中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习03（含答案）

中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习03

1.如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.

求证：BE＝DF.

2.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)求证：四边形BFDE为矩形．

3.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.

求证：四边形ABCD为平行四边形.

4.如图所示，在▱ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形.

求证：▱ABCD是矩形.

5.如图，已知在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.

求证：四边形AFCE是菱形.

6.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

(1)求证：BF＝CF；

(2)若AB＝2，AD＝4，且∠AFC＝2∠D，求平行四边形ABCD的面积．

7.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．

8.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

(1)求证：△AEF≌△BEC；

(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；

(3)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC＝1，求AH的长．

9.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.

(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;

(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?

②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，sin∠A=，点D是BC的中点，点P是AB上一动点(不与点B重合)，延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC.

(1)求证；四边形PBEC是平行四边形；

(2)填空：①当AP的值为　   　时，四边形PBEC是矩形；

②当AP的值为　   　时，四边形PBEC是菱形.

0.中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习03（含答案）答案解析

一         、解答题

1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴BE＝DF.

2.证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，

∴∠AED＝∠CFB＝90°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，∠A＝∠C，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF(AAS)；

(2)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠CDE＋∠DEB＝180°，

∵∠DEB＝90°，

∴∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，

则四边形BFDE为矩形．

3.证明：∵AB∥CD，

∴∠DCA＝∠BAC，

∵DF∥BE，

∴∠DFA＝∠BEC，

∴∠AEB＝∠DFC，

在△AEB和△CFD中

，

∴△AEB≌△CFD(ASA)，

∴AB＝CD，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD为平行四边形.

4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠D＋∠A＝180°，

∵E是AD边的中点，

∴AE＝DE，

∵△CBE是等边三角形，

∴BE＝CE，

在△ABE和△DCE中，

AB＝DC；AE＝DE；BE＝CE，

∴△ABE≌△DCE(SSS)，

∴∠A＝∠D，

∵∠D＋∠A＝90°，

∴∠D＝∠A＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴▱ABCD是矩形.

∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，AE∥CF.

∴∠EAO＝∠FCO.

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形.

6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD，

∵CE＝DC，

∴AB＝EC，AB∥EC，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴BF＝CF；

(2)解：∵由(1)知，四边形ABEC是平行四边形，

∴FA＝FE，FB＝FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D．

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC．

∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，

∴∠ABC＝∠BAF，

∴FA＝FB，

∴FA＝FE＝FB＝FC，

∴AE＝BC，

∴四边形ABEC是矩形，

∴∠BAC＝90°，

∵BC＝AD＝4，

∴AC＝2，

∴平行四边形ABCD的面积＝AB•AC＝2×2＝4．

7.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF，

∴AF＝BF＝EF，

∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，

在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，

∴∠BAF＋∠FAE＝90°，

又四边形ABCD为平行四边形，

∴四边形ABCD为矩形.

(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，

∵F为BE的中点，FG⊥BE，

∴BG＝GE，

∵S△BFG＝5，CD＝4，

∴S△BGE＝10＝0.5BGEH，

∴BG＝GE＝5，

在Rt△EGH中，GH＝3，

在Rt△BEH中，BE＝4＝BC，

∴CG＝BC﹣BG＝4﹣5．

8.证明：(1)①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°．

在等边△ABD中，∠BAD＝60°，

∴∠BAD＝∠ABC＝60°．

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE．

又∵∠AEF＝∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，

∴CE＝AB，BE＝AB．

∴CE＝AE，

∴∠EAC＝∠ECA＝30°，

∴∠BCE＝∠EBC＝60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE＝∠BCE＝60°．

又∵∠D＝60°，

∴∠AFE＝∠D＝60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四边形BCFD是平行四边形

(3)解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，

∴∠CAH＝90°．

在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝1，

∴AB＝2BC＝2．

∴AD＝AB＝2．

设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2﹣x，

在Rt△ABC中，AC2＝22﹣12＝3，

在Rt△ACH中，AH2＋AC2＝HC2，即x2＋3＝(2﹣x)2，

解得x＝，即AH＝．

∴ND∥AM,

∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.

又∵点E是AD边的中点,

∴DE=AE,

∴△NDE≌△MAE,

∴ND=MA,

∴四边形AMDN是平行四边形.

(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.

理由如下:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD=2.

当AM=1=AD时,可得∠ADM=30°.

∵∠DAM=60°,

∴∠AMD=90°,

∴平行四边形AMDN是矩形.

②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.

理由如下:∵四边形ABCD是菱形,

∴AB=AD=2.

∵AM=2,∴AM=AD=2,

又∠DAM=60°,

∴△AMD是等边三角形,

∴AM=DM,

∴平行四边形AMDN是菱形.

10.解：∵点D是BC的中点，

∴BD=CD，

∵DE=PD，

∴四边形PBEC是平行四边形；

(2)①当∠APC=90°时，四边形PBEC是矩形，

∵AC=15.sin∠A=，

∴PC=12，

由勾股定理得AP=9，

∴当AP的值为9时，四边形PBEC是矩形；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15.sin∠A=，

所以设BC=4x，AB=5x，

则(4x)2+152=(5x)2，解得：x=5，

∴AB=5x=25，

当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，

此时点P为AB的重点，

所以AP=12.5，

∴当AP的值为12.5时，四边形PBEC是菱形.