2022-2023学年重庆市江津实验中学、京师实验学校等金砖四校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市江津实验中学、京师实验学校等金砖四校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各数中，是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在▱中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，、、所对的边为、、，则下列不能构成直角三角形的是(    )

A. ：：：： B.
C. ：：：： D.

5.  估计：的值介于(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6.  在菱形中，，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱中，为的中点，过点作交于，连接，若，，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在▱中，过对角线的中点作交、分别于、，为中点，若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在菱形中，对角线、交于点，、分别为、中点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：；；；若，则的取值范围为，其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  若，则的相反数是______ ．

12.  大小比较： ______ 选填：“、或”

13.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ．

14.  ，，则的值为______ ．

15.  观察下列各式：；；，请你将发现的规律用含自然数的等式表示出来______．

16.  如图，在中，平分，，为中点，若，，则 ______ ．

17.  如图，在正方形中，为对角线交点，过作交于，交于，连接，当，时，则 ______ ．

18.  对于一个各个数位上的数字均不为的三位自然数，将的各个数位上数字之和记为，若能被整除，则称是的“整和数”，最小的“整和数”为______ ；若三位数是的“整和数”，、、分别是数中某个数位上的数字，在、、任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，则满足条件的数的最大值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算
；
．

21.  本小题分
如图，矩形的对角线、交于点，于．
尺规作图：过点作的垂线，垂足为，连接、保留作图痕迹，不写作法，不写结论．
补全推理过程：
在矩形中
，，
______ ，
，
，，
即：______ ，
______ ；
在和中，

≌，
______ ，
四边形为平行四边形______

22.  本小题分
如图，四边形为正方形，，，交于点，连接、．
求证：；
若，，时，求的长．

23.  本小题分
如图，要在河边修一个水泵站，分别向、两村送水，已知、两村到江边的距离分别为和，且、两村相距千米．
水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站的位置；
若铺设水管的费用为每千米元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
 

24.  本小题分
阅读下列材料并解决问题．
当时，比如，则，此时的绝对值是它本身；
当时，，此时的绝对值是零；
当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：

在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能；
猜想：与的大小关系；
当满足什么条件时，．

25.  本小题分
如图所示，将矩形纸片沿折叠，点落在点的位置，点恰好落在边上的点处，连接、．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．

26.  本小题分
在菱形中，，点、分别是边、上的动点，连接、、．
如图，连接，若时，为的中点，且，求的长；
如图，若，为的中点，连接、、，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于的不等式，解出即可得出答案．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A不是负数；
B.，故选项B是负数；
C.，故选项C不是负数；
D.，故选项D不是负数．
故选：．
利用绝对值的意义、乘方法则及零次幂的意义，逐个计算得结论．
本题考查了实数的运算，掌握绝对值及零次幂的意义，乘方的运算法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形性质得出，推出，求出即可．
本题考查了平行四边形有性质和平行线的性质，解答本题的关键是得出．
 

4.【答案】 

【解析】解：、：：：：，
，
不能构成三角形，
故A符合题意；
B、，且，
，
为直角三角形，
故B不符合题意；
C、：：：：，且，
，
为直角三角形，
故C不符合题意；
D、，
，
为直角三角形
故D不符合题意；
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
．
，
，
．
故选：．
根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算出其取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：．
故选：．
由菱形的对角线，，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：在▱中，，，，
，
为的垂直平分线，
，
的周长为：，
故选：．
根据平行四边形的性质，得知，由于，根据线段垂直平分线的性质，可知，则的周长为与之和，即可得解．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
于点，
，
，
，
为中点，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，则，可证明≌，则，由，，得，而为中点，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，分别是，的中点，，，
是的中位线，，
，，
，
在中，，
，
在中，，
故选：．
据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得，，，又由，分别是，的中点，，，根据勾股定理求得的值，再根据三角形中位线的性质，即可求得，在中，求得即可．
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，



，
的说法正确；
等式的左边


．
等式的右边
．
等式成立，
的说法正确；
当时，
左边




右边，
当时，
左边



右边，
综上，的说法正确；




，
由题意可知：，
，
的说法不正确．
综上，说法正确的有，
故选：．
利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，则的相反数是．
故答案为：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数是求相反数的关键，注意求一个数的倒数要分母有理化．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
首先求出、的平方的值，比较出两个数的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出、的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：两个正实数，平方大的，这个数也大．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

点，，
，
四边形是矩形，
，
点的坐标为，
故答案为：．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
原式．
故答案为：
将条件和结论分别变形为：，，，将变形后的条件代入变形后的结论就可以求出其值．
本题考查了因式分解中平方差公式的运用以及因式分解在计算题中的运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题目中的式子可得，
第个式子为：，
故答案为：．
根据题目中的式子的特点，可以得到第个式子，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质与化简，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长交于，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故答案为：．
延长交于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可求，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：三位自然数的各个数位上的数字均不为，
最小的“整和数”为：；
三位数是的“整和数”，、、分别是数中某个数位上的数字，
，且数的个位数字必为，
设，则，
令，


，
为整数，
当时，，则；
当时，，不符合题意；
当时，，，则或；
当时，，不符合题意；
则满足条件的最大值为．
故答案为：，．
根据“整和数”的定义进行分析即可，再由题意可得，则这个三位数的个位数字必为，可设，则，再结合条件进行分析即可．
本题主要考查整式的加减，解答的关键是明确数中的个位数字为．
 

19.【答案】解：原式
，
，
原式． 

【解析】先化简，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，化简此分式是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先根据绝对值、零指数幂的意义和二次根式的计算，然后合并即可；
根据二次根式的除法法则和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则零指数幂是解决问题的关键．
 

21.【答案】        一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 

【解析】解：如图，、为所作；

证明：在矩形中
，，
，
，，
，，
即，
；
在和中，

≌，
，
四边形为平行四边形一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
故答案为：，，，；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．
利用基本作图，过点作的垂线得到，然后连接、即可；
先根据矩形的性质得到，再根据垂直的定义得到，则可判断，接着证明≌得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和矩形的性质．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图，过点作于，
，，
，，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由直角三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短；

过点作的垂线，过作的平行线，
设这两线交于点，则．
又过作于，
依题意，，
．
．
由平移关系，，
中，，，
，
．
，
．
元． 

【解析】作点关于河边所在直线的对称点，连接交于，则点为水泵站的位置；
利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．
本题意考查最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点．
 

24.【答案】解：当时，；
当时，，
当时，，
即；
；
有意义，
，
，
，

即，
解得，
即当满足时，． 

【解析】讨论：当时，直接利用二次根式的性质得到；当时，利用零的算术平方根的定义得到，当时，先把变形为，再根据二次根式性质化简；
由题中结论和中的结论可得；
先根据二次根式有意义的条件得，所以，则，所以只要满足即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：根据折叠的性质可知，，，，
在矩形中，，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，，
是等边三角形，
，
在矩形中，，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据折叠的性质可知，，，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质进一步可得，即可得证；
根据，，可知是等边三角形，可得，根据矩形的性质和菱形的性质进一步可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，菱形的判定和性质，涉及含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，作交延长线于点，
，
，
为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，

四边形为菱形，
，
，
在中，，
，，
，
在中，；
证明：如图，延长交于，连接，，

，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形为菱形，
，，
，，
为等边三角形，
，
，，
与为等边三角形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
． 

【解析】作交延长线于点，分别求出和的值，再根据勾股定理求出即可；
延长交于，连接，，证是等边三角形，再证即可得出，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的性质等知识是解题的关键．