2023届湘豫名校联考高三5月三模数学（文）试题含解析

2023届湘豫名校联考高三5月三模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得集合B，根据集合的交集运算可得答案.

【详解】因为集合，，

所以，

故选：B.

2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则求复数的代数形式，结合复数的几何意义求其对应点的坐标及其象限.

【详解】因为复数，

所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.

故选：C.

3．已知向量，满足，，则（    ）

A． B．29 C． D．13

【答案】A

【分析】分别求得，，进而根据数量积的坐标公式即可求解.

【详解】因为向量，所以①.又②，

①②两式相减得，所以，.

所以.

故选：A.

4．已知x，y满足约束条件则的最大值为（    ）

A．4 B．9 C．11 D．12

【答案】C

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.

【详解】作出可行域，如图中阴影部分所示，

由可得，

平移直线，当直线经过点时，取最大值.

由解得所以.

故.

故选：C.

5．某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（    ）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数

【答案】D

【分析】根据平均数，众数和中位数的定义求出答案，判断ABC选项，利用方差的概念得到方差小于，从而选出正确答案.

【详解】经计算，这10位同学一周课外体育运动总时长的平均数为，

8.3出现了两次，其他数均出现了一次，故众数为8.3，

从小到大排列，选择第5和第6个数的平均数作为中位数，故中位数为，

由于平均数为8，而最小数为6.3，与平均数相差为1.7，最大数为8.8，与平均数相差为1.8，故方差小于，

故最大值为8.3，为众数.

故选：D.

6．若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.

【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，

当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，

若将点代入，得①，

又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.

当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，

联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，

综上所述，双曲线的标准方程为或.

故选：C.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断.

【详解】因为，易知的定义域为.

因为，所以为奇函数，

图象关的原点对称.排除A，D选项；

又，，所以排除C选项.

故选：B.

8．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，m分别为1，1，4，则输出的（    ）

A．4 B．5 C．18 D．272

【答案】C

【分析】按流程图顺序运算可得结果.

【详解】执行程序框图，第一次循环：，，，，；

第二次循环：，，，，；

第三次循环：，，，，；

第四次循环：，，，，，

此时，退出循环，输出.

故选：C.

9．已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.

【详解】因为，，且，

由基本不等式可得（当且仅当时取等号），A正确；

由基本不等式知，则，

即（当且仅当时取等号），B正确；

由题得，

由已知，故，所以，

故，C正确；

由基本不等式可得，

即（当且仅当时取等号），D错误.

故选：D.

10．已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（    ）

A．1010 B．1011 C．2021 D．2022

【答案】D

【分析】设等差数列的公差为，由与联立可得关于的方程组，求解可得根据等差数列的通项公式可得，再由分组求和法即可求解.

【详解】设等差数列的公差为，

则由,得，

化简得,解得

所以.

设数列的前n项和为，

当时，；

当时，.

所以

.

故选:D.

11．已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据勾股定理及三角形的周长公式，利用线面垂直的性质及判定定理，结合球的体积公式即可求解.

【详解】由题意可知，作出图形如图所示

在中，设，则.

所以的周长为.

所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.

所以点A到边BC的距离为1.

当AQ取最小值时，因为在中，，

所以.

又，所以C，Q两点重合，

所以，即.

又平面，平面，所以.

又，平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为PB是和的公共斜边，

所以PB为三棱锥的外接球的直径，

设外接球的半径为R，则，

所以三棱锥的外接球的体积.

故选：A.

12．已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可得当时，可得恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求的取值范围

【详解】因为，函数在上的最小值为，

所以对，恒成立，

所以恒成立，即恒成立，

当时，，

当时，可得恒成立.

当或时，不等式显然成立；

当时，，

因为，所以，，，

所以；

当时，，

因为，所以，，，

所以.

综上可得，实数b的取值范围是.

故选：D.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔.

二、填空题

13．若数列是公比为的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由已知条件求出的取值范围，即可得出数列的一个通项公式.

【详解】由，得，即，即，所以.

令，所以，所以可取（答案不唯一）

故答案为：（答案不唯一）.

14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.

【答案】

【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求得点到直线距离的最大值.

【详解】由题可得，圆心，半径，

圆心到直线的距离等于，

所以点到直线的距离的最大值为.

故答案为：.

15．已知是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______.

【答案】

【分析】先根据题意可得的一个周期为8，再化简，而，得到，从而得到，代入解析式即可求解.

【详解】因为为奇函数，所以.

因为，

所以，

所以，所以.

所以的一个周期为8.

.

因为，所以，所以.

因为当时，，是周期为8的奇函数，

所以

.

故答案为：

16．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可.

【详解】将函数的图像先向右平移个单位长度，得到函数的图像，

再把所得函数图像的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，

当时，.由在上没有零点，得，

即，解得或.

故答案为：.

三、解答题

17．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）使用三角恒等变换及余弦定理化简得；

（2）结合及正余弦定理可求的值.

【详解】（1）因为，

所以.

所以.

根据余弦定理，得，

所以.

所以.

所以a，b，c成等比数列.

（2）由余弦定理，得.

因为，所以由正弦定理，得.

所以.

所以.

18．随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.

(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）

(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）

参考公式：对于一组数据（，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：.

【答案】(1)，与有很强的线性相关性

(2)

(3)4人

【分析】（1）根据题意将数据代入公式中计算出然后分析即可；

（2）计算因为即可；

（3）将代入计算即可.

【详解】（1）由已知数据可得：

，， ，

，

，

所以相关系数.

因为，所以与有很强的线性相关性.

（2）因为，

，

所以关于的线性回归方程为.

（3）当时，，

故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.

19．如图，直三棱柱中，，，，为上一点，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作于点E，交于点F，连接DF，由条件证明，根据面面垂直判定定理证明平面，

由线面垂直性质可得平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面；

（2）先证明平面，由条件求线段，结合锥体体积公式求五面体的体积.

【详解】（1）如图，作于点E，交于点F，连接DF.

因为，，，

所以.

所以.

所以.

由勾股定理得.

所以，所以.

又，，所以.

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面 平面，平面 平面，，

所以平面.

所以平面.

又平面，所以平面 平面.

（2）由题易得五面体即四棱锥

由（1）知，

又，，平面，

所以平面.

所以四棱锥的高为.

因为直三棱柱的表面积为，

所以，

解得，即.

所以.

又，

所以.

故五面体的体积为.

20．已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求，由此可得椭圆方程；

（2）由已知设的方程为，联立方程组利用设而不求法求，由此证明结论.

【详解】（1）依题意，的周长为，

解得.

设椭圆的半焦距为，

因为椭圆的离心率为，

所以，即，解得.

因为，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.

由消去得，

.

设，，则，.

所以，.

所以.

.

所以.

所以，为定值.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

（2）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）当时，. 因为，所以.

又，所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）当时，易得，，

所以，恒成立.

当时，，即.

不等式两边同时除以，且，得.

令，其中，

则.

因为，则，

令，则，可得，则，

当时，则，可得，则；

当时，则，可得，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以.

因为在上恒成立，所以，即.

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；

（2）将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），

所以消去参数t可得直线的普通方程为.

因为曲线的极坐标方程为，即，

所以.

由得.

所以曲线C的直角坐标方程为

（2）因为点P的极坐标为，

所以点P的直角坐标为.

易得，点P在直线上，

将直线的参数方程（t为参数）代入，

化简得，.

设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，

所以，.

所以.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后列出不等式组求解即可得到结果．

（2）利用绝对值三角不等式可得，即可转化为，解出即可．

【详解】（1）当时，，

不等式，可化为

则或或，

解得或或.

故不等式的解集为.

（2）

（当且仅当时等号成立）.

因为恒成立，所以.

又，所以.

解得.

故实数a的取值范围是.