2023年中考数学二轮复习之一元二次方程

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2023年中考数学二轮复习之一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•叙州区期末）某地区2020年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该地区每年教育经费的年增长率均为x，预计到2022年将投入4500万元，则下列方程正确的是（　　）
A．2000x2＝4500
B．2000（1+x）2＝4500
C．2000（1+x）＝4500
D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝4500
2．（2022秋•西青区期末）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
3．（2022秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B．k＞1 C．k＜1 D．
4．（2022秋•叙州区期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0化成（x+m）2＝n的形式，则n等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
5．（2022秋•晋江市期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣2022＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．1.5 B．﹣1.5 C．1011 D．﹣1011
6．（2022秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
7．（2022秋•沂南县期末）一元二次方程x2+x﹣6＝0的根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
8．（2022秋•永春县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则α2+2α﹣β的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．8
9．（2022秋•南开区期末）若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程x2﹣7x＝9（x﹣7）的根，则此三角形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．15或17 D．16或18
10．（2022秋•镇平县期末）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价的金额为（　　）
A．5元或10元 B．5元 C．10元 D．6元
二．填空题（共7小题）
11．（2023•龙川县校级开学）如果关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，那么m　 　．
12．（2023•龙川县校级开学）方程（2x+1）2＝49的根是 　 　．
13．（2022秋•潮州期末）若x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则x1x2+x1+x2＝　 　．
14．（2022秋•宜春期末）近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2800万元，2020年将投入3900万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意则可以列出的方程是 　 　．
15．（2023•市北区开学）若k≠1，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是 　 　．
16．（2023•湘潭开学）请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．你所写的一元二次方程是 　 　．
17．（2023•五华县校级开学）若关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
三．解答题（共3小题）
18．（2022秋•西青区期末）解下列方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）2x2+3x﹣3＝0．
19．（2022秋•南充期末）已知k为实数，关于x的一元二次方程为x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2．当它们互为倒数时，求的值．
20．（2022秋•金平区期末）某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．
（1）设每张门票降低x元，则每天可售出 　 　张门票；
（2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？

2023年中考数学二轮复习之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022秋•叙州区期末）某地区2020年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该地区每年教育经费的年增长率均为x，预计到2022年将投入4500万元，则下列方程正确的是（　　）
A．2000x2＝4500
B．2000（1+x）2＝4500
C．2000（1+x）＝4500
D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝4500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用该地区预计到2022年将投入的教育经费金额＝该地区2020年投入的教育经费金额×（1+该地区每年教育经费的年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2000（1+x）2＝4500．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022秋•西青区期末）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用根与系数的关系x1+x2＝﹣，即可求出两根之和．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0两根为x1，x2，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
3．（2022秋•镇海区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　）
A． B．k＞1 C．k＜1 D．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【解答】解：原方程整理得：x2﹣4x+1﹣2k＝0，
∵一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即（﹣4）2﹣4（1﹣2k）＞0，
解得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
4．（2022秋•叙州区期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0化成（x+m）2＝n的形式，则n等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
∴x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
5．（2022秋•晋江市期末）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣2022＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．1.5 B．﹣1.5 C．1011 D．﹣1011
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣2022＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝＝1.5．
故选：A．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
6．（2022秋•海曙区校级期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根之和等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：∵设一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
7．（2022秋•沂南县期末）一元二次方程x2+x﹣6＝0的根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x1＝2，x2＝﹣3 C．x＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
8．（2022秋•永春县期末）若α、β是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则α2+2α﹣β的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．8
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据题意，利用根与系数的关系及方程解的定义确定出关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣5＝0，即α2+3α＝5，
则原式＝α2+3α﹣（α+β）＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8．
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
9．（2022秋•南开区期末）若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程x2﹣7x＝9（x﹣7）的根，则此三角形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．15或17 D．16或18
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：将x2﹣7x＝9（x﹣7）变形为（x﹣7）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝7，x2＝9，
∵三角形两边长分别为5和4，
∴5﹣4＜第三边的边长＜5+4，
即第三边的边长在1和9之间，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是4+5+7＝16．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系，解题的关键在于根据三角形三边关系对一元二次方程的根进行取舍．
10．（2022秋•镇平县期末）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价的金额为（　　）
A．5元或10元 B．5元 C．10元 D．6元
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少10千克，每天盈利1500元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设每千克应涨价x元，
由题意得：（5+x）（200﹣10x）＝1500，
解得：x1＝5，x2＝10（不合题意舍去），
即为了使顾客得到实惠，每千克应涨价5元；
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．（2023•龙川县校级开学）如果关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，那么m　≠﹣1　．
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程 的定义得出方程m+1≠0，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
解得：m≠﹣1．
故答案为：≠﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+1≠0是解此题的关键．
12．（2023•龙川县校级开学）方程（2x+1）2＝49的根是 　x1＝3，x2＝﹣4　．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接开平方即可得出答案．
【解答】解：∵（2x+1）2＝49，
∴2x+1＝7或2x+1＝﹣7，
解得x1＝3，x2＝﹣4，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
13．（2022秋•潮州期末）若x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则x1x2+x1+x2＝　﹣4　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣1，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣1，
∴x1x2+x1+x2＝﹣1﹣3＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
14．（2022秋•宜春期末）近年来某市加大了对教育经费的投入，2018年投入2800万元，2020年将投入3900万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意则可以列出的方程是 　2800（1+x）2＝3900　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据该市2018年及2020年投入教育经费的金额，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：根据题意可得：2800（1+x）2＝3900，
故答案为：2800（1+x）2＝3900．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2023•市北区开学）若k≠1，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2（k+1）＝0的根的情况是 　有两个不相等的实数根　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【分析】先计算判别式得到Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×2（k﹣1）＝（k﹣1）2，再利用非负数的性质得到Δ＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×2（k﹣1）＝（k﹣1）2，
∵k≠1，
∴（k﹣1）2＞0，
即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
16．（2023•湘潭开学）请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．你所写的一元二次方程是 　x2﹣6x﹣8＝0（答案不唯一）　．
【考点】根与系数的关系；正数和负数；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数，直接写出一个方程即可，答案不唯一．
【解答】解：∵二次项系数为1，且两根之和为正数，两根之积为负数．
∴这样的方程为x2﹣6x﹣8＝0．
故答案为：x2﹣6x﹣8＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键．
17．（2023•五华县校级开学）若关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　且m≠0　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m×1＞0且m≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m×1＞0且m≠0，
解得且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共3小题）
18．（2022秋•西青区期末）解下列方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10；
（2）2x2+3x﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
【解答】解：（1）x（2x﹣5）＝4x﹣10，
x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），
（x﹣2）（2x﹣5）＝0，
即x﹣2＝0，或者2x﹣5＝0，
解得：x1＝2，；
（2）2x2+3x﹣3＝0，
方程的判别式为：Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33，
即方程有两个不相等的实数解，
且为：，
则有：，．
【点评】本题主要考查了利用公式法和因式分解法求解一元二次方程的解得知识，掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键．
19．（2022秋•南充期末）已知k为实数，关于x的一元二次方程为x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2．当它们互为倒数时，求的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝9＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2k+3，x1x2＝k2+3k，结合x1，x2互为倒数，可得出x1x2＝k2+3k＝1，将其代入+＝2（k2+3k）+9中，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（2k+3），c＝k2+3k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程为x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+3，x1x2＝k2+3k，
又∵x1，x2互为倒数，
∴x1x2＝k2+3k＝1，
∴+
＝
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（2k+3）2﹣2（k2+3k）
＝2k2+6k+9
＝2（k2+3k）+9
＝2×1+9
＝11．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”．
20．（2022秋•金平区期末）某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．
（1）设每张门票降低x元，则每天可售出 　（1000+50x）　张门票；
（2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意“当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票”，列出代数式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待2500名游客，取舍x的值，即可求解．
【解答】解：（1）设每张门票降低x元，则每天可售出张门票；
故答案为：（1000+50x）．
（2）由题意得：（80﹣x）（1000+50x）＝120000，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x＝20或40，
当x＝20时，1000+50x＝1000+50×20＝2000＜2500，符合题意；
当x＝40时，1000+50x＝1000+50×40＝3000＞2500，不符合题意，舍去．
答：每张门票应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键．

考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
6．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
7．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
8．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
9．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
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