2022-2023学年北师大版八年级第一学期期中学情评估数学试卷

第一学期期中学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 的平方根是(　　)

A.  B．－   C．±  D．±

2．下列各组数中，是勾股数的是(　　)

A．32，42，52   B．1，，

C．0.6，0.8，1  D．5，12，13

3．在平面直角坐标系中，点A(2，3)关于y轴对称的点的坐标是(　　)

A．(－2，－3)  B．(－2，3)   C．(2，－3)  D．(－3，－2)

4．估计的值在(　　)

A．3和4之间  B．4和5之间

C．5和6之间  D．6和7之间

5．在实数，，－3π，，1.414 141 41中，无理数有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

6．下列运算一定正确的是(　　)

A.＋＝  B.＝－4 

C.＝3        D．|－2|＝2－

7.如果点A(2m＋8，5)在y轴上，那么点B(m－1，m＋3)所在的象限是(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

8．下列各点在直线y＝2x＋6上的是(　　)

A．(－5，4)  B．(－7，20)  C.  D.

9．一次函数y＝ax＋a(a≠0)的图象可能是下列图象中的(　　)

10．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若A(0，8)，CF＝4，则点E的坐标是(　　)

A．(－8，4)  B．(－10，3)   C．(－10，4)  D．(－8，3)

二、填空题(每题3分，共15分)

11．正比例函数y＝kx的图象经过点(1，3)，则k＝________.

12．把化成最简二次根式得________．

13．比较大小：______.

14．在平面直角坐标系中，已知点M(m－1，2m＋3)，点N(－3，2)，且直线MN∥y轴，则线段MN的长为________．

15．如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点8米处，已知旗杆长16米，则旗杆断裂的地方距底部________米．

三、解答题(第16题10分，第17题8分，第18题7分，第19～21题每题8分，第22、23题每题13分，共75分)

16．计算：

(1)＋－；                (2).

17．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务．

 任务一：以上化简步骤，第一步中标①的运算依据是__________________；标②的运算依据是________(填运算律)；

 任务二：第______步开始出现错误，错误原因是__________________________，请写出正确的解答过程．

18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数；

(3)在图③中，画一个正方形，使它的面积是8.

19．如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有一个不完整的平面直角坐标系，其中△ABC的顶点A，B的坐标分别是(－2，3)，(－4，2)，点C恰好在格点上．

(1)请在图中画出x轴，并标明原点O的位置；

(2)图中点C的坐标为____________；

(3)将A，B，C三点的横坐标分别乘－1，纵坐标不变，得到A′，B′，C′三点，请在该坐标系中画出△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′与△ABC的位置关系．

20．如图，这是一块四边形木板，其中AB＝16 cm，BC＝24 cm，CD＝9 cm，AD＝25 cm，∠B＝∠C＝90°.李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．

21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．

甲书店：所有书籍按标价的8折出售；

乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．

以x(x＞100，单位：元)表示标价总额，y甲(单位：元)表示在甲书店应支付的金额，y乙(单位：元)表示在乙书店应支付的金额．

(1)根据两个书店的优惠方式，分别求y甲，y乙关于x的函数表达式；

(2)“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，请直接写出如何选择这两个书店购书更省钱？

22．阅读材料：小明在学习实数后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2 ＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设，其中a，b，m，n均为正整数，

则有所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.

请你仿照小明的方法，探索并解决下列问题：

(1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________________，b＝__________________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：

   ；

(3)若，且a，m，n均为正整数，求a的值．

23．问题解决：

(1)如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点A，B的坐标分别为A____________，B____________．

(2)求(1)中点C的坐标．

 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D.请你借助小明的思路，求出点C的坐标；

 类比探究：

(3)数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，－6)，点B的坐标为(8，0)，过点B作x轴的垂线l，P是l上一动点，D是一次函数y＝－2x＋2的图象上一动点，若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标．

答案

一、1.C　2.D　3.B　4.B　5.B　6.D

7．C　点拨：因为点A(2m＋8，5)在y轴上，所以2m＋8＝0，解得m＝－4，所以m－1＝－5，m＋3＝－1，所以点B(m－1，m＋3)所在的象限是第三象限．

8．C

9．D　点拨：当a＞0时，一次函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过第一、二、三象限，故选项D符合题意，故选项C错误；当a＜0时，一次函数y＝ax＋a(a≠0)的图象经过第二、三、四象限，故选项A，B错误．

10．B　点拨：设CE＝a，则BE＝8－a，由题意可得，EF＝BE＝8－a，因为∠ECF＝90°，CF＝4，所以a2＋42＝(8－a)2，解得a＝3.设AB＝b，所以AF＝OC＝b，所以OF＝b－4，因为∠AOF＝90°，所以b2＝(b－4)2＋82，解得b＝10，所以点E的坐标为(－10，3)．

二、11.3　12.2 　13.＜

14．3　点拨：因为点M(m－1，2m＋3)，点N(－3，2)，且直线MN∥y轴，所以m－1＝－3，解得m＝－2，所以2m＋3＝2×(－2)＋3＝－1，因为2－(－1)＝3，所以线段MN的长为3.

15．6

三、16.解：(1)原式＝3 ＋－4 ＝0.

(2)原式＝3 －2 －＝3 －2 －2 ＝－.

17．解：任务一：二次根式的除法法则；乘法分配律

任务二：一；括号前为“－”，去括号时未变号

－×＝－×－×＝－10－2＝－12.

18．解：(1)画三边的长分别为3，4，5的三角形如图①.

(2)画腰长为，底边长为2 的三角形如图②(答案不唯一)．

(3)画边长为2 的正方形如图③.

19．解：(1)如图所示．

(2)(2，－2)

(3)如图所示，△A′B′C′与△ABC关于y轴对称．

20．解：因为P为BC的中点，所以BP＝CP＝BC＝12 cm.在Rt△ABP中，∠B＝90°，根据勾股定理可得AB2＋BP2＝AP2，所以162＋122＝AP2，所以AP2＝400，同理可得DP2＝225，所以AP2＋DP2＝400＋225＝625，又因为AD2＝252＝625，，所以AP2＋DP2＝AD2，所以△APD是直角三角形，∠APD＝90°.

21．解：(1)根据题意可得，y甲＝0.8x，

y乙＝100＋(x－100)×0.6＝0.6x＋40.

(2)当100＜x＜200时，选择甲书店更省钱，

当x＝200时，甲、乙两个书店所需费用相同，

当x＞200时，选择乙书店更省钱．

22．解：(1)m2＋3n2；2mn　点拨：因为a＋b＝(m＋n)2，所以a＋b＝m2＋3n2＋2mn，

所以a＝m2＋3n2，b＝2mn.

(2)13；4；1；2(答案不唯一)　点拨：令m＝1，n＝2，

由(1)知a＝12＋3×22＝13，b＝2×1×2＝4.

(3)a＋4 ＝(m＋n )2＝m2＋3n2＋2mn ，

所以a＝m2＋3n2，2mn＝4，

所以mn＝2＝1×2＝2×1，

①当m＝1，n＝2时，a＝12＋3×22＝1＋3×4＝13；

②当m＝2，n＝1时，a＝22＋3×12＝7.

故a的值为13或7.

23．解：(1)(－4，0)；(0，1)

(2)由(1)知，A(－4，0)，B(0，1)，所以OA＝4，OB＝1，过点C作CD⊥x轴于点D，所以∠ADC＝90°，所以∠CAD＋∠ACD＝90°，因为∠BAC＝90°，所以∠CAD＋∠BAO＝90°，所以∠ACD＝∠BAO，因为△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝BA，在△ADC和△BOA中，因为∠ADC＝∠BOA＝90°，∠ACD＝∠BAO，AC＝BA，所以△ADC≌△BOA，所以CD＝OA＝4，AD＝OB＝1，所以OD＝OA＋AD＝5，所以C(－5，4)．

(3)D(0，2)，P(8，2)或D，P.

点拨：如图，过点D作DF⊥y轴于点F，延长FD交BP于点G，所以DF＋DG＝OB＝8.因为点D在直线y＝－2x＋2上，所以设点D(m，－2m＋2)，所以F(0，－2m＋2)．因为BP⊥x轴，B(8，0)，所以G(8，－2m＋2)．同(2)的方法得△AFD≌△DGP，所以AF＝DG，DF＝PG.所以DF＋DG＝DF＋AF＝8，所以|m|＋|2m－8|＝8，所以m＝0或m＝，当m＝0时，D(0，2)，易知P(8，2)；当m＝时，D，G，

所以DF＝，所以PG＝，所以P，

综上，D(0，2)，P(8，2)或D，P.