2023届四川省雅安市高三三模数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省雅安市高三三模数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省雅安市高三三模数学（文）试题 一、单选题1．若（为虚数单位），则的虚部是A．1 B．-1 C． D．【答案】B【详解】因为,故,所以的虚部是,应选B．2．已知集合|，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合M，再利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为，，所以，故选：B．3．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯足球赛，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况（其中曲线图表示气温，条形图表示降雨量），下列对月份说法错误的是（    ）A．有5个月平均气温在30以上B．有4个月平均降水量为0C．7月份平均气温最高D．3月份平均降水量最高【答案】D【分析】根据所给图表直接判断ABCD选项即可得解.【详解】由图可知，5月份到9月份共5个月的平均气温都在30以上，故A正确；由图可知，6月份到9月份共4个月的平均降水量为0，故B正确；由图知，7月份平均气温最高，故C正确；由图知，2月份的降水量最高，故D错误.故选：D4．已知数列的前项和为．若，则（    ）A．16 B．25 C．29 D．32【答案】B【分析】由递推关系化简，结合等差数列定义证明数列为等差数列，再由求和公式计算.【详解】由可得，即，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以，故选：B5．若将函数()的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】将函数()的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又平移后的图象与函数的图象重合，而，所以（），则（），又，所以为使取得最小值，只需，此时.故选：D.6．有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹.”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值.某地打造了以芍药为主的花海大世界.其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心､正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的（如图所示）.白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍.倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正方形的边长为，分别求得正方形与阴影部分的面积，结合面积比的几何摡型，即可求解.【详解】由题意，设正方形的边长为，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为，可得正方形的面积为，阴影部分的面积为，根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是.故选：A.7．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入，输出，则判断框中可以填（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据框图计算可得时，则，此时跳出循环输出结果．【详解】根据框图可得： 开始循环1循环2循环3循环4循环5x23591733k123456输出，则，此时跳出循环故选：B．8．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的变换及诱导公式将转化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.【详解】因为，故，故选：A9．对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.10．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为A． B． C． D．【答案】B【解析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.故求体积为：，圆锥的体积：，故.故选：.【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.12．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是A． B．C． D．【答案】B【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于x的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数，通过求导求得极值点，代入后求得t的最大值．【详解】因为函数为“倍缩函数”，且为递增函数所以存在，使在上的值域为则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根令则，令解得代入方程得解得，因为有两个不等的实数根所以t的取值范围为所以选B【点睛】本题考查了函数新定义的理解，函数单调性、函数与方程关系的应用，导数在求最值中的用法，属于难题． 二、填空题13．已知向量与的夹角为，且，则__________．【答案】【分析】根据向量的模得坐标公式求出，再根据数量积的运算律计算即可.【详解】由，得，则.故答案为：.14．已知拋物线恰好经过圆的圆心，则拋物线的焦点坐标为__________．【答案】【分析】将圆M的圆心代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标.【详解】由圆可得，故圆的圆心为，代入得，将抛物线的方程化为标准方程得，故焦点坐标为.故答案为：.15．已知内角所对的边分别为面积为，且的中点为，则的长是__________．【答案】【分析】由正弦定理化简，再由余弦定理求出A，根据面积公式求出，结合余弦定理可求出，求出边长知三角形为正三角形得解.【详解】由可得，由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，因为，所以，由，解得，由可得，由，解得，联立可得，故为正三角形，所以中线.故答案为：16．如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是___________．【答案】【分析】由已知可得到的距离，再利用勾股定理知要使取得最小值，则需取得最小值，此时利用点到直线的距离可得解.【详解】由已知得四面体体积 所以设到的距离为，则解得所以在底面内（不包括边界）与平行且距离为的线段 上，要使的最小，则此时是过作的垂线的垂足.点到的距离为所以此时故答案为.【点睛】本题考查立体几何的动点最值问题，将空间立体问题转化为平面问题是解题的关键，属于难度题. 三、解答题17．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．【答案】(1)，中位数为（分）(2) 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可；（2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解.【详解】（1）由题意可得，解得，由，可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，则，解得，所以此次问卷调查分数的中位数为（分）；（2）的市民有人，记为a，b，的市民有人，记为1，2，3，4，则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，则所求概率为.18．在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且满足__________，__________.(1)求的通项公式；(2)求.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.【答案】(1)选①②，①③或②③均可得(2) 【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公式；（2）在第一问的基础上，得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）若选①②，设公差为，则，解得：，；选①③，设公差为，，解得：，；选②③，设公差为，，解得：，；（2），.19．如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，，(1)证明：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于O，连接，证明可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离，再由线面角公式求解即可.【详解】（1）连接交于O，连接，如图，四边形是菱形，所以，又，，是的中点，所以且，由，可知为正三角形，所以，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）设到平面的距离为，因为中，，，所以，又，，所以由，可得,即,设直线和平面所成角为，则.20．已知函数(1)讨论的单调性；(2)若函数，都有，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论即可；（2），分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可得解.【详解】（1），当时，，所以函数在上单调递增，当时，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2），即，即，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.21．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．①求证：两点的纵坐标之积为定值；②求面积的最小值．【答案】(1)(2)①证明见解析②18 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；（2）①设直线的方程为，联立方程组，得到，进而求得直线的方程得到，，化简，即可求解；②由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆过点，且，可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）①由题意知，可设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，，可得，，直线的方程为，令，可得，同理可得，所以．②由，当且仅当，或，时等号成立，所以面积的最小值为．【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围22．已知曲线和直线（为参数）．(1)求曲线的参数方程和直线的普通方程；(2)过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．【答案】(1)（为参数），(2)， 【分析】（1）令，即可得到椭圆的参数方程；消去，即可得到直线的普通方程；（2）根据参数方程，表示出点到直线的距离，再表示出，根据辅助角公式，即可求出的最值.【详解】（1）令，可得曲线C的参数方程为（为参数）；根据消去可得，直线l的普通方程为．（2）设曲线C上任意一点到直线l：的距离为，其中，且为锐角．过点作，垂足为，如图，则，，在中，，其中，且为锐角．故当时，取得最大值为，当时，取得最小值为．23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分别在、和三种情况下，去除绝对值符号后解不等式求得结果；（2）将问题转化为在上恒成立，得到，从而确定，可得，解不等式组求得结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为.①当时，，解得：，；②当时，，解得：，；③当时，，解得：，；综上所述：不等式的解集为或.（2）由知：，，在上恒成立，，即，，解得：，，解得：，即实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是能够根据将问题转化为恒成立问题的求解，从而将问题转化为参数与的最值之间大小关系的问题.