精品解析：辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
LYGZ2022~2023学年度下学期高二第二次联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教B版必修第二册，必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若数列{}的通项公式为则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由通项公式取即可.【详解】因为所以 故选：C.2. 已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（    ）A. 3 B. 1 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根据复数的乘法求出，然后根据定义得到实部.【详解】因为，所以的实部为3．故选：A3. 已知为等差数列的前n项和，且，则（    ）A. 119 B. 112 C. 98 D. 91【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式基本量求解即可.
 【详解】设公差为d，由，得，所以，，．故选:A．4. 一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有（    ）A. 960种 B. 480种 C. 288种 D. 144种【答案】B【解析】【分析】应用插空法，结合分步原理，先排不含甲、乙的4人，再将甲、乙插入4人所成列的5个空中，利用排列数求排法数即可.【详解】先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲、乙，有种，所以甲、乙两人不相邻的不同的排法有（种）．故选：B5. 下列区间中，函数单调递增的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数单调区间的求法求得正确答案.【详解】由，得．所以在上不单调递增，在上单调递增．故选：D6. 若函数为奇函数，则实数（    ）A.  B.  C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】由函数为上的奇函数，可得，进而可得出答案.【详解】因函数为奇函数，定义域为，所以，即，解得，经检验，当时，是奇函数．故选：B．7. 已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ）A. 27 B. 45 C. 65 D. 73【答案】C【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.8. 如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，设平面的法向量为，则即令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（    ）A. 越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大B. 该产品的质量指标值大于的概率为C. 该产品的质量指标值大于的概率与小于的概率相等D. 该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等【答案】BC【解析】【分析】利用与正态密度曲线的关系可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断BCD选项.【详解】设随机变量.对于A选项，越大，则产品的质量指标值落在内的概率越小，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，由正态密度函数的对称性可知，C对；对于D选项，，所以，，D错.故选：BC.10. 已知是等差数列的前n项和，且，则（    ）A. 数列为递增数列 B. 数列为递减数列C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的单调性，判断AB；利用等差数列的前项和，结合等差数列的性质，判断CD.【详解】，而，所以，则，所以数列为递增数列，故A正确，B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD．11. 设平面向量满足，且，则（    ）A.  B. C.  D. 与的夹角为【答案】AC【解析】【分析】根据向量模长公式及数量积公式判断A,B,C选项，根据向量夹角公式判断D选项.【详解】由题意，得，因，所以，解得，故A正确；，故B错误；，故C正确；设与的夹角为，则，故与的夹角不为，故D错误．故选:AC．12. 已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（    ）A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根据与关系，即可推得，变形可得，即可得出A项；根据时，求出，即可得出，求出，即可判断B、C项；代入裂项可得，然后求和即可得出D项.【详解】对于A项， 由，得，两式相减，得，整理可得，所以，故A正确；对于B项，当时，，解得，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以，，显然数列不是等比数列，故B错误；对于C项，由B知，，所以，故C错误；对于D项，，所以，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知，则__________．【答案】##0.75【解析】【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】由条件概率的公式，得，解得．故答案为：14. 在公差不为的等差数列中，为其前项和，若，则正整数___________.【答案】【解析】【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得的值.【详解】设等差数列的公差为，由得：，即，，解得：.故答案为：.15. 以原点O为圆心作单位圆O，直线l与直线平行，且过点，P为直线l上一动点，过点P作直线与圆O相切于点B，则面积的最小值为____________．【答案】##【解析】【分析】根据直线l与平行，且过点，求出直线l的方程，当长最短时，取得最小，则面积取最小.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为．设直线，将点代入，得，所以直线，所以点O到直线l的距离为，所以.因为，所以，所以的面积为，当且仅当时取等号，所以面积最小值为．故答案为：.16. 粽，即粽粒，俗称棕子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．棕子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是___________．【答案】##【解析】【分析】由题意，当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，计算正四面体的表面积与体积，再根据等体积法求解出内切球的半径，代入球的体积公式计算即可.【详解】当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，所以，正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为．故答案为：                                          四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列的前n项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：是等差数列．【答案】（1）    （2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，从而解得，，进而即可得到数列的通项公式；（2）结合（1）可得到的通项公式，进而即可证明其为等差数列．【小问1详解】设等差数列的公差为d，由，，得，，解得，，所以．【小问2详解】结合（1）可得，所以，故，，所以数列是以4为首项，以1为公差的等差数列．18. 如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．（1）求证：平面平面PAE；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）取BE中点，则，由三棱锥的体积得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，进而得证；（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，分别求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【小问1详解】设，由题意为等腰直角三角形，折叠后为等腰直角三角形，取BE中点，连接PF，则，由于二面角为直二面角，故平面ABCD，且，则，得，即．则，故，又平面ABCD，故，又PF与BE相交，故平面PBE，故，又，且PE与AE相交，故平面，又面PAB，故平面平面.【小问2详解】以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，则，，设平面BPA的法向量为，则，取，可得，设平面DPA的法向量为，则，取，可得，则，由于二面角为钝角，故其余弦值为．19. 从①；②；③的外接圆的半径为2且，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，且，__________.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）选①：移项后根据两角和的余弦公式结合诱导公式和完全平方公式，解得角即可；选②：先用正弦定理将角变为边，移项化简，结合余弦定理即可得角；选③，根据正弦定理和外接圆半径即可得，根据，即可得角的范围，进而求得角；（2）根据边角之间关系，由余弦定理即可得，进而求得，根据三角形面积公式即可求得结果.【小问1详解】解:选①：因为，所以，即，因为，所以，即，即，解得，因为，所以；选②：因为，在中，将正弦定理代入化简可得：，即，即，在中，由余弦定理可得：，因为，所以；选③：因为的外接圆的半径为2且，在中，由正弦定理可得：，解得，因为，所以，所以；【小问2详解】由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，即，解得，即，所以，所以.20. 牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030 （1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）    （2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.【小问1详解】用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，则；【小问2详解】这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，将频率视为概率，用样本估计总体可得，从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，，．所以X的分布列为X0123P所以．21. 已知数列 中 ，，.（1）求证：是等比数列；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M是C上任意一点，且的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上一点且在第四象限，，过点P作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆C交于点A，B（A，B与P不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论．【答案】（1）    （2）是，证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再求出，即可得解；（2）设，代入椭圆方程，求出点坐标，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，求出，同理求出，再由计算可得.【小问1详解】解：由离心率为，得，即，由的周长为，得，所以，，所以，所以椭圆的方程为．【小问2详解】解：直线的斜率是定值，证明如下：因为是椭圆上一点且在第四象限，，所以设，代入椭圆的方程，得，即．设直线的方程为，与椭圆的方程联立，得，所以，即．因为，的倾斜角互补，所以直线的方程为，同理得．因为，，所以，因此直线的斜率为定值．