高二数学选择性必修第一册模块综合检测卷（基础卷1）（解析版）-【期中+期末大突破】2021-2022学年高二数学期中+期末高效复习课（人教A版2019）

选择性必修第一册模块综合检测卷（基础卷1）

 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2021·辽宁抚顺一中高二开学考试）已知，，与共线，则＝（    ）

A．5 B．6 C．3 D．9

【答案】C

【分析】

利用向量共线求得，由此求得.

【详解】

由于与共线，所以.

故选：C

2．（2021·全国高二课时练习）已知直线与互相垂直，则实数=（    ）

A．1 B．3 C．1或-3 D．-1或3

【答案】C

【分析】

因为两直线垂直，所以，解方程即得解.

【详解】

因为两直线垂直，

所以，

所以或.

故选：C

3．（2021·全国）已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】

利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于的方程，即可解得实数的值.

【详解】

因为，由已知可得，解得或.

故选：C.

4．（2021·全国）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则

A．1 B．3 C．5 D．9

【答案】A

【分析】

根据椭圆的定义可得答案.

【详解】

由得，

所以，所以，

根据椭圆的定义可得，

又所以.

故选：A

【点睛】

本题考查了椭圆的定义，属于基础题.

5．（2021·全国高二课时练习）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（    ）

A．1 B．

C．或1 D．2或1

【答案】D

【分析】

由直线的方程求得直线在轴与轴上的截距，再由已知建立方程，解之可得答案.

【详解】

解：由题意知，令得，令得，所以直线在轴与轴上的截距分别为，，

由，得或．

故选：D.

6．（2021·广东湛江·高二期末）抛物线的准线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.

【详解】

由，得，所以其准线方程是.

故选: A

7．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围；

【详解】

解：由圆，圆，

得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，

又在直线上，，即.

∴，∴的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.

8．（2021·全国高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ）

A．9 B．5 C．8 D．4

【答案】A

【分析】

根据双曲线的定义转化为可求解.

【详解】

设右焦点为，则，依题意，有，

，（当在线段上时，取等号）．

故的最小值为9.

故选：A.

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（2021·深圳市南山区华侨城中学高二开学考试）已知向量，则与共线的单位向量（    ）

A．  B．     C． D．

【答案】AC

【分析】

根据共线向量的坐标表示逐一代入验证即可.

【详解】

对A，存在实数，使，且，正确；

对B，不存在实数，使，错误；

对C，存在实数，使，且，正确；

对D，，不是单位向量，错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查向量共线的坐标表示，考查模的坐标表示，是基础题.

10．（2021·全国）(多选)已知三条直线，,相交于一点，则的值为（    ）

A．－ B．－1 C．1 D．

【答案】AC

【分析】

由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值

【详解】

解：由，得，

所以三条直线的交点为，

所以，化简得，

解得或，

故选：AC

11．（2021·全国高二课时练习）设椭圆：＋y2＝1的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．离心率

C．面积的最大值为

D．以线段为直径的圆与直线相切

【答案】AD

【分析】

由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.

【详解】

对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；

对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；

对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；

对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.

故选：AD.

12．（2021·全国高二专题练习）我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ）

A．，，为等比数列

B．

C．轴，且

D．四边形的内切圆过焦点，

【答案】BD

【分析】

根据各个选项对应的条件，建立基本量的齐次式，得到关于离心率的方程，求得离心率.

【详解】

:若，，成等比数列

则，即或（舍，

解得：，所以不正确；

：若，则由射影定理可得：，即，

所以，即，，解得；所以正确；

：若轴，所以，又，则，

所以，即，，，所以不正确；

：因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，

圆心到直线的距离等于，

因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，由题意知：，又，整理得：，，，解得，

所以，所以正确，

故选:．

【点睛】

关键点睛：求离心率关键是建立基本量的齐次式，进而建立离心率的方程.

三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）

13．（2021·浙江高二单元测试）如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是_______．

【答案】

【分析】

利用，即可求解．

【详解】

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

14．（2021·上海高二专题练习）若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

利用方程表示的曲线是圆可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

由于方程表示的曲线是圆，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

15．（2021·全国高二单元测试）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】

由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

16．（2021·浙江高二期末）已知点，，若圆上恰有两点，使得，的面积均为，则直线的方程为_____，取值范围是_______．

【答案】       

【分析】

由两点坐标求得直线斜率，由点斜式可整理得到直线方程；利用点到直线距离公式和三角形面积可求得圆心到直线距离为，点到直线距离，通过圆上只有一个点和有且仅有三个点到直线距离为可确定的临界值，由此确定的取值范围.

【详解】

直线斜率，直线方程为，即；

由坐标可得：，

点到直线距离，

又圆心到直线的距离为，

若圆上只有一个点到直线距离为，则，解得：；

若圆上有且仅有三个点到直线距离为，则，解得：；

当时，圆上恰有两点到直线距离为.

故答案为：；.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据到直线距离为定值的圆上的点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够确定点的个数不同时，圆心到直线距离与半径之间的关系，由此构造不等式求得结果.

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

17．（2021·横峰中学高二期中（理））如图在边长是2的正方体中，,分别为，的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小．

（2）证明：平面．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】

（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；

（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.

【详解】

据题意，建立如图坐标系．于是：

，，，，，

∴，，，．

（1），

∴

∴异面直线EF和所成的角为．

（2）

∴，即

，

∴即．

又∵，平面且

∴平面．

18．（2021·浙江高二单元测试）已知的三个顶点，，.

（1）求边所在直线的方程；

（2）求边上中线所在直线的方程.

【答案】（1）

（2）

【分析】

（1）由直线的两点式方程求解即可；

（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.

【详解】

（1）因为，，

由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，

化简可得；

 （2）由，，

则中点，即，

则边上中线所在直线的方程为，

化简可得.

【点睛】

本题考查了中点坐标公式，重点考查了直线的两点式方程，属基础题.

19．（2021·全国高二课时练习）已知圆的圆心为原点，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）点在直线上，过点引圆的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点．

【答案】（1）；（2）

【详解】

试题分析：（1）根据点到直线的距离等于半径，即可求出；（2）写出以OP为直径的圆，则AB是两圆的的公共弦，作差即可求出直线方程.

试题解析：（I）根据题意得：圆心到直线的距离，

∴，

∴圆的方程为：．

（）连接，，

∵，是圆的两条切线，∴，，

∴，在以为直径的圆上，

设点的坐标为，，则线段的中点坐标为，

∴以为直径的原方程为：，，

化简得：，，

∵为圆和的公共弦，

∴直线的方程为：，，

即，

∴直线恒过定点．

点睛：本题涉及考查圆的方程，圆的切线以及公共弦的知识，属于中档题.解决与圆相切直线问题，一般要用到点到直线的距离等于半径，涉及切点弦时，可构造新圆，利用两圆的公共弦来求过切点的直线，恒过定点问题，一般得到含参的直线方程即可求出是否过定点.

20．（2021·黄冈天有高级中学）已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，

（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；

（2）求.

【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.

【分析】

（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为，可得即可求解；

（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.

【详解】

解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，

所以抛物线的方程为，焦点坐标为.

（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，

联立方程组消去可得，则，

所以.

21．（2021·辽宁抚顺一中高二开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）首先证明，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理即可证明.

（2）以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，再由空间向量数量积即可求解.

【详解】

解：（1）在梯形中，过点作于点.

由已知可知，，，.

所以，即，①

因为平面，平面，

所以，②

由①②及，得平面.

又由平面，所以平面平面.

（2）因为，，两两垂直，所以以为原点，

以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

可得，，，，，

，.

设平面的法向量为，

则，取，则，，

则.

平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

22．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别为，，，直线交线段于点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，的方程为．

【分析】

（1）法一：由题设求、、、坐标，用椭圆参数表示的横坐标，根据得；法二：设的左焦点为，连接，根据椭圆的对称性易得，进而有，即可得，再由椭圆参数关系及已知求出参数，写出椭圆方程.

（2）由题设有且，可设为，，，联立椭圆方程应用韦达定理求、，又结合向量垂直的坐标表示求参数m并验证，即可判断存在性.

【详解】

（1）法一：设，又，，，

∴直线的方程为，直线的方程为．

由，得点的横坐标为．

由，知：，则，即，解得，

法二：如图，设的左焦点为，连接．

由椭圆的对称性，得，则，即．

设，则，，可得，有，

∴．

由，即，得，

∴，，．故椭圆的标准方程为．

（2）由（1）知，，则直线的斜率．

假设存在满足题意的直线，则．

设的斜率为，则，所以．

设的方程为，，，

由，得，则，．

由，得．

又，即，又，，

∴，又，，

∴，即，整理得，解得或．

当时，或与重合，不符合题意；

当时，满足，

∴存在直线，使得是△的垂心，的方程为．