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2023年中考数学二轮复习之分式方程(含解析)
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2023年中考数学二轮复习之分式方程
一.选择题(共10小题)
1.(2022秋•南昌期末)如果关于x的分式方程=1无解,则m的值为( )
A.5 B.3 C.1 D.﹣1
2.(2022秋•桥西区期末)解分式方程﹣2=时,去分母正确的是( )
A.x﹣2=3 B.x﹣2(x﹣2)=3
C.x﹣2(x﹣2)=﹣3 D.x﹣2x﹣2=﹣3
3.(2022秋•桥西区期末)甲队修路1000m,乙队修路1200m,若_______,且比甲提前一天完成任务.设甲队每天修路xm,根据题意可列出方程=+1,则_______应填写的条件为( )
A.甲队每天修路比乙队2倍多30m
B.甲队每天修路比乙队2倍少30m
C.乙队每天修路比甲队2倍多30m
D.乙队每天修路比甲队2倍少30m
4.(2022秋•雁塔区校级期末)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x日,甲乙相逢,可列方程( )
A. B. C. D.
5.(2022秋•连平县校级期末)方程的解是( )
A.x=﹣7 B.x=﹣4 C.x=4 D.x=5
6.(2022秋•任城区校级期末)甲乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地开往乙地,实际每小时比原计划多行驶12km,结果提前1小时到达.设这辆汽车原计划的速度为x千米/时,根据题意可列方程为( )
A.=+1 B.=+1
C.+1= D.+1=
7.(2022秋•巴南区期末)某药店购进A,B两种的口罩,其中A种口罩的单价比B种口罩的单价低0.2元.已知该店主购进A种口罩用了920元,购进B种口罩用了500元,且所购进的A种口罩的数量比B种口罩多20个.设药店购进A种款式的口罩x个,则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.(2023•北碚区校级开学)若a使得关于x的不等式组有解,且使得关于y的分式方程有非负整数解,则所有满足条件的a的值的和是( )
A.24 B.25 C.34 D.35
9.(2022秋•万州区期末)若整数a使得关于x的不等式组有解,且使得关于x的分式方程2+有正整数解,那么符合条件的所有整数a的和为( )
A.60 B.42 C.39 D.36
10.(2022秋•德州期末)如果关于x的不等式组的解集为x<1,且关于x的分式方程有非负数解,则所有符合条件的整数m的值之和是( )
A.﹣2 B.0 C.3 D.5
二.填空题(共6小题)
11.(2022秋•湘潭县期末)关于x的分式方程有增根,则此分式方程的增根为 .
12.(2022秋•桥西区期末)关于x的方程﹣=1有增根,则m= .
13.(2022秋•川汇区期末)已知x=﹣5是分式方程的解,则m= .
14.(2022秋•黄陂区校级期末)若关于x的方程无解,则a的值为 .
15.(2022秋•永川区期末)若关于x的分式方程无解,则a= .
16.(2022秋•宁乡市期末)甲、乙两人负责在社区进行核酸采样,已知甲每小时比乙每小时多采样10人,甲采样170人所用时间与乙采样150人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x人,则可列分式方程为 .
三.解答题(共4小题)
17.(2022秋•新兴县期末)解方程:.
18.(2023•宜丰县校级开学)(1)解方程:﹣1=;
(2)计算:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)(2x﹣1);
19.(2022秋•新丰县期末)新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的2倍少20元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元?
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40箱,且总费用为2000元,求购买了多少箱乙品牌消毒剂?
20.(2022秋•南昌期末)甲,乙两个服装厂加工同种型号的防护服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍,两厂各加工300套防护服,甲厂比乙厂少用5天.
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服?
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元,疫情期间,某医院急需1800套这种防护服,甲厂单独加工一段时间后另有别的任务,剩下的任务只能由乙厂单独完成,如果总加工费用不超过4000元,那么甲厂至少要加工多少天?
2023年中考数学二轮复习之分式方程
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2022秋•南昌期末)如果关于x的分式方程=1无解,则m的值为( )
A.5 B.3 C.1 D.﹣1
【考点】分式方程的解.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】先去分母,再根据关于x的分式方程=1无解,可得x=5,然后把x=5代入可得答案.
【解答】解:,
方程两边同乘以x﹣5化成整式方程为2﹣(m+1)=x﹣5,
∵关于x的分式方程无解,
∴x﹣5=0,即x=5,
将x=5代入方程2﹣(m+1)=x﹣5得:2﹣(m+1)=0,
解得m=1,
故选:C.
【点评】本题考查分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法,理解分式方程无解的条件是解题的关键.
2.(2022秋•桥西区期末)解分式方程﹣2=时,去分母正确的是( )
A.x﹣2=3 B.x﹣2(x﹣2)=3
C.x﹣2(x﹣2)=﹣3 D.x﹣2x﹣2=﹣3
【考点】解分式方程.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】根据等式的性质方程两边都乘x﹣2得出x﹣2(x﹣2)=﹣3,再得出选项即可.
【解答】解:﹣2=,
方程两边都乘x﹣2,得x﹣2(x﹣2)=﹣3,
故选:C.
【点评】本题考查了解分式方程,能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.
3.(2022秋•桥西区期末)甲队修路1000m,乙队修路1200m,若_______,且比甲提前一天完成任务.设甲队每天修路xm,根据题意可列出方程=+1,则_______应填写的条件为( )
A.甲队每天修路比乙队2倍多30m
B.甲队每天修路比乙队2倍少30m
C.乙队每天修路比甲队2倍多30m
D.乙队每天修路比甲队2倍少30m
【考点】由实际问题抽象出分式方程.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;应用意识.
【分析】设甲队每天修路xm,乙队每天修路比甲队2倍少30m,则乙队每天修(2x﹣30)m,根据题意可列出方程=+1.
【解答】解:设甲队每天修路xm,乙队每天修路比甲队2倍少30m,
则乙队每天修(2x﹣30)m,
可得方程=+1.
故选:D.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的等量关系,根据方程确定缺少的语句.
4.(2022秋•雁塔区校级期末)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安.今乙发已先二日,甲仍发长安.问几何日相逢?译文:甲从长安出发,5日到齐国;乙从齐国出发,7日到长安.现乙先出发2日,甲才从长安出发.问甲出发几日,甲乙相逢?设甲出发x日,甲乙相逢,可列方程( )
A. B. C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程;数学常识.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】根据题意设甲乙经过x日相逢,则甲、乙分别所走路程占总路程的和,进而列出方程.
【解答】解:可列方程:.
故选:A.
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示出两人所走路程是解题关键.
5.(2022秋•连平县校级期末)方程的解是( )
A.x=﹣7 B.x=﹣4 C.x=4 D.x=5
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【专题】分式方程及应用;应用意识.
【分析】方程两边都乘以(x﹣1)(x+3)化为整式方程,然后求解,再检验即可.
【解答】解:方程两边都乘以(x﹣1)(x+3)得,
x+3=2(x﹣1),
解得x=5,
检验:当x=5时,(x﹣1)(x+3)=(5﹣1)×(5+3)=32≠0,
所以,x=5是方程的解,
所以,原分式方程的解是x=5.
故选:D.
【点评】本题考查了解分式方程,(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定注意要验根.
6.(2022秋•任城区校级期末)甲乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地开往乙地,实际每小时比原计划多行驶12km,结果提前1小时到达.设这辆汽车原计划的速度为x千米/时,根据题意可列方程为( )
A.=+1 B.=+1
C.+1= D.+1=
【考点】由实际问题抽象出分式方程.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;应用意识.
【分析】设原来的平均速度为x千米/时,实际行驶的平均速度为(x+12)千米/时,根据走过相同的距离时间缩短了1小时,列方程即可.
【解答】解:设原来的平均速度为x千米/时,
由题意得,=+1,
故选:A.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.
7.(2022秋•巴南区期末)某药店购进A,B两种的口罩,其中A种口罩的单价比B种口罩的单价低0.2元.已知该店主购进A种口罩用了920元,购进B种口罩用了500元,且所购进的A种口罩的数量比B种口罩多20个.设药店购进A种款式的口罩x个,则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】由实际问题抽象出分式方程.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】设药店购进A种款式的口罩x个,根据A种口罩的单价比B种口罩的单价低0.2元,列方程即可.
【解答】解:设药店购进A种款式的口罩x个,
根据题意得:=﹣0.2.
故选:C.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的方程.
8.(2023•北碚区校级开学)若a使得关于x的不等式组有解,且使得关于y的分式方程有非负整数解,则所有满足条件的a的值的和是( )
A.24 B.25 C.34 D.35
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有
【专题】一次方程(组)及应用;运算能力.
【分析】解不等式组可得a﹣36≤x≤3﹣2a,则3﹣2a≥a﹣36,解分式方程可得y=,再由方程有非负整数解,可知a﹣1≥0且a﹣1是3的倍数,能求出a=4或a=7或a=13,再求和即可.
【解答】解:,
由①得,x≥a﹣36,
由②得,x≤3﹣2a,
∵不等式组有解,
∴3﹣2a≥a﹣36,
∴a≤13,
,
a﹣4y+2=3﹣y,
3y=a﹣1,
∴y=,
∵方程有非负整数解,
∴a﹣1≥0且a﹣1是3的倍数,
∴a=4或a=7或a=10或a=13,
∵y≠3,
∴a≠10,
∴所有满足条件的a的值的和是24,
故选:A.
【点评】本题考查解分式方程,解一元一次不等式组,熟练掌握一元一次不等式组的解法,分式方程的解法,注意对分式方程增根的讨论是解题的关键.
9.(2022秋•万州区期末)若整数a使得关于x的不等式组有解,且使得关于x的分式方程2+有正整数解,那么符合条件的所有整数a的和为( )
A.60 B.42 C.39 D.36
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组;一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【分析】根据不等式组有解,得到关于a的一元一次不等式,求出a的取值范围,解分式方程得x=且x≠4,根据“a为整数,且分式方程有正整数解”,找出符合条件的a的值,相加后即可得到答案.
【解答】解:解不等式组得,
∵该不等式组有解,
∴2a﹣5>1,
解得:a>3,
解分式方程2+得,
x=且x≠4,
∵a为整数,且分式方程有正整数解,
∴a的值为:9,12,15,
∴9+12+15=36,
即满足条件的所有整数a之和为36.
故选:D.
【点评】本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组方法是解题的关键.
10.(2022秋•德州期末)如果关于x的不等式组的解集为x<1,且关于x的分式方程有非负数解,则所有符合条件的整数m的值之和是( )
A.﹣2 B.0 C.3 D.5
【考点】分式方程的解;解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;一元一次不等式(组)及应用;运算能力.
【分析】不等式组变形后,根据解集确定出m的范围,再表示出分式方程的解,由分式方程有非负数解,确定出满足条件m的值,进而求出之和.
【解答】解:解不等式<1,得:x<m+3,
解不等式x﹣4>3(x﹣2),得:x<1,
∵不等式组的解集为x<1,
∴m+3≥1,
解得:m≥﹣2,
解分式方程,得x=,
∵分式方程有非负数解,
∴≥0且≠1,
解得m<3且m≠2,
则﹣2≤m<3且m≠2,
则所有符合条件的整数m的值之和是﹣2﹣1+0+1=﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查了解分式方程,解一元一次不等式组,熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键.
二.填空题(共6小题)
11.(2022秋•湘潭县期末)关于x的分式方程有增根,则此分式方程的增根为 x=3 .
【考点】分式方程的增根.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】根据分式方程增根的概念可知x﹣3=0,进一步求解即可.
【解答】解:∵关于x的分式方程有增根,
∴x﹣3=0,
∴x=3,
∴此分式方程的增根为x=3,
故答案为:x=3.
【点评】本题考查了分式方程的增根,熟练掌握分式方程的增根的定义是解题的关键.
12.(2022秋•桥西区期末)关于x的方程﹣=1有增根,则m= 5 .
【考点】分式方程的增根.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】根据题意可得x=2,然后把x=2代入整式方程中,进行计算即可解答.
【解答】解:∵﹣=1,
∴m﹣3﹣x=x﹣2,
解得:x=,
∵方程﹣=1有增根,
∴x=2,
把x=2代入x=中得:
2=,
解得:m=5,
故答案为:5.
【点评】本题考查了分式方程的增根,根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键.
13.(2022秋•川汇区期末)已知x=﹣5是分式方程的解,则m= .
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【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】将x=﹣5代入分式方程,求出m的值即可.
【解答】解:将x=﹣5代入,
得,
解得m=.
检验:当m=时,﹣5(﹣5+m)≠0,
∴m=是分式方程的解.
故答案为:.
【点评】本题考查分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键.
14.(2022秋•黄陂区校级期末)若关于x的方程无解,则a的值为 ﹣8、﹣2或1 .
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【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
【解答】解:方程去分母得:(x﹣1)(x+1)﹣x(x+2)=ax+5,
即(a+2)x+6=0,
∵方程无解,
∴x=1或x=﹣2,
∴当x=1时,﹣6=a+2,即a=﹣8,
当x=﹣2时,﹣6=﹣2a﹣4,即a=1,
另当a=﹣2时,方程变为6=0,不成立,所以a=﹣2时,方程也无解,
∴a=﹣8、﹣2或1时方程无解.
故答案为:﹣8、﹣2或1.
【点评】本题考查了分式方程的解,掌握解分式方程的步骤是关键.
15.(2022秋•永川区期末)若关于x的分式方程无解,则a= .
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【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程无解得到x﹣1=0,求出x的值代入整式方程即可求出a的值.
【解答】解:去分母得:2x﹣2a+2x﹣2=x,
由分式方程无解,得到2(x﹣1)=0,即x=1,
代入整式方程得:2﹣2a+2﹣2=1,
解得:a=.
故答案为:.
【点评】此题考查了分式方程的解,注意在任何时候都要考虑分母不为0.理解分式方程无解的意义是解题的关键.
16.(2022秋•宁乡市期末)甲、乙两人负责在社区进行核酸采样,已知甲每小时比乙每小时多采样10人,甲采样170人所用时间与乙采样150人所用时间相等,甲、乙两人每小时分别采样多少人?设甲每小时采样x人,则可列分式方程为 = .
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【专题】推理填空题;分式方程及应用;运算能力.
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程.
【解答】解:设甲每小时采样x人,则乙每小时采样(x﹣10)人,根据题意得:
=.
故答案为:=.
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
三.解答题(共4小题)
17.(2022秋•新兴县期末)解方程:.
【考点】解分式方程.菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】解分式方程,检验后即可得出结论.
【解答】解:=,
即=,
方程两边乘x(x+1)得:4x﹣3=2x,
解得:,
检验:当时,x(x+1)≠0,
∴原分式方程的解为.
【点评】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键.
18.(2023•宜丰县校级开学)(1)解方程:﹣1=;
(2)计算:(2x+3)(2x﹣3)﹣(x+2)(2x﹣1);
【考点】解分式方程;多项式乘多项式;平方差公式.菁优网版权所有
【专题】整式;分式方程及应用;运算能力.
【分析】(1)分式方程,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解,检验即可确定出分式方程的解;
(2)原式利用平方差公式、多项式乘多项式计算,去括号合并同类项即可得到结果.
【解答】解:(1)方程两边同乘(x+1)(x﹣1),得(x+1)2﹣(x+1)(x﹣1)=3,
整理得:2x=1,
解得:x=,
检验:当x=时,(x+1)(x﹣1)=﹣≠0,
∴原方程的解为x=;
(2)原式=(4x2﹣9)﹣(2x2﹣x+4x﹣2)
=4x2﹣9﹣2x2+x﹣4x+2
=2x2﹣3x﹣7.
【点评】此题考查了解分式方程,多项式乘多项式,以及平方差公式,熟练掌握运算法则,公式,以及分式方程的解法是解本题的关键.
19.(2022秋•新丰县期末)新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的2倍少20元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元?
(2)若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40箱,且总费用为2000元,求购买了多少箱乙品牌消毒剂?
【考点】分式方程的应用;一元一次方程的应用.菁优网版权所有
【专题】一次方程(组)及应用;分式方程及应用;应用意识.
【分析】(1)设乙品牌消毒剂每箱的价格是x元,则甲品牌消毒剂每箱的价格是(2x﹣20)元,利用数量=总价÷单价,结合用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同,可得出关于x的分式方程,解之经检验后,可得出乙品牌消毒剂每箱的价格,再将其代入(2x﹣20)中,即可求出甲品牌消毒剂每箱的价格;
(2)设购买了y箱乙品牌消毒剂,则购买了(40﹣y)箱甲品牌消毒剂,利用总价=单价×数量,可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)设乙品牌消毒剂每箱的价格是x元,则甲品牌消毒剂每箱的价格是(2x﹣20)元,
根据题意得:=,
解得:x=40,
经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意,
∴2x﹣20=2×40﹣20=60.
答:甲品牌消毒剂每箱的价格是60元,乙品牌消毒剂每箱的价格是40元;
(2)设购买了y箱乙品牌消毒剂,则购买了(40﹣y)箱甲品牌消毒剂,
根据题意得:60(40﹣y)+40y=2000,
解得:y=20.
答:购买了20箱乙品牌消毒剂.
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.
20.(2022秋•南昌期末)甲,乙两个服装厂加工同种型号的防护服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍,两厂各加工300套防护服,甲厂比乙厂少用5天.
(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服?
(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元,疫情期间,某医院急需1800套这种防护服,甲厂单独加工一段时间后另有别的任务,剩下的任务只能由乙厂单独完成,如果总加工费用不超过4000元,那么甲厂至少要加工多少天?
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【专题】分式方程及应用;运算能力.
【分析】(1)设乙厂每天加工x套防护服,根据甲厂比乙厂少用5天,列出方程式,求出乙厂加工的套数,再乘以2即甲厂加工的套数;
(2)设甲厂至少要加工m天,乙厂加工n天,依题有,求解m的取值范围即可.
【解答】解:(1)设乙厂每天加工x套防护服,
依题意有:,
解得:x=30.
检验:当x=30时,2x≠0,
所以x=30是原方程的根且符合题意,
∴2x=2×30=60.
答:甲厂每天加工60套防护服,乙厂每天加工30套防护服.
(2)设甲厂至少要加工m天,乙厂加工n天,
依题有,,
由①得n=60﹣2m,代入②得120m+90(60﹣2m)≤4000,
解之得:,
∵m为整数,
∴m的最小值为24天.
答:甲厂至少要加工24天.
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出分式方程及根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
考点卡片
1.数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决,生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等.
平时要注意多观察,留意身边的小知识.
2.多项式乘多项式
(1)多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(2)运用法则时应注意以下两点:
①相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
3.平方差公式
(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差.
(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
(2)应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:
①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
②右边是相同项的平方减去相反项的平方;
③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式;
④对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便.
4.一元一次方程的应用
(一)一元一次方程解应用题的类型有:
(1)探索规律型问题;
(2)数字问题;
(3)销售问题(利润=售价﹣进价,利润率=×100%);(4)工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间;②如果一件工作分几个阶段完成,那么各阶段的工作量的和=工作总量);
(5)行程问题(路程=速度×时间);
(6)等值变换问题;
(7)和,差,倍,分问题;
(8)分配问题;
(9)比赛积分问题;
(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).
(二)利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答.
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1.审:仔细审题,确定已知量和未知量,找出它们之间的等量关系.
2.设:设未知数(x),根据实际情况,可设直接未知数(问什么设什么),也可设间接未知数.
3.列:根据等量关系列出方程.
4.解:解方程,求得未知数的值.
5.答:检验未知数的值是否正确,是否符合题意,完整地写出答句.
5.分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值,这个值叫方程的解.
注意:在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根,增根是令分母等于0的值,不是原分式方程的解.
6.解分式方程
(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.
(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:
①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.
②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.
所以解分式方程时,一定要检验.
7.分式方程的增根
(1)增根的定义:在分式方程变形时,有可能产生不适合原方程的根,即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根,叫做原方程的增根.
(2)增根的产生的原因:对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取哪些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.
(3)检验增根的方法:把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母,看最简公分母是否为0,如果为0,则是增根;如果不是0,则是原分式方程的根.
8.由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.
(1)在确定相等关系时,一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法,如行程问题中的相遇问题和追击问题,最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.
(2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思,寻求多种解法思路.
9.分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.
必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.
2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间
等等.
列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力.
10.一元一次不等式的应用
(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解.
11.解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.
(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
12.一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
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