2023年广东省东莞市东华初级中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市东华初级中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法中正确的是(    )

A. 不是单项式 B. 的系数是
C. 的次数是 D. 多项式的次数是

4.  如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度单位：与注水时间单位：的函数图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知反比例函数，则下列描述正确的是(    )

A. 图象位于第一、三象限 B. 随的增大而增大
C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 图象必经过点

6.  如图，把绕点逆时针旋转得到，点恰好落在斜边上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知方程有两个不相等的实数根，则的取值(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

8.  如图，在中，，是角平分线，且，，点为中点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若点与点关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的有
；；；；(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  ______ ．

13.  类比因式分解法，写出一个以为未知数，以和为根的一元二次方程______ ．

14.  已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面展开图的面积是______．

15.  如图，菱形的边长为，；作于点，以为一边，做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使依此类推，这样做的第个菱形的边的长是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，．

尺规作图：作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，延长至点，使，连接求证：，且．

18.  本小题分
为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：的一组数据，将所得数据分为四组：；：；：；：，并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次一共抽样调查了______名学生．
求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数．
将条形统计图补充完整．
若该校共有名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．

19.  本小题分
如图，，相交于点，且，延长到，延长到，，连接，求证：．

20.  本小题分
为深入贯彻落实习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某单位计划购买甲、乙两种树苗开展义务植树活动若购买棵甲树苗和棵乙树苗需花费元，若购买甲树苗和乙树苗各棵，则需花费元．
求甲、乙两种树苗每棵分别为多少元；
为提升绿化效果，单位决定购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则最少购买多少棵甲树苗？

21.  本小题分
如图所示，和均为正三角形，、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为______ ， ______ ；
如图所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数．
 

22.  本小题分
如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是外一点，在直线上，连接，，，且满足．
求证：是的切线；
证明：；
若，，求的长．
 

23.  本小题分
已知抛物线经过、两点，与轴交于点．
求抛物线及直线的解析式；
如图，点是直线上方抛物线上的一动点，连接交线段于点，当的值最大时，求点的坐标及最大值；
如图，将直线绕点顺时针旋转，与直线交于点，与抛物线交于第四象限内一点，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义进行计算即可．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：是单项式，故此选项不符合题意；
B.的系数是，故此选项符合题意；
C.的次数是，故此选项不符合题意；
D.多项式的次数是，故此选项不符合题意．
故选：．
根据单项式和多项式的概念逐一求解可得．
本题考查单项式与多项式的概念．解题的关键是正确理解单项式与多项式．
 

4.【答案】 

【解析】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为，故选项A、不合题意；
当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意，选项D不合题意．
故选：．
根据注水情况分析即可得到函数的图象．
本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够判断出函数随自变量的增大，是增大还是减小的，是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故选项A、不符合题意；
当时，则，
函数图象经过点，图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项C符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，
，，
，
故选：．
利用旋转的性质得出，，进而利用直角三角形的两锐角互余得出的度数．
此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是角平分线，
，，
根据勾股定理可得：，
点为中点，
，
故选：．
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，点的坐标为，
点的坐标为，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求解即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点，
，，，
，
，故正确；
函数与轴有两个不同的交点，
，故错误；
，
，故错误；
当时，，即；
当时，，即；
，即；故正确；
时，，
，即，故正确；
故选：．
由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点；即可得出，；；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，，对称轴的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，即，
故答案为：
利用因式分解的方法判断确定出满足题意的方程即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：底面半径为，则底面周长，侧面面积．
故答案为．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．解题的关键是了解圆锥的有关元素与扇形的有关元素的对应．
 

15.【答案】 

【解析】解：第个菱形的边长是，易得第个菱形的边长是；
第个菱形的边长是；
每作一次，其边长为上一次边长的；
故第个菱形的边长是．
故答案为：．
本题要找出规律方能解答．第一个菱形边长为，，可求出，即第二个菱形的边长按照此规律解答即可．
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
 

16.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：如图，即为所作，

如图，延长，交于，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，，
，
，
，即．
 

【解析】本题考查基本作图作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤．
利用基本尺规作图作角平分线即可；
证明≌解题即可．
 

18.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生人数为名，
故答案为：；
表示组的扇形圆心角的度数为；
组人数为名，
补全图形如下：

名．
答：估计该校最近两周有名学生的每日平均睡眠时长大于或等于．
由组人数及其所占百分比求出总人数；
用乘以组人数所占比例即可；
根据总人数求出组人数，从而补全图形；
用总人数乘以睡眠时长大于或等于人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
 

19.【答案】证明：，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
 

20.【答案】解：设甲种树苗每棵为元，乙种树苗每棵为元，
根据题意得，
解得，
答：甲种树苗每棵为元，乙种树苗每棵为元；
设购买棵甲树苗，则购买棵乙树苗，
总费用不超过元，
，
解得，
答：最少购买棵甲树苗． 

【解析】设甲种树苗每棵为元，乙种树苗每棵为元，根据购买棵甲树苗和棵乙树苗需花费元，若购买甲树苗和乙树苗各棵，则需花费元列方程组可解得甲种树苗每棵为元，乙种树苗每棵为元；
设购买棵甲树苗，由总费用不超过元，得，即可解得答案．
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式．
 

21.【答案】   

【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点、、在同一直线上，
，
，
，
综上所述，线段、之间的数量关系为；的度数为，
故答案为：，；
结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，

证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论
本题考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 

22.【答案】解：证明：是弦中点，
，
是的中垂线，
，
．
是的直径，
，
．
又，
，
，即，
是的切线；

证明：由知，
∽，
，
．
又，
，即．

，
在中，设，则．
是中点，，
，
．
，即，解得，
． 

【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出∽是解本题的关键．
先判断出，得出，再判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，进而得出，即可得出结论；
在中，设，得出，，最后用勾股定理得出，即可得出结论．
 

23.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
在中，令
得，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为；
过作轴交于，过作轴交于，如图：

在中，令
得，
，，
设，
则，
，
轴，轴，
，
，，
∽，
，
，
，
当时，最大值为；
此时，
，
答：坐标是，最大值为；
设直线交于，过作轴于，如图：

，，，，
，，
，
为直角三角形，
即，
由题意可知，
，
，
，
，
∽，
，
，，
点．
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为．
联立直线和抛物线解析式得：，
解得：或，
点． 

【解析】由待定系数法即得抛物线的解析式为；
过作轴交于，过作轴交于，在中，得，设直线解析式为，把代入得直线解析式为，即得，，设，则，，根据∽，即得，由二次函数性质即可得到答案；
设直线交于，过作轴于，由，，，可得为直角三角形，即，又，，知，根据∽，可得，即得，，从而点设直线的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为联立直线和抛物线解析式即可得点的坐标．
本题考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、勾股定理逆定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．