2022-2023学年河南省郑州市枫杨外国语学校东校区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市枫杨外国语学校东校区九年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市枫杨外国语学校东校区九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  以下实数中，是无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  下列说法中，正确的是(    )A. 雨后见彩虹是随机事件
B. 为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择抽样调查
C. 将一枚硬币抛掷次，一定有次正面朝上
D. 气象局调查了甲、乙两个城市近年的降水量，它们的平均降水量都是毫米，方差分别是，，则这两个城市年降水量最稳定的是乙城市5.  如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字的对面上的文字是(    )A. 考
B. 试
C. 加
D. 油
 6.  把一张对边互相平行的纸条折成如图所示那样，是折痕，若，则为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点；作射线交于点，过点作，垂足为若，则的周长等于(    )
A.  B.  C.  D. 8.  在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，设每半年平均每周作业时长的下降率为，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 9.  给出下列函数：；；；，上述函数中满足“当时，函数值随自变量增大而增大”的是(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，在中，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  分解因式：          ．12.  若关于的一元二次方程无解，则的取值范围是______ ．13.  在不透明的口袋中装有个红球，个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为______．14.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，为半径画弧交矩形的边于点，交对角线于点，则图中阴影部分的面积为______ ．
 15.  如图，在中，，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，连接，当点恰好在直角直角边的垂直平分线上时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
计算：
；
．17.  本小题分
某校对九年级名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各名学生的测试成绩成绩均为整数，满分分进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息用表示成绩，数据分成组：：，：，：，：，：

乙班成绩在组的具体分数是：，，，，，，，，，，，，，
甲，乙两班成绩统计表： 班级甲班乙班平均分中位数众数方差根据以上信息，回答下列问题：
直接写出的值；
小明这次测试成绩是分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到分及分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．18.  本小题分
如图，▱中，顶点的坐标是，轴，交轴于点，顶点的纵坐标是，▱的面积是反比例函数的图象经过点和，求：
反比例函数的表达式；
所在直线的函数表达式．
 19.  本小题分
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．
为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，是外一点，______．
求证：______．
如图，在的条件下，是的直径，连接，，若，，，求的长．
 20.  本小题分
文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊的高度，甲同学站在字坊正前方，通过测角仪测得字坊顶端的仰角为，乙同学在字坊背面处测得字坊顶端的仰角为，已知测角仪的高度为，甲同学与乙同学之间的直线距离为，点、、在同一竖直平面内求字坊的高度结果精确到，参考数据：，，，
 21.  本小题分
今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多元，用元在甲商店租用服装的数量与用元在乙商店租用服装的数量相等．
求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
若租用套以上服装，甲商店给以每套九折优惠该参赛队伍准备租用套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．22.  本小题分
如图，一小球看做一个点从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画、若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
求抛物线的表达式；
小球落点为，求点的坐标；
在斜坡上的点有一棵树树高看成线段且垂直于轴，点的横坐标为，树高为，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23.  本小题分
综合与实践
我们在没有量角器或三角尺的情况下，用折叠特殊矩形纸片的方法进行如下操作也可以得到几个相似的含有角的直角三角形．
实践操作：
第一步：如图，矩形纸片的边长，将矩形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，折痕为，然后展开，与交于点．
第二步：如图，将矩形纸片沿过点的直线再次折叠，使落在对角线上，点的对应点恰好与点重合，折痕为，将矩形纸片展平，连接．
问题解决：
在图中， ______ ， ______ ；
在图中， ______ ；从图中选择一条线段填在空白处，并证明你的结论；
拓展延伸：
将上面的矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点落在矩形的内部或一边上，设，若，连接，的长度为，则的取值范围是______ ．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是无理数，故本选项符合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
 2.【答案】 【解析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：．
故选：．
 3.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用整式的除法运算法则、完全平方公式以及合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算、完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：、雨后见彩虹是随机事件，故本选项正确，符合题意；
B、为了检查飞机飞行前的各项设备，应选择全面调查，故本选项错误，不符合题意；
C、将一枚硬币抛掷次，不一定有次正面朝上，故本选项错误，不符合题意；
D、气象局调查了甲、乙两个城市近年的降水量，它们的平均降水量都是毫米，方差分别是，，则这两个城市年降水量最稳定的是甲城市，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
利用随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了随机事件、调查的方式、概率公式及方差的知识，属于基础知识，比较简单，熟练掌握定义是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：“数”字的对面上的文字是：试，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“”字两端是对面，判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查平行线的的性质，折叠的性质．
由折叠可得，且，根据直线得，，最后由对顶角的性质求得的度数即可．
【解答】
解：如图所示：

是折痕，
，且，
，
，，
又，
，
，
又，
．  7.【答案】 【解析】解：由题意得：平分，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
的周长．
故选：．
由条件得到，可以证明≌，得到，，推出的周长．
本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，关键是由≌得到，得到的周长．
 8.【答案】 【解析】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，可列方程为，
故选：．
设每半年平均每周作业时长的下降率为，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：，当时，函数值随自变量增大而减小，故此选项不符合题意；
，当时，函数值随自变量增大而减小，故此选项不符合题意；
，当时，函数值随自变量增大而增大，故此选项符合题意；
，当时，函数值随自变量增大而减小，故此选项不符合题意；
故选：．
分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：过作轴于，如图：

在中，，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，
每旋转次回到初始位置，
，
第次旋转结束，相当于将旋转，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
过作轴于，由在中，，，得，，根据四边形是正方形，可得，又将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，知每旋转次回到初始位置，第次旋转结束，相当于将旋转，即可得到答案．
本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．
 11.【答案】 【解析】解：，
故答案为：．
直接提取公因式，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程无解，
且，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 13.【答案】 【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，
两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：连接，过作于，


在矩形中，，，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
故答案为：
连接，过作于，解直角三角形得到，求得是等边三角形，得到，推出，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 15.【答案】或 【解析】解：如图，当在的垂直平分线上时，过点作于点，

则，，
，
在中，
，
当点落在边的垂直平分线上时，且点在线段上时，过点作于点，

则，，
在中，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
分点落在的垂直平分线和的垂直平分线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理计算即可．
本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
 16.【答案】解：原式

；

原式
． 【解析】将分式的分子与分母分解因式，再将括号里面通分运算，进而化简得出答案；
直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 17.【答案】解：乙班的成绩从小到大排列，处在第、位的两个数都是，因此中位数是，即，
故答案为：；
小明的成绩为分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是，乙班的中位数是，
小明是乙班级学生；
甲班得分及分以上的有：人，而乙班有：人，
两个班的整体优秀率为：，
人，
即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为人． 【解析】根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可，
利用中位数的意义进行判断；
根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提．
 18.【答案】解：顶点的坐标是，顶点的纵坐标是，
，
又▱的面积是，
，
则
，
反比例函数解析式为；
由题意知的纵坐标为，
其横坐标为，
则，
设所在直线解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以所在直线解析式为． 【解析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．
根据题意得出，结合平行四边形的面积得出，继而知点坐标，从而得出反比例函数解析式；
先根据反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解可得．
 19.【答案】、与分别相切于点、，连接，，  垂直平分 【解析】解：已知：如图，是外一点，、与分别相切于点、，连接，，
求证：垂直平分，
证明：连接、，

、与分别相切于点、，
，
，，
≌，
，
，
垂直平分，
故答案为：、与分别相切于点、，连接，；垂直平分；
连接、，

，
，
，
，
，
，
，
由得：
，
，，
，
的长为．
根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接、，根据切线的性质可得，然后证明≌，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
连接、，根据等腰三角形的性质求出和，从而求出，然后在中利用锐角三角函数进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 20.【答案】解：如图，作于点，则，

由题意得，，，，，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
设字坊的高度为，则，
，
，
，
，
，
答：字坊的高度约为． 【解析】作于点，可证明，且四边形是矩形，则，，设字坊的高度为，可推导出，由，得，则，求出的值即可．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地用含同一个未知数的代数式表示、的长是解题的关键．
 21.【答案】解：设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解，并符合题意，
，
甲商店租用的服装每套为元，乙商店租用的服装每套为元；
在乙商店租用服装的费用较少．
理由：该参赛队伍准备租用套服装时，
甲商店的费用为：元，
乙商店的费用为：元，
，
乙商店租用服装的费用较少． 【解析】设乙商店租用服装每套元，则甲商店租用服装每套元，由“用元在甲商店租用服装的数量与用元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案；
分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
 22.【答案】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为：；

解方程，得，，
当时，，
所以；

当时，，，
，，
小球能飞过这棵树． 【解析】设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
联立两解析式，可求出交点的坐标；
把分别代入和，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
 23.【答案】     【解析】解：，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
故答案为：，；
，理由如下：
设，
由可得：，，
，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
．
故答案为：；
如图，

，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
，
，
故答案为：．
可得，，，从而得出结果；
设，则，，，从而得出结论；
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，可得出的最小值，进而得出结果．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，轴对称的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地解直角三角形．