江苏省盐城市响水中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

江苏省响水中学2023年春学期高二年级期中考试

数学试题

考生注意：1.本试题分为第I卷和第II卷，共4页.2.满分150分，考试时间为120分钟.

第I卷（60分

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知随机变量的分布列如表：

则实数（    ）

A.0.05    B.0.15    C.0.25    D.0.35

2.设函数，则（    ）

A.    B.    C.4    D.2

3.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

4.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（    ）

A.    B.1    C.    D.2

5.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于的人数约为（    ）

A.3200    B.6800    C.3400    D.6400

6.某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（    ）

A.126种    B.84种    C.72种    D.48种

7.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为上一点，且，则异面直线与所成的角为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数的定义域为为的导函数，且，则不等式的解集是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点

B.0是函数的极小值点

C.函数的单调递增区间是

D.函数的单调递减区间是

10.下列说法正确的是（    ）

A.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则

B.若是空间任意一点，，则四点共面

C.已知，若，则

D.若和是相互垂直的两个单位向量，，则

11.若，则下列说法正确的有（    ）

A.    B.

C.    D.

12.已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ）

A.若用方案甲，化验次数为2次的概率为

B.若用方案乙，化验次数为3次的概率为

C.若用方案甲，平均化验次数为4

D.若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好

第II卷（90分）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为__________.

14.一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲､乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲､乙两人不相邻的不同的排法有__________种.

15.在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有__________种.

16.已知为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如表，则__________.（填“>”“<”或“=”）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知袋中有12个同型号零件，其中合格品有10个，次品有2个.

（1）若检测员有放回地连续从该袋中取零件2次，每次取1个零件，求恰有1次取到正品的概率；

（2）若检测员从该袋中一次性取2个零件，求在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率.

18.（本小题满分12分）

已知二项式，且.

（1）求的展开式中的第5项；

（2）求的二项式系数最大的项.

19.（本小题满分12分）

已知直三棱柱中，，点是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：

（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是骨牛排的概率；

（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若表示抽到的菲力牛排的数量，求的分布列和数学期望.

21.（本小题满分12分）

如图1，已知梯形中，是边的中点，.将沿折起，使点到达点的位置，且，如图2，分别是，的中点.

（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；

（2）求点到平面的距离.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若直线与曲线相切，求证：.

江苏省响水中学2023年春学期高二年级期中考试•数学试题

参考答案､提示及评分细则

1.C  由随机变量的分布列的性质知，解得.故选C.

2.A  由基本初等函数的导数公式知，所以.故选A.

3.A  因为，所以，根据空间向量的运算法则，可得，所以.故选A.

4.C  因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线的斜率2，由切线与直线垂直知，所以，解得.故选C.

5.B  根据正态分布的对称性可知，所以此次高二学生的体检中，男生身高不低于的人数约为6800人.故选.

6.A  将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有种.故选A.

7.B  因为底面，底面为正方形，所以两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由，得，所以，设异面直线与所成的角为，则，又，所以异面直线与所成的角为.故选.

8.D  根据题意，构造函数，则，所以函数在上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选D.

9.BC  由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选BC.

10.BCD  对于，因为，所以或，所以错误；对于，因为，所以正确；对于，因为，设，所以，解得所以C正确；对于D，因为，所以，所以D正确.故选BCD.

11.ABD  令，则，令，可得，即，故A正确；令，可得，又，所以，故B正确；令，所以，所以，所以，故C错误；由题可知1798，故D正确.故选ABD.

12.AD  若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为，所以正确；若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：①头4只均为阴性，则；②头4只有阳性，则，所以化验次数为3次的概率为错误；若用方案甲，则，所以，C错误；若用方案乙，可取，所以，因为，所以方案乙比方案甲好，D正确.故选.

13.  ，当时，.

14.480  先将不含甲､乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲､乙，有种，所以甲､乙两人不相邻的不同的排法有（种）.

15.450  方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.所以共有（种）不同的安排方案.

16.  ，所以

，因为为互不相等的正实数，所以

，即.

17.解：（1）从该袋中取零件1次，取到正品的概率为，

设恰有1次取到正品为事件，则.

（2）设2个零件中有次品，2个零件都是次品分别为事件，

则，

所以，

即在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率为.

18.解：由，得，即，解得或（舍去）.

的二项式通项为.

（1）当时，，所以的展开式中的第5项为.

（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，

，所以的二项式系数最大的项是.

19.（1）证明：不妨设，则.

因为点是的中点，所以，所以.

因为，所以.

由直棱柱的性质可得平面，因为平面，所以.

因为，即，

又平面，所以平面，

因为平面，所以.

因为平面，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）解：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立

空间直角坐标系，

不妨设，则，

，

所以.

设为平面的一个法向量，则

令，得，此时.

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

20.解：（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中骨牛排有3盒，非骨牛排有7盒，

再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是骨牛排为事件，

则.

（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，

设从这批牛排中随机抽取1盒.抽到菲力牛排的事件为，将频率视为概率，用样本估计总体可得，

从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量满足，

，

所以的分布列为

所以.

21.解：（1）因为图1中，所以图2中，又，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，.

因为平面，

所以平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，

由得

取，则，所以平面的一个法向量，

设平面与平面所成二面角的大小为，

则，

以平面与平面所成二面角的正弦值为.

（2）由（1）知是平面的一个法向量，

又，

所以点到平面的距离.

22.（1）解：因为，所以.

当时，，所以在上单调递减；

当时，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）证明：，设切点坐标为，

所以，

当时，显然不成立，所以.

所以，

令在上恒成立，

所以在上单调递增，

又，

所以.

又，所以.

令，则，

当时，，所以在上单调递减，

所以，即，所以，

因此.