2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  化简的结果是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列能构成直角三角形的三边长是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列各式计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等5.  如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如图，▱中，平分，，则等于(    )A.
B.
C.
D. 7.  下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，8.  如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，据此可求得，之间的距离为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )A.  B.  C.  D. 10.  小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程关于时间的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．12.  如图，在菱形中，，，则菱形的面积为______．
 13.  一次函数的图象与轴的交点坐标是______．14.  将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为______ ．15.  如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______ 米
 16.  如图，直线与轴、轴分别交于、两点，是的中点，是上一点，四边形是菱形，其中点坐标为，，则的面积为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
如图，在中，，，，为边上的高．
求斜边的长；
求的长．
19.  本小题分
九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长．
20.  本小题分
已知关于的函数．
若函数为正比例函数，求的值；
若点在函数图象上，求的值；
若随的增大而减小，求的取值范围．21.  本小题分
如图，已知点、为▱对角线上两点，且，连接，求证：
；
四边形为平行四边形．
22.  本小题分
如图，直线经过点，与直线：交于点
求的值和直线的解析式；
直线与轴交于点，求的面积；
在轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．
23.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，点为菱形外一点，连接、，且，．
求证：四边形为矩形；
若菱形的边长为，，求的面积．
24.  本小题分
我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
在我们学过的下列四边形平行四边形矩形菱形正方形中，是“神奇四边形”的是______ 填序号；
如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．
求证：四边形是“神奇四边形”；
如图，点、、、分别是、、、的中点试判断四边形是不是“神奇四边形”；
如图，点、分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长．
 25.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过点，与轴交于点．
求直线的解析式；
如图，点为直线上的一个动点，若的面积等于时，请求出点的坐标；
如图，将沿着轴平移，平移过程中的记为请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故选：．
根据二次根式的性质求出即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
 2.【答案】 【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
C.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 3.【答案】 【解析】解：．不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据二次根式的加减，二次根式的乘法和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：矩形的性质是：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等且互相平行，矩形对角线相等且互相平分；
菱形的性质是：菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；菱形的对角相等，菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
为的中点，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：在▱中，
，
．
，
，
平分，
．
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，并利用了两直线平行，同旁内角互补和角的平分线的定义．
 7.【答案】 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
 8.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：．  10.【答案】 【解析】解：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，正常匀速行驶的路程、时间图象是一条过原点的斜线，
修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条平行于横坐标的水平线，
修车后为了赶时间，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，此时的路程、时间图象仍是一条斜线，只是斜线的倾角变大．
因此选项A、、都不符合要求．
故选：．
根据匀速直线运动的路程、时间图象是一条过原点的斜线，修车时自行车没有运动，所以修车时的路程保持不变是一条直线，修车后为了赶时间，加大速度后再做匀速直线运动，其速度比原来变大，斜线的倾角变大，即可得出答案．
此题考查了函数的图象，本题的解题关键是知道匀速直线运动的路程、时间与图象的特点，要能把实际问题转化成数学问题．
 11.【答案】 【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：．
故答案为：．
由菱形的对角线，，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用．
 13.【答案】 【解析】解：当时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标是．
故答案为：．
代入求出与之对应的值，进而可得出一次函数的图象与轴的交点坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：由“上加下减”的原则可知：将一次函数的图象向上平移个单位，所得图象的函数表达式为．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图所示，
由题意可得，米，米，
，
米，
即小鸟至少飞行米，
故答案为：．
根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长．
本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 16.【答案】 【解析】解：延长交于，如图，
，，
，，
是的中点，
，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：．
延长交于，如图，先利用，再用三角函数得到，得出的坐标，接着根据菱形的性质判定为等边三角形，则，所以，则，然后根据三角形面积公式计算．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和三角函数解答．
 17.【答案】解：

． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：在中，，，，
；
，
，
． 【解析】由勾股定理可求解；
由面积法可求解．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键．
 19.【答案】解：设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即． 【解析】设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 20.【答案】解：关于的函数是正比例函数，
，
解得：，
的值为；
点在函数的图象上，
，
解得：，
的值为；
随的增大而减小，
，
，
的取值范围为． 【解析】利用正比例函数的定义，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
利用一次函数的性质，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：牢记“一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数”；牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，
在和中，
，
≌，
；
由可知，≌，
，，
，
四边形为平行四边形． 【解析】由平行四边形的性质得出，，再证≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得，，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：直线：经过点，
，
，
设直线为，
直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
令，则，
，
，
；
存在，
作点故轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，的最小值为，
，
的最小值为． 【解析】由直线：经过点，即可求得，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
由直线的解析式求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可；
作点故轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，的最小值为，利用勾股定理即可求得结果．
本题是两天直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，轴对称最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是矩形，
，
的面积． 【解析】由，，推出四边形是平行四边形，由菱形的性质得到，即可证明问题．
由菱形的性质得到是等边三角形，由等边三角形的性质求出，的长，由三角形面积公式即可求出的面积．
本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，综合应用以上知识点是解题的关键．
 24.【答案】 【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“神奇四边形”，
故答案为：；
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是“神奇四边形”；
解：四边形是“神奇四边形”，理由如下：
，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
四边形是“神奇四边形”；
解：如图，延长交于，

由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为，
，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．
由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
证≌，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论；
延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
 25.【答案】解：设直线的解析式，
直线：与轴，轴分别交于、两点，
，，
直线经过点，与轴交于点，
，
，
直线的解析式：；

由题意可知，，
设点的横坐标为，
，
或．
或；

设将沿着轴平移个单位长度得到，
，
，，
设点坐标为，
当为以、、、为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当时，即，
此时，即点在轴上，
且，
点与点重合，即．
当时，
，，
，
解得，
此时，即点在轴上，
且，
．
当为以、、、为顶点的菱形对角线时，，即点在的垂直平分线上，且，关于对称，
当向左一移动，，，，
，
解得或舍，
当向右移动时，，，，
，
解得舍或舍，
，
．
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为，，． 【解析】设直线的解析式，求出点的坐标，把、的坐标代入解析式计算即可；
设点的横坐标为，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可．
按为菱形边长和对角线两种情况讨论，最后根据菱形的性质求出点的坐标即可．
本题属于一次函数综合题，涉及考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，菱形的性质与判定等相关知识，分类讨论等数学思想，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．