高二数学选择性必修第一册模块综合检测卷（提高卷1）（解析版）-【期中+期末大突破】2021-2022学年高二数学期中+期末高效复习课（人教A版2019）

选择性必修第一册模块综合检测卷（提高卷1）

 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2021·全国高二单元测试）已知向量，，，若，，共面，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由题知，，不共线，且、、 三个向量共面，则存在常数，使得，由此能求出结果.

【详解】

由题意知，因为，，，所以，不共线，且、、三个向量共面，

所以存在常数，使得.

所以 ，

所以 ，

解得.

故选：D.

2．（2021·四川成都七中高二开学考试（理））已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

先求得线段的斜率，由点斜式求得正确答案.

【详解】

因为，，，

所以，

则所求直线的斜率为，

所以过点且与线段平行的直线方程为，即．

故选：B

3．（2021·银川三沙源上游学校高二期末（理））已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，由焦点坐标求得．

【详解】

抛物线的焦点坐标为，

所以椭圆中，，．

故选：C．

4．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知圆，点，分别是圆，圆上的动点，为轴上的动点，则 的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先利用圆的方程求出圆心坐标和半径，利用对称性和三点共线求最值的方法即可得出结果.

【详解】

解：由题意可知，圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径为，

要使得取最大值，需的值最大，的值最小.

其中的最大值为,的最小值为

则的最大值为

点关于轴的对称点，

，

所以的最大值为.

故选：C.

5．（2021·安徽六安市·六安一中高二开学考试）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求面、面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数.

【详解】

由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

∴，则，，

若是面一个法向量，则，可得，

若是面一个法向量，则，可得，

∴由面面PCE，有，解得.

故选：D

6．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为A（0，b），直线x＝﹣上存在一点P满足（+）＝0，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A．[，1） B．[，1） C．[，1） D．（0，]

【答案】C

【分析】

设点P（﹣），由（+）•＝0，得a4﹣3a2c2+c4＝﹣m2c2≤0，从而可得出的不等式，从而可求得其范围．

【详解】

由题意可得A（0，b），F（﹣c，0），设点P（﹣），则，，，

因为（+）•＝0，所以，即a4﹣3a2c2+c4＝﹣m2c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，

解得，即，又因为椭圆离心率e＜1，所以椭圆的离心率为[），

故选：C．

【点睛】

方法点睛：本题考查求离心率的取值范围．解题关键是找到关于的齐次不等式．只要设点P（﹣），由向量数量积的坐标表示以列出方程，利用方程有解即由可得的不等式，得出离心率的范围．

7．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（    ）

A．3 B．2 C． D．1

【答案】C

【分析】

方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.

【详解】

方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．

方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．

故选：C.

8．（2021·全国高二专题练习）在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（    ）

A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得平面平面 D．存在某个位置，使得

【答案】C

【分析】

设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.

【详解】

如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为，

则、、、、，

设，其中，

对于A选项，若存在某个位置使得，，，

，解得，不合乎题意，A选项错误；

对于B选项，若存在某个位置使得，，，

，该方程无解，B选项错误；

对于C选项，设平面的一个法向量为，

，，

由，取，得，

设平面的一个法向量为，

，，

由，取，则，

若存在某个位置，使得平面平面，则，解得，合乎题意，C选项正确；

对于D选项，设平面的一个法向量为，

，，

由，令，则，

若存在某个位置，使得，即，

整理得，，该方程无解，D选项错误.

故选：C.

【点评】

本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9．（2021·全国高二课时练习）已知点与点关于直线上的某点对称，则的取值可以是（    ）

A．2 B．－2

C．－3 D．3

【答案】AC

【分析】

由题可得线段的中点在直线上，建立关系即可求解.

【详解】

易知线段的中点在直线上，

故，解得或.

故选：AC.

10．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】

由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案．

【详解】

解：因为四边形的面积为，

所以，整理得，

记四边形内切圆半径为r，则，得．

又，所以，

又，联立可得，或，

所以双曲线的方程为或．

故选：AB.

11．（2021·深圳市南山区华侨城中学高二开学考试）下列四个结论正确的是（    ）

A．任意向量，，若，则或或

B．若空间中点，，，满足，则，，三点共线

C．空间中任意向量都满足

D．已知向量，，若，则为钝角

【答案】AB

【分析】

由向量的数量积为即可判断选项A；由向量共线定理可判断B；向量的数量积运算不满足结合律判断C；利用向量求夹角公式判断出当为钝角或时，，即可判断选项D.

【详解】

对于选项A：若，

则或或，

即或或，

选项A正确；

对于选项B：由，

因为，

所以，，三点共线，

选项B正确；

对于选项C：向量的数量积运算不满足结合律，

选项C不正确；

对于选项D：，

当为钝角或时，

，

解得：，

故若，则为钝角或.

选项D不正确；

故选：AB.

【点睛】

易错点睛：注意，向量，不一定垂直；，两向量，的夹角不一定为钝角.

12．（2021·辽宁营口·高二期末）已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（    ）

A．的最大值是

B．的最大值是

C．过点做的切线，则切线方程为

D．过点做的切线，则切线方程为

【答案】AD

【分析】

将整理为，方程表示以为圆心，半径为的圆，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，求得直线斜率的最值，可判断AB；先判断在圆上，再利用圆心与该点确定直线方程的斜率，利用两直线垂直时斜率之积为，可求出切线的斜率，即可求出切线方程, 可判断CD.

【详解】

对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；

对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确.

故选：AD

【点睛】

方法点睛：本题考查直线与圆的综合问题，常见类型及解题策略

（1）处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．

（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．

三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）

13．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（理））若点为直线上的动点，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】

把转化为，结合点到直线的距离公式，即可求解．

【详解】

由可化为，转化为点到点的距离的平方，

因为点为直线上的动点，

由原点到直线的距离为，

所以最小值为．

14．（2021·鸡东县第二中学高二期末（理））如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______．

【答案】

【分析】

先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出，则结果可求.

【详解】

因为，

所以

，

所以，所以的长为，

故答案为：.

15．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.

【答案】

【分析】

设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．

【详解】

设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.

由抛物线的定义，知，.

由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.

故答案为：．

16．（2021·射阳县第二中学高二开学考试）已知椭圆的离心率是，一个顶点是，则椭圆的方程为__________，且，是椭圆上异于点的任意两点，且，则直线过定点__________．

【答案】       

【分析】

由一个顶点坐标得，离心率得，由此可求得得椭圆方程，利用直线斜率存在且不为0，设斜率为，写出直线方程代入椭圆方程求得点坐标，再同理得点坐标，写出直线方程，由方程得定点坐标．

【详解】

由题意，解得．

所以椭圆方程为，

由知直线斜率存在且不为0，设斜率为，直线方程为，

，得，或，

时，，即，

用代替，得，

于是直线的斜率为，

直线方程为：，整理得，

当时，对任意的，恒成立，

所以直线过定点．

故答案为：；．

【点睛】

关键点点睛：本题考查直线与椭圆相交中的定点问题，求直线所过的定点，一般方法是设出参数，写出直线方程，由直线方程对于参数恒成立求得定点坐标．本题中设直线斜率为，写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，同理得点坐标，由两点得直线方程，化简后可得定点坐标．考查了学生的运算求解能力．

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

17．（2021·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.

（1）求的长；

（2）求与所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；

（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.

【详解】

如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

（1）依题意得、，因此，，

因此，线段的长为；

（2）依题意得、、、，

，，

所以，，

故与所成角的余弦值为.

18．（2021·全国高二单元测试）设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】

（1）分截距都为，与截距都不为两种情况讨论可得；

（2）直线不经过第三象限则斜率小于等于，纵截距大于等于，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】

（1）当截距都不为，则斜率时，即，符合题意；

当截距都为，即纵截距时，即，符合题意；

故或

（2）因为，即，

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为.

19．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考）已知的内切圆的圆心在轴正半轴上，半径为，直线截圆所得的弦长为.

（1）求圆方程；

（2）若点的坐标为，求直线和的斜率；

（3）若，两点在轴上移动，且，求面积的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）设的内切圆的圆心，先求得圆心到直线的距离，再根据直线截圆所得的弦长为求解；

（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，易知不成立；当直线和的斜率存在时，设直线方程为，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；

（3）根据，设，进而得到直线AC和直线 BC的斜率，写出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.

【详解】

（1）设的内切圆的圆心，

圆心到直线的距离为，

又因为直线截圆所得的弦长为，

所以，

解得，

所以圆方程；

（2）当直线和的斜率不存在时，设直线方程为，

则圆心到直线的距离 ，不成立，

当直线和的斜率存在时，设直线方程为，

即 ，

圆心到直线的距离 ，

解得；

（3）因为，设，

所以直线AC的斜率为：，

同理直线BC的斜率为： ，

所以直线AC的方程为：，

直线BC的方程为： ，

由，解得 ，

即，

又 ，

当时，点C的纵坐标取得最小值，

所以面积的最小值..

20．（2021·全国高二课时练习） 已知抛物线：，，，其中，过的直线交抛物线于.

（1）当，且直线垂直于轴时，求证：为直角三角形；

（2）若＝＋，当点在直线上时，求实数，使得.

【答案】（1）证明见解析；（2）m＝6.

【分析】

（1）由题设可得M(5,)，N(5,－)，利用向量数量积的坐标表示求，即可证△AMN为直角三角形；

（2）由题意，设l：y＝2(x－m)，，联立抛物线方程应用韦达定理求y1＋y2、y1y2，再由垂直知，应用向量数量积的坐标表示得到关于m的方程，即可求得使AM⊥AN成立的m值.

【详解】

（1）证明：由题意，l：x＝5，代入y2＝4x中，解得，

不妨取M(5,)，N(5,－)，则，

∴，

∴AM⊥AN，即△AMN为直角三角形，得证．

（2）由题意，四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，

设直线l：y＝2(x－m)，，联立，得y2－2y－4m＝0，

由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，

∵AM⊥AN，则，又，

∴，化简得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，

∴，解得m＝6，故m＝6时，有AM⊥AN.

21．（2021·全国高二单元测试）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，分别是，BC的中点，点在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.

（2）是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

【分析】

（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．

【详解】

解析（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.

在堑堵中，四边形为平行四边形，

所以且.

在中，P，H分别为，的中点，

所以且.

因为N为BC的中点，所以，

从而且，

所以四边形PHCN为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.

易知平面ABC的一个法向量为.

假设满足条件的点P存在，令，

则，.

设平面PMN的一个法向量是，

则即

令，得，，

所以.

由题意得，解得，故点P不在线段上.

【点睛】

方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：

1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)

2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）

3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）

（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0

（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.

（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,

4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.

5. 判断范围,注意正负取值.

22．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆经过点，且右焦点为.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据椭圆经过点，且右焦点为，由求解；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，，，结合韦达定理，得到，转化为，求解；当直线斜率不存在时，由为定值判断即可.

【详解】

（1）由题意可知，，解得，，

故椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.

联立，消去，得.

因为在椭圆内部，所以，

所以，.

则，

，

，

，

，

所以，，

则.

∴，即.

设，是的两根，∴.

当直线斜率不存在时，联立，得.

不妨设，，

则，，

.此时为定值，不存在最大值与最小值.

综上所述：.