
(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定B(−3,0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n,n)，D(n−3,n)，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，再结合图象可判断当0
23.【答案】解：(1)成绩在25
；
(3)120；
(4)B；虽然25
解：(1)见答案；
(2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数，
；
故答案为：29.5；
(3)150×2430=120名，
答：本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀；
故答案为：120；
(4)B，理由：虽然25
(1)计算成绩在25
(3)求出成绩为26.5分及以上的人数占抽取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
本题考查了频数分布折线图，平均数，中位数，众数，样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】7.0
【解析】解：(1)如图所示：
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6，
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6，
当y=0时，0=−0.4(x−3)2+5.6，
解得x=7或−1(舍去)，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为7.0米，
故答案为：2，7.0；
(3)当x=3−1.5=1.5时，y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
(1)建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
(3)把x=1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
25.【答案】解：(1)连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF=∠DOE．
∵∠DOE=2∠A，∠A=α，
∴∠DOF=2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD=90°．
∴∠D+∠DOF=90°，
∴∠D=90°−2α；
(2)连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB=90°．
∵M为BE的中点，
∴OM⊥BE，∴OM//AE，
∵∠A=30°，
∴∠MOB=∠A=30°．
∵∠DOF=2∠A=60°，
∴∠MOF=90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM=12OB=12r，OM= 3BM= 32r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2=MF2．
即( 32r)2+r2=( 7)2，解得r=2，
即⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
(1)连接OE，OF，如图，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠DOF=∠DOE.而∠DOE=2∠A，所以∠DOF=2α，再根据切线的性质得∠OFD=90°，从而得到∠D=90°−2α；
(2)连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°.再证明OM//AE得到∠MOB=∠A=30°.而∠DOF=2∠A=60°，所以∠MOF=90°，设⊙O的半径为r，利用含30度角的直角三角形的性质得OM= 3BM= 32r，然后根据勾股定理得到( 32r)2+r2=( 7)2，解方程即可得到⊙O的半径．
26.【答案】解：(1)当t=0时，点A的坐标为(−2,0)，
∵抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,0)，
∴4a+2(a+2)+2=0，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−1)=−12；
②令y=0，则−x2−x+2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，
∵点A(−2,0)，B(m,p)，且p<0，
∴点B(m,p)在x轴的下方，
∴m<−2或m>1．
(2)p
∵t<0，
∴6a+6<0，
∴a<−1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x=−−(a+2)2a=1a+12，
∵a<−1，
∴−1<1a<0，
∴−12<1a+12<12，
∵m
∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离，
∴p
②令y=0，求出抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，由题意可得p<0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
(2)将点A坐标代入函数解析式，通过t<0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】解解：(1)①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCF=45°+45°=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD//CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=FG，
∴G为BF的中点．
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由(1)可知：△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BCF=90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE=CF，
设AD=CD=x，CE=y，
则BE=CF=2x+y，
∵DG=12CF，
∴AG=12y，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2=x2+(x+y)2，
∴AE2=2x2+2xy+y2，BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2，AG2=14y2，
∴2AE2−4AG2=BE2．
【解析】(1)①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS)，得到∴ABE=∠ACF=45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
(2)由(1)知△ABE≌△ACF，可得BE=CF，G为BF的中点仍然成立，设AD=CD=x，CE=y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28.【答案】Q1，Q3
【解析】解：(1)①如图所示：
∵点A(1,0)，点B(3,0)，AB关于y=x的对称图形为A′B′，⊙B半径为3 2，
∴根据轴对称性得：A′(0,1)，B′(0,3)，即点A′，B′在y的正半轴上，
∴A′B′在⊙B和⊙O存在公共部分，
∴Q1，Q3为线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”．
故答案为：Q1，Q3．
②如图所示，若⊙O是线段OA关于直线l：y=x+b的“弱相关图形”，
∵y=x+b与y=x平行，
∴y=x+b与坐标轴的夹角为45°，由点O关于y=x+b对称，
则OO′⊥l，则O′在直线y=−x上，
当b<0时，点A离对称轴直线l：y=x+b较近，如图，当A′在⊙O上时，
设l与x轴交于点D，
依题意，OA′=2，是等腰直角三角形，
∴D的坐标为( 2,0)，代入y=x+b
解得：b=− 2，
当b>0时，点A离对称轴直线y=x+b较远，如图：当A′在⊙O上时，
同理可得DA=DA′，
连接OA′，在中，设DO=a，则，，
，
，
解得：舍去)，
，
，
代入y=x+b，
解得：b= 7−12，
综上所述：．
(2)解：，
，
即C在直线y=x+4上，
如图所示：过点O作于点S，
由y=x+4，令x=0，y=4，
令y=0，x=4，
，
依题意，点C在直线y=x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，
∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，
，
∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点P(2,−2)，则OP=2 2，
又∵点C在直线y=x+4上运动，CO不能与y=x平行，
∴Q点只能接近点S，
∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于，
∴即r的最小值为：，
即．
(1)①根据定义新图形的规律，分别求出对称点的坐标，直线的图形性质，图形结合即可求解；
②分当b>0时和b<0两种情况，结合图形即可求解；
(2)根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．
2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为( )
A. 0.778×105 B. 7.78×104 C. 77.8×103 D. 778×102
2. 下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5 B. x2⋅x3=x6 C. x3÷x2=x D. (2x2)3=6x6
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. |a|>b C. a+b>0 D. b−a<0
4. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
5. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A. OC//BD B. AD⊥OC
C. △CEF≌△BED D. AF=FD
6. 计算xx−1+2x−11−x的结果为( )
A. −1 B. 1 C. 3xx−1 D. x+1x−1
7. 如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB−BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF//BD，EF与边AD(或边CD)交于点F，EF的长度y(cm)与点E的运动时间x(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 如果二次根式 a+1有意义，那么实数a的取值范围是 ．
10. 因式分解：x(x−3)−x+3= ．
11. 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是______．
12. 如图，在△ABC中，DE//BC，且BD=2AD，若DE=2，则BC边的长为 ．
13. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为 ．
14. 如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC= 3，AC=3.则图中阴影部分的面积是 ．
15. 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/°F
32
50
68
86
104
122
根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是______ ．
16. 如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方(从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34).小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a，b，c，d有如图1的位置关系时，均有a+b=c+d=17.如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解不等式组：2(x−1)
18. (本小题5.0分)
计算：．
19. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−(2m−3)x+m2+1=0．
(1)若m是方程的一个实数根，求m的值；
(2)若m为负数，判断方程根的情况．
20. (本小题5.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点．
求证：DE//BC，DE=12BC．
方法一：
证明：如图，延长DE至点F，使得DE=FE，连接CF．
方法二：
证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N
21. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD=3，tan∠CAB=34时，求AE的长．
22. (本小题5.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,m)，与x轴交于点B．
(1)求m，k的值；
(2)过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线，交函数y=kx(x>0)的图象于点C，交直线y=x+3于点D．
①当n=2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
23. (本小题6.0分)
某校九年级共有学生150人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比，小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a.小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
成绩(分)
x≤25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5
30
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
b.体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组：x≤25，25
c.两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期
平均数
中位数
众数
上学期
26.75
26.75
26
本学期
28.50
m
30
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是______；
(3)若成绩为26.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，本学期九年级约有______名学生成绩达到优秀；
(4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数，如下：
成绩(分)
x≤25
25
6
8
3
3
4
6
通过观察、分析，得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中，众数一定出现在25
某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1)；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
25. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
(1)已知∠A=α，求∠D的大小(用含α的式子表示)；
(2)取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A=30°，MF= 7，求⊙O的半径．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,t)，B(m,p)．
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点(不与点C重合)，连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
(1)如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
(2)如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P′和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P′.若图形P与图形P′均存在点在图形Q内部(包括边界)，则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．
(1)如图，点A(1,0)，点B(3,0)．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为3 2的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是：______ ；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P.若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：77800=7.78×104，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.【答案】C
【解析】解：A.x2和x3不能合并，故本选项不符合题意；
B.x2⋅x3=x5，故本选项不符合题意；
C.x3÷x2=x，故本选项符合题意；
D.(2x2)3=8x6，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方法则是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.由图象可得点A在−2左侧，
∴a<−2，A选项错误，不符合题意．
B.∵a到0的距离大于b到0的距离，
∴|a|>b，B选项正确，符合题意．
C.∵|a|>b，a<0，
∴−a>b，
∴a+b<0，C选项错误，不符合题意．
D.∵b>a，
∴b−a>0，D选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB=90°，∠OBC=∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OC//BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF=FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立．
故选C．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，以及角的平分线．
6.【答案】A
【解析】解：原式=xx−1−2x−1x−1
=x−2x+1x−1
=−(x−1)x−1
=−1．
故选：A．
原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，EF//BD，
∴当0≤x≤4时，y= 2x，
当4
故选：A．
根据运动速度乘以时间，根据勾股定理，可得EF长，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清x和y的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y<3，得k=xy<3，因为y是矩形周长的一半，即y>x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x<1，另一边为：y−x>2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x>1，y>3，可作判断．
【解答】
解：设点A(x,y)，
A、设反比例函数解析式为：y=kx(k≠0)，
由图形可知：当x=1时，y<3，
∴k=xy<3，
∵y>x，
∴x<3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，则y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，
∵x=1时，y=2x=2<3，
∴交点A在区域③，故选项B不正确；
C、∵矩形一边为x，则另一边为y−x，
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A(x,y)，
∴x<1，y>3，即矩形1另一边为：y−x>2，
矩形2落在区域④中，x>1，y>3，
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时，矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等，此时两矩形全等，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等，故选项D正确．
故选：D．
9.【答案】a≥−1
【解析】解：根据题意知a+1≥0，
解得a≥−1，
故答案为：a≥−1．
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．
10.【答案】(x−1)(x−3)
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式变形后，提取公因式即可．
【解答】
解：原式=x(x−3)−(x−3)=(x−1)(x−3)，
故答案为(x−1)(x−3)．
11.【答案】15
【解析】
【分析】
由在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：∵在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，
∴这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是15，
故答案为：15．
12.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD=2AD，
∴ADBD=12，
∴ADAB=13，
∴DEBC=13，
∵DE=2，
∴BC=6．
故答案为：6．
由DE//BC可知AD：AB=DE：BC，根据BD=2AD，DE=2，可求出BC的长．
本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行找出线段之间的比例关系是解题关键．
13.【答案】x18+12=x12
【解析】解：设他们这次骑行线路长为xkm，
依题意，可列方程为x18+12=x12，
故答案为：x18+12=x12．
根据“完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时”列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的理解题意是解题的关键．
14.【答案】π6
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，∵BC= 3，AC=3，
∴AB= AC2+BC2=2 3，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD=BC= 3，CO=DO，
∴AD=AB−BD=2 3− 3= 3，
在Rt△ABC中，BC=12AB，
∴∠A=30°．
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，∠AOD=60∘，
在Rt△AOD中，
∴OA2=OD2+AD2，
∴AC−OD2=OD2+AD2，
∴3−OD2=OD2+ 32
解得OD=1，
∴S阴影=60π×12360=π6．
故答案为π6．
本题考查切线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用．
首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC，进而由AD=AB−BD可求出AD的长度，利用含30°角的直角三角形的性质可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
15.【答案】−40
【解析】解：通过表格中数据可知华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间满足一次函数关系，
设华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，
得b=3210k+b=50，
解得k=1.8b=32
即y=1.8x+32，
当y=x时，x=1.8x+32，
解得：x=−40．
因此当华氏−40度时，摄氏也是−40度．
故答案为：−40．
设摄氏温度为x(℃)与华氏温度为y(℉)之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解析式，当y=x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
16.【答案】1
【解析】解：如图，
根据小明的发现，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y，
在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，
在第四列中，四个数分别是x，x+y，17−y，15，
∴x+x+y+17−y+15=34，
∴x=1；
故答案为1．
根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y，在虚线的三阶区域内，2对应右下角的数是15，再根据每列和是34，即可求解；
本题考查整式的加减法；能够通过三阶幻方的规律解决四阶幻方，合理的进行分割幻方是解题的关键．
17.【答案】解：2(x−1)
由②得：x>1，
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵m是方程的一个实数根，
∴m2−(2m−3)m+m2+1=0，
整理得，3m=−1，
∴m=−13；
(2)Δ=b2−4ac=［−(2m−3)］2−4(m2+1)=−12m+5，
∵m<0，
∴−12m>0．
∴Δ=−12m+5>0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【解析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
(1)由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
(2)计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
20.【答案】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD，AE=CE，
在△ADE与△CFE中，
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴CF//AB，CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF=BC，DF//BC，
∴DE=12DF=12BC；
方法二：证明：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，
∵AM//BC，MN//AC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM=CN，MN=AC，
∵AM//CN，
∴∠M=BND，
∵点 D是AB边的中点，
∴AD=BD，
在△AMD与△BND中，
∠M=∠BND∠ADM=∠BDNAD=BD，
∴△AMD≌△BND(AAS)，
∴AM=BN，DM=DN，
∴DN=12MN，AM=12BC，
∵CE=12AC，
∴DN=CE，
∴四边形DNCE是平行四边形，
∴DE=CN，DE//CN，
∴DE=12BC，DE//BC．
【解析】方法一：由中点可得AD=BD，AE=CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE=∠F，AD=CF，从而有CF//AB，CF=BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF=BC，DF//BC，从而可求证DE=12BC；
方法二：如图，过点A作直线AM//BC，过点D作直线MN//AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM=CN，MN=AC，根据全等三角形的性质得到AM=BN，DM=DN，根据平行四边形的性质得到DE=CN，DE//CN，于是得到结论．
本题主要考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2BO．
∵AO=BO，
∴AC=BD．
∴▱ABCD为矩形．
(2)解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的角平分线，
∴EG=EA．
∵AO=BO，
∴∠CAB=∠ABD．
∵AD=3，tan∠CAB=34，
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34=ADAB．
∴AB=4．
∴BD= AD2+AB2= 32+42=5，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35．
设AE=EG=x，则BE=4−x，
在△BEG中，∠BGE=90°，
∴sin∠ABD=x4−x=35．
解得：x=32，
∴AE=32．
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出AC=BD，即可得出结论；
(2)过点E作EG⊥BD于点G，由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4，sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35，设AE=EG=x，则BE=4−x，在Rt△BEG中，由三角函数的定义得出x4−x=35，即可得出答案．
22.【答案】解：(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m)，
∴m=1+3=4，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,4)，
∴k=1×4=4；
(2)①当n=2时，点P的坐标为(0,2)，
当y=2时，2=4x，解得x=2，
∴点C的坐标为(2,2)，
当y=2时，x+3=2，解得x=−1，
∴点D的坐标为(−1,2)，
∴CD=2−(−1)=3；
②0
②当y=0时，x+3=0，解得x=−3，则B(−3,0)
当y=n时，n=4x，解得x=4n，
∴点C的坐标为(4n,n)，
当y=n时，x+3=n，解得x=n−3，
∴点D的坐标为(n−3,n)，
当点C在点D的右侧时，
若CD=OB，即4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，
∴当0
若CD=OB，即n−3−4n=3，解得n1=3+ 13，n2=3− 13(舍去)，
∴当n≥3+ 13时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0
(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定B(−3,0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n,n)，D(n−3,n)，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到4n−(n−3)=3，解得n1=2，n2=−2(舍去)，再结合图象可判断当0
23.【答案】解：(1)成绩在25
；
(3)120；
(4)B；虽然25
解：(1)见答案；
(2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数，
；
故答案为：29.5；
(3)150×2430=120名，
答：本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀；
故答案为：120；
(4)B，理由：虽然25
(1)计算成绩在25
(3)求出成绩为26.5分及以上的人数占抽取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
本题考查了频数分布折线图，平均数，中位数，众数，样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】7.0
【解析】解：(1)如图所示：
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米；
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6，
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6，
当y=0时，0=−0.4(x−3)2+5.6，
解得x=7或−1(舍去)，
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为7.0米，
故答案为：2，7.0；
(3)当x=3−1.5=1.5时，y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5，
答：游船没有被喷泉淋到的危险．
(1)建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标，设二次函数的顶点式，求解即可；
(3)把x=1.5代入关系式，计算出y的值与4.5比较即可．
本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
25.【答案】解：(1)连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF=∠DOE．
∵∠DOE=2∠A，∠A=α，
∴∠DOF=2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD=90°．
∴∠D+∠DOF=90°，
∴∠D=90°−2α；
(2)连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB=90°．
∵M为BE的中点，
∴OM⊥BE，∴OM//AE，
∵∠A=30°，
∴∠MOB=∠A=30°．
∵∠DOF=2∠A=60°，
∴∠MOF=90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM=12OB=12r，OM= 3BM= 32r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2=MF2．
即( 32r)2+r2=( 7)2，解得r=2，
即⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理．
(1)连接OE，OF，如图，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠DOF=∠DOE.而∠DOE=2∠A，所以∠DOF=2α，再根据切线的性质得∠OFD=90°，从而得到∠D=90°−2α；
(2)连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°.再证明OM//AE得到∠MOB=∠A=30°.而∠DOF=2∠A=60°，所以∠MOF=90°，设⊙O的半径为r，利用含30度角的直角三角形的性质得OM= 3BM= 32r，然后根据勾股定理得到( 32r)2+r2=( 7)2，解方程即可得到⊙O的半径．
26.【答案】解：(1)当t=0时，点A的坐标为(−2,0)，
∵抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,0)，
∴4a+2(a+2)+2=0，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−1)=−12；
②令y=0，则−x2−x+2=0，
解得：x1=1，x2=−2，
∴抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，
∵点A(−2,0)，B(m,p)，且p<0，
∴点B(m,p)在x轴的下方，
∴m<−2或m>1．
(2)p
∵t<0，
∴6a+6<0，
∴a<−1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x=−−(a+2)2a=1a+12，
∵a<−1，
∴−1<1a<0，
∴−12<1a+12<12，
∵m
∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离，
∴p
②令y=0，求出抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0)，由题意可得p<0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
(2)将点A坐标代入函数解析式，通过t<0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】解解：(1)①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCF=45°+45°=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AD//CF，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BG=FG，
∴G为BF的中点．
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由(1)可知：△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BCF=90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE=CF，
设AD=CD=x，CE=y，
则BE=CF=2x+y，
∵DG=12CF，
∴AG=12y，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2=x2+(x+y)2，
∴AE2=2x2+2xy+y2，BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2，AG2=14y2，
∴2AE2−4AG2=BE2．
【解析】(1)①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS)，得到∴ABE=∠ACF=45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
(2)由(1)知△ABE≌△ACF，可得BE=CF，G为BF的中点仍然成立，设AD=CD=x，CE=y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28.【答案】Q1，Q3
【解析】解：(1)①如图所示：
∵点A(1,0)，点B(3,0)，AB关于y=x的对称图形为A′B′，⊙B半径为3 2，
∴根据轴对称性得：A′(0,1)，B′(0,3)，即点A′，B′在y的正半轴上，
∴A′B′在⊙B和⊙O存在公共部分，
∴Q1，Q3为线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”．
故答案为：Q1，Q3．
②如图所示，若⊙O是线段OA关于直线l：y=x+b的“弱相关图形”，
∵y=x+b与y=x平行，
∴y=x+b与坐标轴的夹角为45°，由点O关于y=x+b对称，
则OO′⊥l，则O′在直线y=−x上，
当b<0时，点A离对称轴直线l：y=x+b较近，如图，当A′在⊙O上时，
设l与x轴交于点D，
依题意，OA′=2，是等腰直角三角形，
∴D的坐标为( 2,0)，代入y=x+b
解得：b=− 2，
当b>0时，点A离对称轴直线y=x+b较远，如图：当A′在⊙O上时，
同理可得DA=DA′，
连接OA′，在中，设DO=a，则，，
，
，
解得：舍去)，
，
，
代入y=x+b，
解得：b= 7−12，
综上所述：．
(2)解：，
，
即C在直线y=x+4上，
如图所示：过点O作于点S，
由y=x+4，令x=0，y=4，
令y=0，x=4，
，
依题意，点C在直线y=x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，
∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，
，
∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点P(2,−2)，则OP=2 2，
又∵点C在直线y=x+4上运动，CO不能与y=x平行，
∴Q点只能接近点S，
∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于，
∴即r的最小值为：，
即．
(1)①根据定义新图形的规律，分别求出对称点的坐标，直线的图形性质，图形结合即可求解；
②分当b>0时和b<0两种情况，结合图形即可求解；
(2)根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．
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