2022-2023学年重庆市云阳一中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市云阳一中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各代数式中，是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  估计的值(    )

A. 在到之间 B. 在到之间 C. 在到之间 D. 在到之间

4.  下列各组线段中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在▱中，过点作，垂足为，若，则度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是正方形

8.  如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点是长方形内部的一个动点，已知，，若的面积等于，则点到，两点距离之和的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
；；；；，
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  可燃冰学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了亿吨油当量将亿用科学记数法可表示为______ ．

13.  当时，______．

14.  计算______．

15.  如图，一根树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处．树折断之前有          米．
 

16.  如图，将一个长为，宽为的长方形纸片延折叠，使点与点重合，则的长为______．

17.  从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，那么这个数中所有满足条件的的值之和是______．

18.  对于一个三位自然数，将各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：例如：，其各个数位上的数字分别倍后再取个位数字分别是：、、，则．
根据材料内容，那么 ______ 若已知两个三位数，为整数，且，，若能被整除，则的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线．
实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．

21.  本小题分
先化简再求值：，其中取不等式组的整数解中的一个值．

22.  本小题分
某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜元，用元购买甲型防护服的件数与用元购买乙型防护服的件数刚好相等．
求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？
如果该社区计划购进的防护服共需件，且要求投入的经费不超过元，则最多可购买多少件乙型防护服？

23.  本小题分
如图，在中，，，中，若，，在外作等边
求证：；
求的长．

24.  本小题分
我市准备在相距千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为千米的住宅小区如图，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？参考数据：，

25.  本小题分
如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接、．
如图，当是线段的中点，且时，求的面积；
如图，当点不是线段的中点时，求证：．
 

26.  本小题分
如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．
若，，求的值；
求证：；
当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是二次根式，故A不符合题意．
B、是二次根式，故B符合题意．
C、当时，不是二次根式，故C不符合题意．
D、不是二次根式，故D不符合题意．
故选：．
二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选C．
首先利用夹逼法估算出无理数的取值范围，再利用不等式的性质确定的取值范围．
本题主要考查了估算无理数的大小，利用夹逼法首先算出的取值范围是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，属于基础题．
判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】
解：、，故A选项构不成直角三角形；
B、，故B选项构不成直角三角形；
C、，故C选项构成直角三角形；
D、，故D选项构不成直角三角形．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：在中，，为的中点，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得．
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行四边形的对角相等，进而得出答案．
此题主要考查了三角形内角和定理以及平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、当时，它是菱形，正确；
B、当时，它是菱形，正确；
C、当时，它是矩形，正确；
D、当时，它是正方形，错误，应该是当时，它是矩形；
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判断方法即可判定；
本题考查菱形、矩形、正方形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，，
为的斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故选：．
先根据菱形的性质得，，，则利用得到，，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用等角的余角相等即可求出的度数
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：设中边上的高是，

，，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
过点作直线的对称点，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离之和的最小值，
四边形是矩形，
，
，，
，
故选：．
首先证明动点在与平行且与的距离是的直线上，过点作直线的对称点，连接交直线于点，的长就是所求的最短距离之和的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，得出动点所在的位置是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，故正确；

，
，对顶角相等，
，
，
，，
，
，
，故正确；

，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；

，
故正确；
，，
不是等边三角形，
，
即，故错误；
综上所述，结论正确的是共个．
故选：．
根据角平分线的定义可得，然后利用求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出正确；
求出，，然后根据等角对等边可得，判断出正确；
求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出正确；
根据全等三角形对应边相等可得，然后根据，，判断出正确；
判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到错误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为．
先利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

12.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
根据勾股定理，计算树的折断部分是米，则折断前树的高度是米
【解答】
解：因为米，米，
根据勾股定理得米，
于是折断前树的高度是米．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：是四边形与的对称轴，
，，
又，
设，则，
，
，
解得，
则．
又四边形是矩形，
，
，
，
，
，
过点作于，
，，
．
故答案为：．
根据折叠可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解可得的长，进而得到、的长；再根据折叠可得，根据可得，进而得到，根据等角对等边可得，再过点作于，再在中利用勾股定理可计算出的长．
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的．
 

17.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，即，，，，
分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为整数，得到，，之和为，
故答案为：
不等式组中两不等式整理后，由不等式组无解确定出的范围，进而舍去不合题意的值，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由分式方程有整数解，确定出满足题意的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】  或 

【解析】解：根据新定义运算：．
，同理．
．
能被整除，
是的倍数．
，为整数，且，．
．
或．
即或．
或．
，或，．
或．
当时，．
当时，．
故答案为：或．
根据新定义计算，先用、的解析式表示，再根据整除的性质列出关于、的关系式从而求得、的值，最后根据的定义求出结果．
本题难度不大，但关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达为即可根定义式运算
 

19.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先利用乘法公式展开，然后合并同类项即可；
先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了整式的混合运算．
 

20.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：



，
，
解不等式组得，
整数解有，，，
因为不能取和，所以只能取，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的混合运算的相应的法则进行化简，再求得不等组式的解集，结合分式的定义把适合的值代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解：设每件乙型防护服为元，则每件型防护服为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，原方程的解，
．
答：每件甲型防护服为元，每件乙型防护服为元；
设购买件乙型防护服，则购买件甲型防护服，
根据题意得：，
解得：．
答：最多可购买件乙种商品． 

【解析】设每件乙型防护服为元，则每件型防护服为元，根据数量总价单价，结合用元购买甲型防护服的件数恰好与用元购买乙型防护服的件数相同，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
设购买件乙型防护服，则购买件甲型防护服，根据总价单价购买数量结合投入的经费不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最大正整数即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据数量总价单价，列出关于的分式方程；根据总价单价购买数量，列出关于的一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
．

解：是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
． 

【解析】只要证明≌即可解决问题．
首先证明，利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：过点作于
，
，
，
即，
．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁． 

【解析】根据题意，在中，，，千米，是否搬迁看点到的距离与的大小关系，若距离大于千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求点到的距离，作于点．
考查了解直角三角形的应用方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线高，原则上不破坏特殊角、、．
 

25.【答案】解：四边形是菱形，，
是等边三角形，又是线段的中点，
，，
，
的面积；
如图，作交于，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
； 

【解析】根据四边形是菱形，，得出是等边三角形，又是线段的中点，进而得出，，则，求出的面积即可；
作交于，证明≌，得到；
本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解：四边形是正方形，，
，
等腰中，，，，
，
，
，
点是的中点，
；
如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，

，
点是的中点，

；

如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
，
点是的中点，
，
． 

【解析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质知，运用勾股定理计算即可；
延长与的延长线交于一点，转化为，运用三角形的中位线性质易得证；
类比易得．
本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，把转化为一条线段是问题解决的关键．