2023届山西省运城市高三三模数学试题（A卷）含解析

2023届山西省运城市高三三模数学试题（A卷）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合A和B，再根据交集的定义求解．

【详解】由题得，，

所以.

故选：A.

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】C

【分析】利用复数定义及运算法则计算即可.

【详解】因为，所以的虚部为3，

故选：C.

3．已知向量满足，且，则实数（    ）

A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或

【答案】D

【分析】根据向量的线性计算和垂直的坐标表示即可求解.

【详解】

所以，

因为，

所以，

解得或，

故选：D.

4．若双曲线的一条渐近线的方程为，则下列选项中不可能为双曲线的方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出每一选项中双曲线的渐近线方程，即可得答案.

【详解】解：对于A，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：，即，符合题意；

对于B，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：，即，符合题意；

对于C，由题易知双曲线的渐近线方程为，不符题意；

对于D，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：，即，符合题意.

故选：C.

5．已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由题意推出函数的周期以及满足等式，赋值求得，利用函数的周期性即可求得答案.

【详解】因为，所以，所以的周期为6，

又为奇函数，所以，所以，

令，得，所以,

所以，

故选：C.

6．已知，则的近似值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出，再根据利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.

【详解】因为，所以，

所以

.

故选：B

7．在一节数学研究性学习的课堂上，老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积，步骤如下：第一步，绘制一个三角形；第二步，将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体；第三步，测算三个空间几何体的体积，若小明同学绕着的三条边AB，BC，AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合旋转体的体积求出三边的关系，再利用余弦定理求解作答.

【详解】令的三边分别为，边上的高为，的面积为，

则以直线为轴所得旋转体体积，有，于是，

同理可得，则有，

由余弦定理得.

故选：C

8．若，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，利用其单调性比较b与c的大小；令，利用其单调性比较a与c的大小.

【详解】解：令，则，当时，，故函数在上单调递减，故，即，即；

令，则，当时，，故函数在上单调递增，故，即，故，则，

故选：A.

二、多选题

9．已知某校高二男生的身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，16），且，则（    ）

A．该校高二男生的平均身高是175cm

B．该校高二男生身高的方差为4

C．该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%

D．从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等

【答案】AD

【分析】根据正态分布的定义和对称性知AD正确，B错误，再计算概率得到，C错误，得到答案.

【详解】对选项A：在中，为平均数，正确；

对选项B：方差为，错误；

对选项C：，则身高超过的概率，错误；

对选项D：正态曲线关于直线对称，所以身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等，正确；

故选：AD

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．曲线在处的切线与直线垂直

B．在上单调递增

C．的极小值为

D．在上的最小值为

【答案】BC

【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.

【详解】因为，所以，

所以，故A错误；

令，解得，所以的单调递增区间为，

而，所以在上单调递增，故B正确；

当时，所以的单调递减区间为，

所以的极小值为，故C正确；

在上单调递减，所以最小值为，故D错误；

故选：BC

11．已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（    ）

A．-1 B． C．a D．3a

【答案】BD

【分析】由，结合距离公式、二次函数的单调性得出m的可能值.

【详解】因为点在椭圆上，所以，

所以

，若，当时，最小，

若，当时，最小.

故选：BD.

12．已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】AB

【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.

【详解】由，知函数的图象关于直线对称，

又，即是函数的零点，

则，，

即，.

由在上单调，

则，即，

所以.

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上单调递增，故符合题意；

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上单调递增，故符合题意；

当时，由，，得，，

又，所以，此时当时，，

所以在上不单调，故不符合题意.

综上所述，或3.

故选：AB.

三、填空题

13．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）

【答案】

【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.

【详解】因为，即函数的值域为，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

14．已知直线被圆截得的线段长为，则______．

【答案】

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得.

【详解】圆C：，即圆心为，半径，

则圆心到直线的距离，

又直线被圆截得的线段长为，所以，即，

解得.

故答案为：

15．2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.

【答案】

【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.

【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：

（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；

（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，

即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.

若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，

故所求的概率为.

故答案为：

16．在平面四边形中，，，，现将 沿着折起，得到三棱锥，若二面角的平面角为135°，则三棱锥的外接球表面积为__________.

【答案】

【分析】先求出外接球的球心，根据几何关系求出外接球的半径即可.

【详解】

如图，取的中点，的中点，连接，，

因为，所以 ，因为， ，所以 ，

；

过点作平面，过点作平面， ，

因为点，分别是 和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心；

由，得，，，所以，，，，

，

则三棱锥的外接球的半径，所以外接球的表面积 ；

故答案为： .

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式；

（2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解.

【详解】（1）①，

当时，，解得.

当时，②，

①-②，得，所以，

又，符合上式，故.

（2）由（1）知，则，

所以，

则

.

18．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.

(1)求的值；

(2)若的面积为2，，求的周长.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；

（2）由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长.

【详解】（1）若选①，由已知得，所以，

由正弦定理得，

又，所以，所以，又，

由，，解得.

若选②，由已知及正弦定理得，

所以，

所以，

所以，

又，所以，所以，又，

由，，解得.

（2）由的面积为2，得，所以，

由（1）可得，

由余弦定理得，

所以，所以，

所以的周长为.

19．数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．

(1)由上表数据知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；

(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．

【答案】(1)

(2)十亿元

【分析】（1）由，两边同时取常用对数得到，设，，利用最小二乘法求解；

（2）由（1）得到2023年与2024年这两年的年平均增长率和2022年中国车载音乐市场规模为17求解.

【详解】（1）解：因为，

所以两边同时取常用对数，得，

设，

所以，设，

因为，

所以

，

所以

所以

所以

（2）由（1）知2023年与2024年这两年的年平均增长率，

2022年中国车载音乐市场规模为17，

故预测2024年的中国车载音乐市场规模（十亿元）.

20．如图，在多面体中，平面，，为的中点.，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）证明一条直线垂直于一个平面只要证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；

（2）建立空间坐标系，运用数量积求解.

【详解】（1）因为，为的中点，所以，

又平面，平面，所以，

又 ，， 平面，所以平面，

又 平面，所以，

在 中， ，在 中， ，

在直角梯形 中，运用勾股定理可得 ，

所以，所以，

又 ，，平面，

所以 平面；

（2）由题知，过作 交于，

则 平面，可得 ，，

以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，所以，，

设平面的一个法向量为，

由得，

取，则，，所以.

由（1）知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，易知为锐角，

则；

综上，二面角的平面角的余弦值为.

21．已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.

(1)求的标准方程；

(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，点，直线的方程为.

【分析】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，可得点在上，代入，解得，即得的标准方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理和条件，得，由点到直线的距离为2，可得，联立可解得答案．

【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，

当为等边三角形时，的高为，

由题意知点在上，代入，得，解得，

所以的标准方程为.

（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，，，，

联立，得，

所以，即，且，，

所以，

由，得，

所以，所以，即，

又点在上，所以，即，①

所以，解得，

又点在第一象限，所以，所以.

又点到直线的距离，化简得，②

联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.

此时点，直线的方程为.

22．已知函数.

(1)讨论函数在上的零点个数；

(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值情况，并结合端点值大小，分类讨论得到函数的零点个数；

（2）判断出，不等式同构变形得到，构造，得到其单调性，并构造的单调性，证明出结论.

【详解】（1），，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

又，，，其中，

若，即时，零点个数为0，

若，即时，零点个数为1，

若，即时，零点个数为2，

若，即时，零点个数为1，

若，即时，零点个数为0，

综上：当或时，零点个数为0，

当或时，零点个数为1，

当时，零点个数为2.

（2），理由如下：

，，

当时，，故，

当时，，故，

要证，即证，其中，

故即证，

令，，即证，

，

令，则，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故在上恒成立，

所以在上恒成立，

则在上单调递增，

则，

令，，

，当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，即，结论得证.

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.