2023届北京市房山区高三二模数学试题含解析

2023届北京市房山区高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】考查两集合的基本运算，根据集合的运算规律即可得出答案.

【详解】，

，故B选项正确，A选项错误，

，故C选项错误，

，故D选项错误，

故选：B.

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.

【详解】，

在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.

3．已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件列方程组来求得.

【详解】设等比数列的公比为，

则，，，

两式相除得，解得（负根舍去），

所以.

故选：C

4．已知正方形的边长为2，点P满足，则的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果.

【详解】由条件可知

.

故选：C

5．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.

【详解】对A，二次函数的对称轴为，

不是偶函数，故A错误；

对B，函数的定义域为，

定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；

对C，，

定义域为，所以函数是偶函数，

结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误；

对D，，定义域为，

所以函数是偶函数，因为，，

所以，当且仅当，即时取等号，

所以函数有最小值，故D正确.

故选：D

6．已知圆的圆心在抛物线上，且此圆过定点，则圆与直线的位置关系为（    ）

A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定

【答案】A

【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

根据抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，

所以圆与直线相切.

故选：A

7．高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.

【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.

【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线渐近线的斜率求得直线的斜率的取值范围.

【详解】双曲线的渐近线方程为，斜率为，

依题意，点，分别在双曲线的左支和右支上，

所以直线的斜率的取值范围是.

故选：A

9．已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.

【详解】若在上单调递减，

则，解得.

所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.

故选：B

10．设集合，则（    ）

A．当时， B．对任意实数，

C．当时， D．对任意实数，

【答案】C

【分析】依据选项将点代入验证即可.

【详解】当时，，

将代入A得：成立，故，即A错误；

若时，此时将代入不成立，即B错误；

当时，此时将代入不成立，即C正确；

若时，此时将代入A得成立，即D错误；

故选：C.

二、填空题

11．若，则______．

【答案】1

【分析】利用赋值法即可求解系数和.

【详解】在中，

令得：，

故答案为：1.

三、双空题

12．已知角终边过点，角终边与角终边关于轴对称，则______；______．

【答案】          /0.6

【分析】根据三角函数的定义求出角的正切值，得到点关于轴的对称点，即可求得，再结合余弦的差角公式即可得到结果.

【详解】由题意，角终边过点，由三角函数定义知：，

，，

由角终边与角终边关于轴对称得角的终边过点，

所以，，

故.

故答案为：，.

四、填空题

13．已知函数，给出两个性质：

①在上是增函数；

②对任意，．

写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式，_______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】取函数，检验条件①②即可.

【详解】取函数，由指数函数的单调性可知，

函数在上为增函数，满足性质①；

因为恒成立，所以恒成立，

所以对任意，，满足性质②.

故答案为：（答案不唯一）

14．若函数的图象与直线有两个交点，则这两个交点横坐标的和为_______．

【答案】

【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.

【详解】当时，，

由解得，

所以两个交点横坐标的和为.

故答案为：

15．如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点．给出下面几个结论：

①四边形是平行四边形；

②四边形可能是正方形；

③存在平面与直线垂直；

④任意平面与平面垂直；

⑤平面与平面夹角余弦的最大值为．

其中所有正确结论的序号是_______．

【答案】①④⑤

【分析】通过几何性质得出四边形的形状，由线线、线面垂直即可得出面与直线和面的关系，以及面与面夹角余弦的最大值.

【详解】由题意，

在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点，

由平面平面, 并且四点共面，

∴, 同理可证，，

故四边形一定是平行四边形，故①正确；

②在正方体中，由几何知识得，面，

∵面，∴，

若是正方形, 有, 这个与矛盾，故②错误；

③由几何知识得, 面，小于，

若直线与平面垂直，则直线，

∴平面与直线不可能垂直，故③错误.

④设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，

由几何知识得，,

∴,

∵，

∴，

∵面，面，面，

∴面，

∵面，

∴任意平面与平面垂直，故④正确.

⑤由几何知识得，当点和分别是对应边的中点时, 平面与面夹角最大，

∵

为：,故⑤正确.

故答案为：①④⑤.

【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的证明，考查学生的数形结合能力，转化能力，逻辑推理能力与运算求解能力，考查直观想象，数学运算和立体几何的画图能力，具有极强的综合性.

五、解答题

16．在中，，，．

(1)求；

(2)若角为钝角，求的周长．

【答案】(1)

(2)18

【分析】（1）用二倍角公式及正弦定理即可求解；

（2）用角余弦定理即可求出.

【详解】（1）

在中，因为，所以，

因为，，所以，

由，得，

解得

（2）因为，为钝角，所以，

由得，

整理得，解得或（舍），所以.

所以的周长为.

17．如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题：

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)证明详见解析

(2)条件选择见解析，直线与平面所成角的正弦值为

【分析】（1）若选①，则通过证明平面来证得.若选②，则先证明，然后通过证明平面来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）若选择条件①:，连接，

在直三棱柱中，平面，平面，

所以.

在三角形中，，为的中点，

所以，由于，平面，

所以平面，由于平面，所以，

由于，，平面，

所以平面，

由于平面，所以.

若选择条件②：，连接，

由于是中点，所以，

根据直三棱柱的性质可知，

由于平面，所以平面，

由于平面，所以.

由于，所以，

所以，则，则，

由于，平面，所以平面，

由于平面，所以.

（2）先得到:

若选①，则在中，由，得，

又，所以，.

若选②，则.

在三角形中，，所以，

所以，

根据直三棱柱的性质可知，，

以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

设直线与平面所成角为，

则.

18．2021年3月教育部印发了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，该《通知》指出，高中生每天睡眠时间应达到小时． 某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图．

(1)从该校高一年级学生中随机抽取人，估计该生平均每天的睡眠时间不少于小时的概率；

(2)从该校高二年级学生中随机抽取人，这人中平均每天的睡眠时间为小时或小时的人数记为，求的分布列和数学期望；

(3)从该校高一年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列详见解析，

(3)

【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案.

（2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率，然后根据二项分布的知识求得的分布列和数学期望.

（3）通过观察条形图求得正确答案.

【详解】（1）记事件为“从该校高一学生中随机抽取人，该生平均每天的睡眠时间不少于小时”，

样本中高一学生人数为：，

其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，

则：.

（2）从高二年级学生中随机抽取1人，

其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为.

的可能取值为

.

的分布列为：

.

（3）通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性，

根据方差的定义可知：.

19．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)当时，求函数的最小值；

(3)证明：

【答案】(1)

(2)

(3)证明详见解析

【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.

（2）利用导数研究在区间上的单调性，由此求得在区间上的最小值.

（3）结合（2）的结论证得不等式成立.

【详解】（1）.

所以，，

所以在点处切线的方程为，

即.

（2）当时，，，

令，则.

当时，，所以在单调递减.

所以.

所以，函数在上单调递减.

函数在上单调递减.

所以，即函数的最小值为.

（3）由（2）可知在上单调递减.

又因为，

所以.

所以，即

20．已知椭圆的一个顶点为，焦距为． 椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆上异于的动点，交直线于点，与椭圆的另一个交点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线是否过轴上的定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

【答案】(1)

(2)经过定点，定点为

【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解、、即可；

（2）使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，得到、两点的坐标，求出其方程，化简为直线的点斜式方程即可得到定点坐标.

【详解】（1） 椭圆 的一个顶点为，焦距为，

， 解得，

椭圆 的方程为 .

（2）在直线 上，则点 ，

由 ，得 ，

由 ,得 ，

，

，

，

，

直线过定点 .

【点睛】（1）利用椭圆的基本性质，结合椭圆的定量关系可求得所要的椭圆方程；

（2）直线经过定点问题，使用直线与椭圆交于两点，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出另一点的坐标，这样得到直线上两点，写出直线方程，化为点斜式的方程，可得到直线所过的定点.

21．若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．

(1)判断数列是否具有性质，并说明理由；

(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；

(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列．

【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由数列中，得到，一定是数列中的项，即可求解；

（2）根据题意，得到一定不是数列中的项，进而证得一定是数列中的项；

（3）根据题意得到，且，进而得到，得到，当，证得，当，得到，由时，得到，两式相减得出，结合等差中项公式，即可求解.

【详解】（1）解：数列具有性质.

理由：根据有穷数列满足：，且对任意的，或 是数列中的项，则称数列具有性质，

对于数列中，若对任意的，可得或或，

可得一定是数列中的项，所以数列具有性质.

（2）证明：由是数列中的任意一项，

因为数列具有性质，即或 是数列中的项，

令，可得或 是数列中的项，

又因为，可得一定不是数列中的项，

所以一定是数列中的项.

（3）解：由数列具有性质，可得，所以，

则，且，

又由，所以，

又由，

①设，因为

可得，

当时，可得，  （）

②设，则，所以，

由，

又由，

可得，

所以，

因为，由以上可知：且，

所以且，所以，（）

由（）知，

两式相减，可得，

所以当时，数列为等差数列.