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2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷(含解析)
展开2023年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学零模试卷
一、选择题(本大题共8小题,共16.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 今年“五一”假期,我市某主题公园共接待游客77800人次,将77800用科学记数法表示为( )
A. 0.778×105 B. 7.78×104 C. 77.8×103 D. 778×102
2. 下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5 B. x2⋅x3=x6 C. x3÷x2=x D. (2x2)3=6x6
3. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. |a|>b C. a+b>0 D. b−a<0
4. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放,使得BA//EF,则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
5. 如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是( )
A. OC//BD B. AD⊥OC
C. △CEF≌△BED D. AF=FD
6. 计算xx−1+2x−11−x的结果为( )
A. −1 B. 1 C. 3xx−1 D. x+1x−1
7. 如图,在正方形ABCD中,AB=4cm,动点E从点A出发,以1cm/秒的速度沿折线AB−BC的路径运动,到点C停止运动.过点E作EF//BD,EF与边AD(或边CD)交于点F,EF的长度y(cm)与点E的运动时间x(秒)的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y.定义(x,y)为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线x=1,y=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是( )
A. 点A的横坐标有可能大于3
B. 矩形1是正方形时,点A位于区域②
C. 当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小
D. 当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等
二、填空题(本大题共8小题,共16.0分)
9. 如果二次根式 a+1有意义,那么实数a的取值范围是 .
10. 因式分解:x(x−3)−x+3= .
11. 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张,则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是______.
12. 如图,在△ABC中,DE//BC,且BD=2AD,若DE=2,则BC边的长为 .
13. 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设计好的同一条线路同时出发,小华每小时骑行18km,小明每小时骑行12km,他们完成全部行程所用的时间,小明比小华多半小时.设他们这次骑行线路长为xkm,依题意,可列方程为 .
14. 如图,O为Rt△ABC直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E,已知BC= 3,AC=3.则图中阴影部分的面积是 .
15. 以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表
摄氏温度值/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度值/°F
32
50
68
86
104
122
根据表格信息,当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时,这个值是______ .
16. 如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方.其背面有方框四行十六格,为四阶幻方(从1到16,一共十六个数目,它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34).小明探究后发现,这个四阶幻方中的数满足下面规律:在四阶幻方中,当数a,b,c,d有如图1的位置关系时,均有a+b=c+d=17.如图2,已知此幻方中的一些数,则x的值为 .
三、计算题(本大题共1小题,共5.0分)
17. 解不等式组:2(x−1)
18. (本小题5.0分)
计算:.
19. (本小题5.0分)
关于x的一元二次方程x2−(2m−3)x+m2+1=0.
(1)若m是方程的一个实数根,求m的值;
(2)若m为负数,判断方程根的情况.
20. (本小题5.0分)
下面是证明三角形中位线定理的两种方法,选择其中一种,完成证明过程.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
已知:如图,在△ABC中,点 D、E分别是AB、AC边的中点.
求证:DE//BC,DE=12BC.
方法一:
证明:如图,延长DE至点F,使得DE=FE,连接CF.
方法二:
证明:如图,过点A作直线AM//BC,过点D作直线MN//AC交直线AM于M,交BC于N
21. (本小题5.0分)
如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=3,tan∠CAB=34时,求AE的长.
22. (本小题5.0分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+3与函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,m),与x轴交于点B.
(1)求m,k的值;
(2)过动点P(0,n)(n>0)作平行于x轴的直线,交函数y=kx(x>0)的图象于点C,交直线y=x+3于点D.
①当n=2时,求线段CD的长;
②若CD≥OB,结合函数的图象,直接写出n的取值范围.
23. (本小题6.0分)
某校九年级共有学生150人,为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况,从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩,并调取该30名学生上学期的体育测试成绩进行对比,小元对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时,不小心污染了统计表:
成绩(分)
x≤25
25.5
26
26.5
27
27.5
28
28.5
29
29.5
30
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
b.体育测试成绩的频数分布折线图如下(数据分组:x≤25,25
c.两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下:
学期
平均数
中位数
众数
上学期
26.75
26.75
26
本学期
28.50
m
30
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请补全折线统计图,并标明数据;
(2)请完善c中的统计表,m的值是______;
(3)若成绩为26.5分及以上为优秀,根据以上信息估计,本学期九年级约有______名学生成绩达到优秀;
(4)小元统计了本班上学期体育测试成绩各分数段人数,如下:
成绩(分)
x≤25
25
6
8
3
3
4
6
通过观察、分析,得出这样的结论“在上学期的体育测试成绩中,众数一定出现在25
某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,水柱从垂直于湖面的水枪喷出,水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,在距水枪水平距离为d米的地点,水柱距离湖面高度为h米.
d(米)
0
1
2
3
4
…
h(米)
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
请解决以下问题:
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系,根据已知数据描点,并用平滑的曲线连接.
(2)请结合表中所给数据或所画图象,估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米(精确到0.1);
(3)公园增设了新的游玩项目,购置了宽度3米,顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船,游船从喷泉正下方通过,别有一番趣味,请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险.
25. (本小题6.0分)
如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.
(1)已知∠A=α,求∠D的大小(用含α的式子表示);
(2)取BE的中点M,连接MF,请补全图形;若∠A=30°,MF= 7,求⊙O的半径.
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,t),B(m,p).
(1)若t=0,
①求此抛物线的对称轴;
②当p
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点A作BC的垂线AD,垂足为D,E为射线DC上一动点(不与点C重合),连接AE,以点A为中心,将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF,连接BF,与直线AD交于点G.
(1)如图1,当点E在线段CD上时,
①依题意补全图形;
②求证:点G为BF的中点.
(2)如图2,当点E在线段DC的延长线上时,用等式表示AE,BE,AG之间的数量关系,并证明.
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中,对于图形P,图形P′和直线l给出如下定义:图形P关于直线l的对称图形为P′.若图形P与图形P′均存在点在图形Q内部(包括边界),则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”.
(1)如图,点A(1,0),点B(3,0).
①已知图形Q1是半径为2的⊙O,Q2是半径为1的⊙A,Q3是半径为3 2的⊙B,在Q1,Q2,Q3中,线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是:______ ;
②已知⊙O的半径为2,若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”,求b的取值范围;
(2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内,有一个半径为2的圆P.若存在点,使得对于任意过点C的直线l,有圆P,满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”,直接写出r的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:77800=7.78×104,
故选:B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.【答案】C
【解析】解:A.x2和x3不能合并,故本选项不符合题意;
B.x2⋅x3=x5,故本选项不符合题意;
C.x3÷x2=x,故本选项符合题意;
D.(2x2)3=8x6,故本选项不符合题意;
故选:C.
根据合并同类项法则,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,幂的乘方和积的乘方进行计算,再得出选项即可.
本题考查了合并同类项法则,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,幂的乘方和积的乘方等知识点,能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方法则是解此题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:A.由图象可得点A在−2左侧,
∴a<−2,A选项错误,不符合题意.
B.∵a到0的距离大于b到0的距离,
∴|a|>b,B选项正确,符合题意.
C.∵|a|>b,a<0,
∴−a>b,
∴a+b<0,C选项错误,不符合题意.
D.∵b>a,
∴b−a>0,D选项错误,不符合题意.
故选:B.
根据图象逐项判断对错.
本题考查数轴与绝对值,解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义.
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识,解题时注意:两直线平行,内错角相等.
依据AB//EF,即可得∠FCA=∠A=30°,利用三角形内角和和邻补角,即可得到∠AOF=75°.
【解答】
解:∵BA//EF,∠A=30°,
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°,
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°,
∵∠F=∠E=45°,
∴∠COF=180°−45°−30°=105°,
∴∠AOF=75°.
故选A.
5.【答案】C
【解析】解:∵AB是⊙O的直径,BC平分∠ABD,
∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,
∴AD⊥BD,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠DBC=∠OCB,
∴OC//BD,选项A成立;
∴AD⊥OC,选项B成立;
∴AF=FD,选项D成立;
∵△CEF和△BED中,没有相等的边,
∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立.
故选C.
本题主要考查圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,平行线的性质,以及角的平分线.
6.【答案】A
【解析】解:原式=xx−1−2x−1x−1
=x−2x+1x−1
=−(x−1)x−1
=−1.
故选:A.
原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可求出值.
此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,EF//BD,
∴当0≤x≤4时,y= 2x,
当4
故选:A.
根据运动速度乘以时间,根据勾股定理,可得EF长,可得答案.
本题考查了动点函数图象,利用勾股定理是解题关键.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义,有难度,理清x和y的意义是关键,并注意利用数形结合的思想解决问题.
A、根据反比例函数k一定,并根据图形得:当x=1时,y<3,得k=xy<3,因为y是矩形周长的一半,即y>x,可判断点A的横坐标不可能大于3;
B、根据正方形边长相等得:y=2x,得点A是直线y=2x与双曲线的交点,画图,如图2,交点A在区域③,可作判断;
C、先表示矩形面积S=x(y−x)=xy−x2=k−x2,当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,矩形1的面积会越来越大,可作判断;
D、当点A位于区域①,得x<1,另一边为:y−x>2,矩形2的坐标的对应点落在区域④中得:x>1,y>3,可作判断.
【解答】
解:设点A(x,y),
A、设反比例函数解析式为:y=kx(k≠0),
由图形可知:当x=1时,y<3,
∴k=xy<3,
∵y>x,
∴x<3,即点A的横坐标不可能大于3,故选项A不正确;
B、当矩形1为正方形时,边长为x,则y=2x,
则点A是直线y=2x与双曲线的交点,如图2,
∵x=1时,y=2x=2<3,
∴交点A在区域③,故选项B不正确;
C、∵矩形一边为x,则另一边为y−x,
∴S=x(y−x)=xy−x2=k−x2,
∵当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,
∴矩形1的面积会越来越大,故选项C不正确;
D、当点A位于区域①时,
∵点A(x,y),
∴x<1,y>3,即矩形1另一边为:y−x>2,
矩形2落在区域④中,x>1,y>3,
则矩形1中的x和矩形2中的y−x相等时,矩形1的另一边y−x可以和矩形2的一边x相等,此时两矩形全等,
∴当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等,故选项D正确.
故选:D.
9.【答案】a≥−1
【解析】解:根据题意知a+1≥0,
解得a≥−1,
故答案为:a≥−1.
根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得.
本题主要考查二次根式有意义的条件,解题的关键是掌握二次根式的双重非负性.
10.【答案】(x−1)(x−3)
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−提公因式法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
原式变形后,提取公因式即可.
【解答】
解:原式=x(x−3)−(x−3)=(x−1)(x−3),
故答案为(x−1)(x−3).
11.【答案】15
【解析】
【分析】
由在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字,利用概率公式计算可得.
本题考查了统计与概率中概率的求法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
【解答】
解:∵在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字,
∴这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是15,
故答案为:15.
12.【答案】6
【解析】解:∵DE//BC,
∴ADAB=DEBC,
∵BD=2AD,
∴ADBD=12,
∴ADAB=13,
∴DEBC=13,
∵DE=2,
∴BC=6.
故答案为:6.
由DE//BC可知AD:AB=DE:BC,根据BD=2AD,DE=2,可求出BC的长.
本题主要考查平行线分线段成比例,根据平行找出线段之间的比例关系是解题关键.
13.【答案】x18+12=x12
【解析】解:设他们这次骑行线路长为xkm,
依题意,可列方程为x18+12=x12,
故答案为:x18+12=x12.
根据“完成全部行程所用的时间,小明比小华多半小时”列出方程即可.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确的理解题意是解题的关键.
14.【答案】π6
【解析】解:如图:
在Rt△ABC中,∵BC= 3,AC=3,
∴AB= AC2+BC2=2 3,
∵BC⊥OC,
∴BC是圆的切线,
∵⊙O与斜边AB相切于点D,
∴BD=BC= 3,CO=DO,
∴AD=AB−BD=2 3− 3= 3,
在Rt△ABC中,BC=12AB,
∴∠A=30°.
∵⊙O与斜边AB相切于点D,
∴OD⊥AB,
∴∠ADO=90°,∠AOD=60∘,
在Rt△AOD中,
∴OA2=OD2+AD2,
∴AC−OD2=OD2+AD2,
∴3−OD2=OD2+ 32
解得OD=1,
∴S阴影=60π×12360=π6.
故答案为π6.
本题考查切线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用.
首先利用勾股定理求出AB的长,再证明BD=BC,进而由AD=AB−BD可求出AD的长度,利用含30°角的直角三角形的性质可求出∠A的度数,则圆心角∠DOA的度数可求出,在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长,最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积.
15.【答案】−40
【解析】解:通过表格中数据可知华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间满足一次函数关系,
设华氏温度为y(℉)与摄氏温度为x(℃)之间的函数关系式为y=kx+b,由题意,
得b=3210k+b=50,
解得k=1.8b=32
即y=1.8x+32,
当y=x时,x=1.8x+32,
解得:x=−40.
因此当华氏−40度时,摄氏也是−40度.
故答案为:−40.
设摄氏温度为x(℃)与华氏温度为y(℉)之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法求出其解析式,当y=x时,代入解析式求出x的值就可以得出结论.
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用,由函数值求自变量的值的运用,一元一次方程的解法的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
16.【答案】1
【解析】解:如图,
根据小明的发现,在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y,
在虚线的三阶区域内,2对应右下角的数是15,
在第四列中,四个数分别是x,x+y,17−y,15,
∴x+x+y+17−y+15=34,
∴x=1;
故答案为1.
根据小明的发现,将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究,右图中给出数据,在实线的三阶区域内有y右下角对应的是17−y,在虚线的三阶区域内,2对应右下角的数是15,再根据每列和是34,即可求解;
本题考查整式的加减法;能够通过三阶幻方的规律解决四阶幻方,合理的进行分割幻方是解题的关键.
17.【答案】解:2(x−1)
由②得:x>1,
则不等式组的解集为1
此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键.
18.【答案】解:
.
【解析】根据负整数指数幂,零次幂,化简绝对值,特殊角的三角函数值进行计算即可求解.
本题考查了实数的混合运算,掌握负整数指数幂,零次幂,化简绝对值,特殊角的三角函数值是解题的关键.
19.【答案】解:(1)∵m是方程的一个实数根,
∴m2−(2m−3)m+m2+1=0,
整理得,3m=−1,
∴m=−13;
(2)Δ=b2−4ac=[−(2m−3)]2−4(m2+1)=−12m+5,
∵m<0,
∴−12m>0.
∴Δ=−12m+5>0.
∴此方程有两个不相等的实数根.
【解析】本题主要考查根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.
(1)由方程根的定义,代入可得到关于m的方程,则可求得m的值;
(2)计算方程根的判别式,判断判别式的符号即可.
20.【答案】证明:方法一:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴AD=BD,AE=CE,
在△ADE与△CFE中,
AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴∠ADE=∠F,AD=CF,
∴CF//AB,CF=BD,
∴四边形BCFD是平行四边形,
∴DF=BC,DF//BC,
∴DE=12DF=12BC;
方法二:证明:如图,过点A作直线AM//BC,过点D作直线MN//AC交直线AM于M,交BC于N,
∵AM//BC,MN//AC,
∴四边形AMND是平行四边形,
∴AM=CN,MN=AC,
∵AM//CN,
∴∠M=BND,
∵点 D是AB边的中点,
∴AD=BD,
在△AMD与△BND中,
∠M=∠BND∠ADM=∠BDNAD=BD,
∴△AMD≌△BND(AAS),
∴AM=BN,DM=DN,
∴DN=12MN,AM=12BC,
∵CE=12AC,
∴DN=CE,
∴四边形DNCE是平行四边形,
∴DE=CN,DE//CN,
∴DE=12BC,DE//BC.
【解析】方法一:由中点可得AD=BD,AE=CE,利用SAS可证得△ADE≌△CFE,则有∠ADE=∠F,AD=CF,从而有CF//AB,CF=BD,可判定四边形BCFD是平行四边形,即有DF=BC,DF//BC,从而可求证DE=12BC;
方法二:如图,过点A作直线AM//BC,过点D作直线MN//AC交直线AM于M,交BC于N,根据平行四边形的性质得到AM=CN,MN=AC,根据全等三角形的性质得到AM=BN,DM=DN,根据平行四边形的性质得到DE=CN,DE//CN,于是得到结论.
本题主要考查三角形的中位线定理,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定和性质,解答的关键是作出正确的辅助线.
21.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,BD=2BO.
∵AO=BO,
∴AC=BD.
∴▱ABCD为矩形.
(2)解:过点E作EG⊥BD于点G,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴EA⊥AD,
∵DE为∠ADB的角平分线,
∴EG=EA.
∵AO=BO,
∴∠CAB=∠ABD.
∵AD=3,tan∠CAB=34,
∴tan∠CAB=tan∠ABD=34=ADAB.
∴AB=4.
∴BD= AD2+AB2= 32+42=5,sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35.
设AE=EG=x,则BE=4−x,
在△BEG中,∠BGE=90°,
∴sin∠ABD=x4−x=35.
解得:x=32,
∴AE=32.
【解析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.
(1)由平行四边形的性质和已知条件得出AC=BD,即可得出结论;
(2)过点E作EG⊥BD于点G,由角平分线的性质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4,sin∠CAB=sin∠ABD=ADBD=35,设AE=EG=x,则BE=4−x,在Rt△BEG中,由三角函数的定义得出x4−x=35,即可得出答案.
22.【答案】解:(1)∵直线y=x+3经过点A(1,m),
∴m=1+3=4,
∵反比例函数y=kx的图象经过点A(1,4),
∴k=1×4=4;
(2)①当n=2时,点P的坐标为(0,2),
当y=2时,2=4x,解得x=2,
∴点C的坐标为(2,2),
当y=2时,x+3=2,解得x=−1,
∴点D的坐标为(−1,2),
∴CD=2−(−1)=3;
②0
②当y=0时,x+3=0,解得x=−3,则B(−3,0)
当y=n时,n=4x,解得x=4n,
∴点C的坐标为(4n,n),
当y=n时,x+3=n,解得x=n−3,
∴点D的坐标为(n−3,n),
当点C在点D的右侧时,
若CD=OB,即4n−(n−3)=3,解得n1=2,n2=−2(舍去),
∴当0
若CD=OB,即n−3−4n=3,解得n1=3+ 13,n2=3− 13(舍去),
∴当n≥3+ 13时,CD≥OB,
综上所述,n的取值范围为0
(2)①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标,然后求两横坐标之差得到线段CD的长;
②先确定B(−3,0),由于C、D的纵坐标都为n,根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C(4n,n),D(n−3,n),讨论:当点C在点D的右侧时,先利用CD=OB得到4n−(n−3)=3,解得n1=2,n2=−2(舍去),再结合图象可判断当0
23.【答案】解:(1)成绩在25
;
(3)120;
(4)B;虽然25
解:(1)见答案;
(2)∵中位数为第15个和第16个数据的平均数,
;
故答案为:29.5;
(3)150×2430=120名,
答:本学期九年级约有120名学生成绩达到优秀;
故答案为:120;
(4)B,理由:虽然25
(1)计算成绩在25
(3)求出成绩为26.5分及以上的人数占抽取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论;
(4)根据众数的定义即可得到结论.
本题考查了频数分布折线图,平均数,中位数,众数,样本估计总体,正确的理解题意是解题的关键.
24.【答案】7.0
【解析】解:(1)如图所示:
(2)由图象可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米;
根据图象设二次函数的解析式为y=a(x−3)2+5.6,
将(0,2)代入y=a(x−3)2+5.6得a=−0.4,
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−3)2+5.6,
当y=0时,0=−0.4(x−3)2+5.6,
解得x=7或−1(舍去),
所以喷泉的落水点距水枪的水平距离约为7.0米,
故答案为:2,7.0;
(3)当x=3−1.5=1.5时,y=−0.4×2.25+5.6=4.7>4.5,
答:游船没有被喷泉淋到的危险.
(1)建立坐标系,描点、用平滑的曲线连接即可;
(2)观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的坐标,设二次函数的顶点式,求解即可;
(3)把x=1.5代入关系式,计算出y的值与4.5比较即可.
本题考查了二次函数喷泉的应用,二次函数解析式,二次函数图象的平移.解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型.
25.【答案】解:(1)连接OE,OF,如图,
∵EF⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴∠DOF=∠DOE.
∵∠DOE=2∠A,∠A=α,
∴∠DOF=2α,
∵FD为⊙O的切线,
∴OF⊥FD.
∴∠OFD=90°.
∴∠D+∠DOF=90°,
∴∠D=90°−2α;
(2)连接OM,如图,
∵AB为⊙O的直径,
∴O为AB中点,∠AEB=90°.
∵M为BE的中点,
∴OM⊥BE,∴OM//AE,
∵∠A=30°,
∴∠MOB=∠A=30°.
∵∠DOF=2∠A=60°,
∴∠MOF=90°,
设⊙O的半径为r,
在Rt△OMB中,BM=12OB=12r,OM= 3BM= 32r,
在Rt△OMF中,OM2+OF2=MF2.
即( 32r)2+r2=( 7)2,解得r=2,
即⊙O的半径为2.
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理和垂径定理.
(1)连接OE,OF,如图,利用等腰三角形三线合一的性质得到∠DOF=∠DOE.而∠DOE=2∠A,所以∠DOF=2α,再根据切线的性质得∠OFD=90°,从而得到∠D=90°−2α;
(2)连接OM,如图,利用圆周角定理得到∠AEB=90°.再证明OM//AE得到∠MOB=∠A=30°.而∠DOF=2∠A=60°,所以∠MOF=90°,设⊙O的半径为r,利用含30度角的直角三角形的性质得OM= 3BM= 32r,然后根据勾股定理得到( 32r)2+r2=( 7)2,解方程即可得到⊙O的半径.
26.【答案】解:(1)当t=0时,点A的坐标为(−2,0),
∵抛物线y=ax2−(a+2)x+2经过点A(−2,0),
∴4a+2(a+2)+2=0,
∴a=−1,
∴抛物线的解析式为y=−x2−x+2,
∴抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−1)=−12;
②令y=0,则−x2−x+2=0,
解得:x1=1,x2=−2,
∴抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0),
∵点A(−2,0),B(m,p),且p<0,
∴点B(m,p)在x轴的下方,
∴m<−2或m>1.
(2)p 将(−2,t)代入y=ax2−(a+2)x+2得t=4a+2(a+2)+2=6a+6,
∵t<0,
∴6a+6<0,
∴a<−1,
∴抛物线开口向下,
∵抛物线对称轴为直线x=−−(a+2)2a=1a+12,
∵a<−1,
∴−1<1a<0,
∴−12<1a+12<12,
∵m
∴点B(m,p)到对称轴的距离大于点C(n,q)到对称轴的距离,
∴p 【解析】(1)①当t=0时,点A的坐标为(−2,0),将其代入函数解析式中解得a=−1,则函数解析式为抛物线的解析式为y=−x2−x+2,再根据求对称轴的公式x=−b2a即可求解;
②令y=0,求出抛物线与x轴交于(−2,0)和(1,0),由题意可得p<0,则点B在x轴的下方,以此即可解答;
(2)将点A坐标代入函数解析式,通过t<0可得a的取值范围,从而可得抛物线开口方向及对称轴,根据点B,C到对称轴的距离大小关系求解.
本题考查二次函数的综合应用,解题关键是掌握二次函数的性质,掌握二次函数与方程及不等式的关系.
27.【答案】解解:(1)①如图1:
②如图,连接CF,
∵∠BAC=∠EAF=90°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF=45°,
∵∠ACB=45°,
∴∠BCF=45°+45°=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴AD//CF,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∴BG=FG,
∴G为BF的中点.
(2)2AE2−4AG2=BE2.理由如下:
如图2,连接CF,
由(1)可知:△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠BCF=90°,G为BF的中点仍然成立,
且BE=CF,
设AD=CD=x,CE=y,
则BE=CF=2x+y,
∵DG=12CF,
∴AG=12y,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得:AE2=x2+(x+y)2,
∴AE2=2x2+2xy+y2,BE2=(2x+y)2=4x2+4xy+y2,AG2=14y2,
∴2AE2−4AG2=BE2.
【解析】(1)①根据题意画图即可,②由条件可证△ABE≌△ACF(SAS),得到∴ABE=∠ACF=45°,从而有CF⊥BC,再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点;
(2)由(1)知△ABE≌△ACF,可得BE=CF,G为BF的中点仍然成立,设AD=CD=x,CE=y,表示出AE,BE,AG即可发现它们之间的数量关系.
本题主要考查了三角形全等的判定与性质,等腰三角形的性质,以及勾股定理等知识,表示出AE,BE,AG的长度是解决问题的关键.
28.【答案】Q1,Q3
【解析】解:(1)①如图所示:
∵点A(1,0),点B(3,0),AB关于y=x的对称图形为A′B′,⊙B半径为3 2,
∴根据轴对称性得:A′(0,1),B′(0,3),即点A′,B′在y的正半轴上,
∴A′B′在⊙B和⊙O存在公共部分,
∴Q1,Q3为线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”.
故答案为:Q1,Q3.
②如图所示,若⊙O是线段OA关于直线l:y=x+b的“弱相关图形”,
∵y=x+b与y=x平行,
∴y=x+b与坐标轴的夹角为45°,由点O关于y=x+b对称,
则OO′⊥l,则O′在直线y=−x上,
当b<0时,点A离对称轴直线l:y=x+b较近,如图,当A′在⊙O上时,
设l与x轴交于点D,
依题意,OA′=2,是等腰直角三角形,
∴D的坐标为( 2,0),代入y=x+b
解得:b=− 2,
当b>0时,点A离对称轴直线y=x+b较远,如图:当A′在⊙O上时,
同理可得DA=DA′,
连接OA′,在中,设DO=a,则,,
,
,
解得:舍去),
,
,
代入y=x+b,
解得:b= 7−12,
综上所述:.
(2)解:,
,
即C在直线y=x+4上,
如图所示:过点O作于点S,
由y=x+4,令x=0,y=4,
令y=0,x=4,
,
依题意,点C在直线y=x+4上运动,过点C的直线为对称轴,将⊙Q与⊙P对称,
∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”,
,
∴当⊙O与坐标轴相切时,r取得最小值,
此时点P(2,−2),则OP=2 2,
又∵点C在直线y=x+4上运动,CO不能与y=x平行,
∴Q点只能接近点S,
∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于,
∴即r的最小值为:,
即.
(1)①根据定义新图形的规律,分别求出对称点的坐标,直线的图形性质,图形结合即可求解;
②分当b>0时和b<0两种情况,结合图形即可求解;
(2)根据题意,只要找到r的最小值即可求解.
本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称,圆与直线的关系,掌握对称的性质,几何图形变换的规律,结合点坐标,线段长度关系是解题的关键.
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