黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题(无答案)

哈尔滨市第六中学2020级高三第二次模拟考试

数学试卷

考试说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷．（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．若复数为纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

3．设等比数列，，是方程的两根，则的值是（    ）

A．或 B．2或 C．2 D．

4．已知半径为2的圆上有两点，，其中，设向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B．1 C．7 D．14

5．火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法。由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键。位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥。工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较重，如果过长影响火箭发射），已知工程师们在建桥处看对岸目标点的正下方地面上一标志物的高为，从点处看点和点俯角为，．求一枚火箭应至少携带引导索的长度（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知的常数项为，令，且，圆上有一动点，则的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

7．函数的图像大致是（    ）

A．  B．

C．  D．

8．与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知，是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心，如图2所示，直线与轴交于点，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得2分．）

9．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则边上的中线长为

B．若，，，则有两个解

C．若不是直角三角形，则一定有

D．若是锐角三角形，则一定有

10．在直三棱柱中，平面，且，为中点，则下列说法正确的是（    ）

A．无论为何值时，均有平面成立

B．当时，平面

C．当时，与所成角的余弦值为

D．当时，点到平面的距离为

11．椭圆，，为其左右焦点，为椭圆上一动点．则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．的最小值为

C．使得为直角三角形的顶点共有6个

D．内切圆半径的最大值为

12．已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论正确的是（    ）

A．数列的通项公式为

B．若数列的前项和为，则

C．当时，

D．当时，

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．）

13．已知，则的值是__________．

14．已知，，，则__________，__________．

15．已知，把数列的各项排列成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，则对应数阵中的数是__________．

1

3，5

7，9，11

13，15，17，19

16．已知棱长为的正方体中，为棱的中点，以点为球心为半径的球面与对角面的交线长为__________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或洕算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知数列中，，，数列的前项和为，，．

（1）求证：数列为等差数列，并求，的通项公式；

（2）若，且数列的前项和为，求．

18．（本小题满分12分）

如图，平面四边形为矩形，平面，平面，．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知三个内角，，的对边分别为，，，依次成等比数列，．

（1）求角，并判断三角形的形状．

（2）在区间是单调增函数，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，．

（1）求抛物线的方程，并证明；

（2）已知，且，，三点共线，若且，求直线的方程．

21．（本小题满分12分）

已知一个口袋有个白球，个黑球（，，），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，的抽屉内，其中第次取球放入编号为的抽屉（，2，3，…，）．

（1），试求在编号为1，2，3，4号抽屉至少有一个黑球的条件下，这四个抽屉中白球出现有相邻编号的概率．

（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明．

22．（本小题满分12分）

已知函数，其中，为自然对数的底数．

（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当，时，

①证明：方程恰有一个根；

②设为的极小值点，为的零点，证明：．

参考数据：．