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2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）含答案
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这是一份2023届新高考地区百强名校新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）含答案，共42页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
【百强名校】2023届新高考地区百强名校
新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知角，满足，，则（ ）．
A． B． C．1 D．2
2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）
A．的周期为
B．图像的一条对称轴方程为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有且仅有4个极大值点
12．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
13．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（ ）
A．O，E，，四点共圆 B．
C． D．V的最大值为
14．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（ ）
A．若直线,则
B．的最小值为
C．直线过定点
D．线段的中点的轨迹长度为
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交C的右支于点A，B，若，则（ ）
A． B．C的渐近线方程为
C． D．与面积之比为2∶1
17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．
18．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
19．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得平面
C．点在某个球面上运动
D．当时，三棱锥外接球的体积为
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在使得A点处切线与点处切线垂直
三、填空题
21．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
22．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知数列满足：，记，且，则整数_____．
23．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.
24．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
25．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、双空题
26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为__________；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为__________．
五、解答题
27．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：为定值.
28．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数，
(1)时，若恒成立，求的取值范围；
(2)，在上有极值点，求证：．
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线的方程：
(2)直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
30．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
31．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对恒成立，求.
32．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
33．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
34．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围．
36．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．
2023届新高考地区百强名校
新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知角，满足，，则（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】B
2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
4．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A公众号：高中试卷君
二、多选题
11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）
A．的周期为
B．图像的一条对称轴方程为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有且仅有4个极大值点
【答案】ACD
12．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
13．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（ ）
A．O，E，，四点共圆 B．
C． D．V的最大值为
【答案】ACD
14．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（ ）
A．若直线,则
B．的最小值为
C．直线过定点
D．线段的中点的轨迹长度为
【答案】BC
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
16．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交C的右支于点A，B，若，则（ ）
A． B．C的渐近线方程为
C． D．与面积之比为2∶1
【答案】ABC
17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．
【答案】ABC
18．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
【答案】ACD
19．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得平面
C．点在某个球面上运动
D．当时，三棱锥外接球的体积为
【答案】ACD
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在使得A点处切线与点处切线垂直
【答案】ABD
三、填空题
21．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】
22．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知数列满足：，记，且，则整数_____．
【答案】公众号：高中试卷君
23．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
24．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
25．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、双空题
26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为__________；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为__________．
【答案】
五、解答题
27．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意表示出点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解.
【详解】（1）设双曲线，易知.
由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：
，则，
又，则解得，
则双曲线.
（2）设直线的方程为：，（且），，.
联立，消得：，
，，
，①，②
联立①②，解得：.
又，同理，，
把它们代入，得
，
故，得证.
28．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数，
(1)时，若恒成立，求的取值范围；
(2)，在上有极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用导数讨论单调性求函数的最值，即可求的范围；
(2)利用作差法构造函数，根据导函数讨论单调性和最值，即可证明不等式.
【详解】（1），令，则，
令，则有恒成立，
，
当时，在上恒成立（不恒为零），故在上为减函数，
故即恒成立，
当，，因为的图象是连续不断的，
故存在，使得，有，
故在上为增函数，故，有，
这与题设矛盾，
故.
（2）
令，则，令，则
令，则有，即
，由（1）得，
，
令，，，
在上单调递增，，．
时，，
，得证．
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线的方程：
(2)直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据切线性质得出圆在点处的切线方程,又因为点同时在直线上，得出直线的方程;
(2)先根据直线与圆相切得出关于点坐标的式子,同理得出关于点坐标的式子,最后应用两点间距离公式计算可得线段的长度.
【详解】（1）由可得圆心，半径为1，
设，，设是圆在点处的切线上一点，则
即
则圆在点处的切线方程分别为，
又因为点同时在直线上，所以有，，
所以，是方程的解,
所以直线的方程是．
（2）设，，则，又，
化简整理得，
因为直线与圆相切，则，即，
同理可得，
所以是方程的两个不等实根，
有，，．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
30．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）法一：
因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以.
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
31．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对恒成立，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负确定的单调性，根据每段区间内都有可证得结论；
（2）将问题转化为在上恒成立，根据和最值点的特征可确定为的极大值点，由极值点定义可求得；代回函数中验证，利用导数可说明当时，，由此可确定其符合题意.
【详解】（1）；
①当时，，，
又，，在上单调递增，
，即；
②当时，，此时单调递增，
又在上单调递减，在上单调递减，
，，
，使得，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，；
③当时，，，
又，，在上单调递减，
，即；
综上所述：当时，.
（2）令，
则在上恒成立；
，，
为的一个极大值点，
又，，解得：；
当时，由知：，
令，则，
令，则；
当时，，单调递减，，
在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，在上恒成立，符合题意；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式、导数中的恒成立问题；本题求解恒成立中的参数值的基本思路是：通过函数的最值，结合自变量区间和函数最值只能在极值点或区间端点处取得的特征，确定函数的极值点，从而求解出参数值；易错点是求解出参数值后，忽略验证的过程，导致解析过程不够严谨.
32．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为和
(2)的范围是，证明见解析
【分析】（1）求出导函数，令、解不等式可得答案；
（2）当、讨论不符合题意；当时求出得在和均单调递增，当时，由、得在上有一个零点；当，，在上有一个零点，所以的范围是，可得，，再由，得的两个零点，再利用基本不等式得可得答案.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，导函数，
令，得或；
令，得且；
所以的单调增区间为和，单调减区间为和；
（2）当时，只有1个零点，不符合题意；
当时，若，则；若，则，不符合题意，所以.
当时，，所以在和均单调递增.
当时，由，
，
所以在上有一个零点；
当，同理，
所以在上有一个零点，所以的范围是，
因为的两个零点为，
所以，即，所以，
同理，，
所以，
若，即，
则，
所以的两个零点互为倒数，即，
所以（等号不成立），所以，
所以，
所以得证.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用导数判断出两个零点互为倒数，本题考查了学生的分析问题、解决问题以及运算能力，属于难题.
33．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用三角形周长求出a，当为的上顶点时，求出直线l方程，进而求出点的坐标，利用三角形面积求出b作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算推理作答.
【详解】（1）依题意，的周长，
解得，则椭圆，令椭圆的半焦距为c，
当为的上顶点时，直线为：，由消去y得，
解得或，于是得点，
又的面积为，则，整理得，
则有，解得或，有或，因为，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，，直线的方程为，
由消去得，
设，则，
而，
，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
34．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出，然后在定义域范围内分析即可.
（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得：，
当变化时的关系如下表：
0
1
无意义
0
无意义
在上单调递减；在上单调递增.
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证：
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得：
令：，则，
根据（1）得在上单调递减；
在上单调递增（如下图所示），
由于在上单调递减，在上单调递增，
要使且，
则必有，即
由得：.
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：，
只需证：，
又，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
即证，
令，
只需证：，
，
令，
在上单调递减，
所以，
所以
所以在上单调递减，所以
所以
所以：.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】(1)由题意可得，根据的正负及即可得答案；
(2)由题意可得，记，利用导数，根据函数在内有两个不同的零点求解即可.
【详解】（1）解：因为当时，，，
所以，
令，得；
令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：因为，
，
所以，
所以切点为 ，切线的斜率
所以切线，
记，
则，
令，
则，
所以当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
令，
①当，即时，则，不满足条件；
②当，即时，易有，使得在上单调递减，在上单调递增；
又因为，
所以在上单调递增，在内只可能单调递减或者先减后增，
又因为，，
所以存在为函数的一个零点，
所以只需在内存在一个零点即可，
因为，
所以只需即可，
解得，此时存在，使得，满足题意；
当时，在内再无零点.
综上所述：实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数确定函数单调性时，如果第一次求导后不能确定导数的正负时，需进行再次求导，或构造函数进行再求导.
36．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果；
（2）设直线，根据题意求的坐标，由圆的性质可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设，不妨设M为双曲线右支上一动点，则，
则，即，
可得，
注意到，则，
由题意可得：，即，
则，
∵的对称轴为，则在上单调递增，
故，
则，解得或（舍去），
可得，
故双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可得，设直线，
联立方程，消去y得，
则，
直线，令，则，
即点，
同理可得点，
若O，A，P，Q四点共圆，则，
∵，
注意到，，且点P，Q位于同一象限，即，
可得，
故，
整理得，
则，
整理得，解得或（舍去），
故实数m的值为.
【点睛】方法定睛：解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
【百强名校】2023届新高考地区百强名校
新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知角，满足，，则（ ）．
A． B． C．1 D．2
2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）
A．的周期为
B．图像的一条对称轴方程为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有且仅有4个极大值点
12．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
13．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（ ）
A．O，E，，四点共圆 B．
C． D．V的最大值为
14．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（ ）
A．若直线,则
B．的最小值为
C．直线过定点
D．线段的中点的轨迹长度为
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交C的右支于点A，B，若，则（ ）
A． B．C的渐近线方程为
C． D．与面积之比为2∶1
17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．
18．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
19．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得平面
C．点在某个球面上运动
D．当时，三棱锥外接球的体积为
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在使得A点处切线与点处切线垂直
三、填空题
21．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
22．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知数列满足：，记，且，则整数_____．
23．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.
24．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
25．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、双空题
26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为__________；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为__________．
五、解答题
27．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：为定值.
28．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数，
(1)时，若恒成立，求的取值范围；
(2)，在上有极值点，求证：．
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线的方程：
(2)直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
30．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
31．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对恒成立，求.
32．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
33．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
34．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围．
36．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．
2023届新高考地区百强名校
新高考数学模拟考试压轴题精编卷（三）（新高考通用）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知角，满足，，则（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】B
2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
4．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）如图，在中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，正数满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A公众号：高中试卷君
二、多选题
11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数图像过点，且存在，当时，，则（ ）
A．的周期为
B．图像的一条对称轴方程为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有且仅有4个极大值点
【答案】ACD
12．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
13．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知球O的半径为4，球心O在大小为的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB的长为4，E为AB的中点，四面体得体积为V，则一定正确的是（ ）
A．O，E，，四点共圆 B．
C． D．V的最大值为
【答案】ACD
14．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（ ）
A．若直线,则
B．的最小值为
C．直线过定点
D．线段的中点的轨迹长度为
【答案】BC
15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
16．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交C的右支于点A，B，若，则（ ）
A． B．C的渐近线方程为
C． D．与面积之比为2∶1
【答案】ABC
17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列满足，，，则下列结论正确的有（ ）．
A．数列是递增数列 B．
C． D．
【答案】ABC
18．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知，为函数图象上两点，且轴，直线，分别是函数图象在点处的切线，且，的交点为，，与轴的交点分别为，则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．的面积 D．存在直线，使与函数图象相切
【答案】ACD
19．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得
B．存在，使得平面
C．点在某个球面上运动
D．当时，三棱锥外接球的体积为
【答案】ACD
20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）直线与函数的图像有4个不同的交点，并且从左到右四个交点分别为，它们的横坐标依次是，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在使得A点处切线与点处切线垂直
【答案】ABD
三、填空题
21．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】
22．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知数列满足：，记，且，则整数_____．
【答案】公众号：高中试卷君
23．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
24．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
25．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________.
四、双空题
26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为__________；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为__________．
【答案】
五、解答题
27．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意表示出点的横坐标，求出纵坐标，表示面积即可求解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理证明求解.
【详解】（1）设双曲线，易知.
由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：
，则，
又，则解得，
则双曲线.
（2）设直线的方程为：，（且），，.
联立，消得：，
，，
，①，②
联立①②，解得：.
又，同理，，
把它们代入，得
，
故，得证.
28．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数，
(1)时，若恒成立，求的取值范围；
(2)，在上有极值点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用导数讨论单调性求函数的最值，即可求的范围；
(2)利用作差法构造函数，根据导函数讨论单调性和最值，即可证明不等式.
【详解】（1），令，则，
令，则有恒成立，
，
当时，在上恒成立（不恒为零），故在上为减函数，
故即恒成立，
当，，因为的图象是连续不断的，
故存在，使得，有，
故在上为增函数，故，有，
这与题设矛盾，
故.
（2）
令，则，令，则
令，则有，即
，由（1）得，
，
令，，，
在上单调递增，，．
时，，
，得证．
29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知抛物线上一点，圆：，过作圆的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线的方程：
(2)直线分别与抛物线交于两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据切线性质得出圆在点处的切线方程,又因为点同时在直线上，得出直线的方程;
(2)先根据直线与圆相切得出关于点坐标的式子,同理得出关于点坐标的式子,最后应用两点间距离公式计算可得线段的长度.
【详解】（1）由可得圆心，半径为1，
设，，设是圆在点处的切线上一点，则
即
则圆在点处的切线方程分别为，
又因为点同时在直线上，所以有，，
所以，是方程的解,
所以直线的方程是．
（2）设，，则，又，
化简整理得，
因为直线与圆相切，则，即，
同理可得，
所以是方程的两个不等实根，
有，，．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
30．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为4，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，
(1)设直线的斜率分别为，求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）法一：根据实轴长，求得a值，根据题意，求得，可得b值，即可得曲线C方程，设直线方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
法二：由题意，求得a，b的值，即可得曲线C方程，设方程为，与双曲线联立，根据韦达定理，可得表达式，代入，化简整理，即可得答案.
（2）法一：因为，根据二倍角的正切公式，结合及，化简计算，可得，进而可得方程，与曲线C联立，可得M点坐标，即可得直线的方程，根据面积公式，即可得答案.
法二：设，由，结合二倍角正切公式，可得的值，进而可得直线方程，与曲线C联立，可得，同理可得，代入面积公式，即可得答案.
【详解】（1）法一：
因为，所以，令得，
所以，解得，
所以的方程为
显然直线与轴不垂直，设其方程为，
联立直线与的方程，消去得，
当时，，
设，则.
因为，
所以.
法二：
由题意得，解得，
双曲线的方程为.
设方程为，
联立，可得，
，，
，
.
（2）法一：
因为，
所以，
又因为，
所以，即，（※）
将代入（※）得，
因为在轴上方，所以，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或（舍），所以，
代入，得，所以直线方程为，
联立与直线方程，消去得，，
解得或，
所以的面积为.
法二：
设，由，可得，
，解得，
方程，
联立，可得，解得，
同理联立，解得，
.
31．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对恒成立，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负确定的单调性，根据每段区间内都有可证得结论；
（2）将问题转化为在上恒成立，根据和最值点的特征可确定为的极大值点，由极值点定义可求得；代回函数中验证，利用导数可说明当时，，由此可确定其符合题意.
【详解】（1）；
①当时，，，
又，，在上单调递增，
，即；
②当时，，此时单调递增，
又在上单调递减，在上单调递减，
，，
，使得，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，；
③当时，，，
又，，在上单调递减，
，即；
综上所述：当时，.
（2）令，
则在上恒成立；
，，
为的一个极大值点，
又，，解得：；
当时，由知：，
令，则，
令，则；
当时，，单调递减，，
在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，在上恒成立，符合题意；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式、导数中的恒成立问题；本题求解恒成立中的参数值的基本思路是：通过函数的最值，结合自变量区间和函数最值只能在极值点或区间端点处取得的特征，确定函数的极值点，从而求解出参数值；易错点是求解出参数值后，忽略验证的过程，导致解析过程不够严谨.
32．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为和
(2)的范围是，证明见解析
【分析】（1）求出导函数，令、解不等式可得答案；
（2）当、讨论不符合题意；当时求出得在和均单调递增，当时，由、得在上有一个零点；当，，在上有一个零点，所以的范围是，可得，，再由，得的两个零点，再利用基本不等式得可得答案.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，导函数，
令，得或；
令，得且；
所以的单调增区间为和，单调减区间为和；
（2）当时，只有1个零点，不符合题意；
当时，若，则；若，则，不符合题意，所以.
当时，，所以在和均单调递增.
当时，由，
，
所以在上有一个零点；
当，同理，
所以在上有一个零点，所以的范围是，
因为的两个零点为，
所以，即，所以，
同理，，
所以，
若，即，
则，
所以的两个零点互为倒数，即，
所以（等号不成立），所以，
所以，
所以得证.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用导数判断出两个零点互为倒数，本题考查了学生的分析问题、解决问题以及运算能力，属于难题.
33．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为
(1)求的方程；
(2)若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用三角形周长求出a，当为的上顶点时，求出直线l方程，进而求出点的坐标，利用三角形面积求出b作答.
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算推理作答.
【详解】（1）依题意，的周长，
解得，则椭圆，令椭圆的半焦距为c，
当为的上顶点时，直线为：，由消去y得，
解得或，于是得点，
又的面积为，则，整理得，
则有，解得或，有或，因为，则，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，，直线的方程为，
由消去得，
设，则，
而，
，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
34．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出，然后在定义域范围内分析即可.
（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得：，
当变化时的关系如下表：
0
1
无意义
0
无意义
在上单调递减；在上单调递增.
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证：
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得：
令：，则，
根据（1）得在上单调递减；
在上单调递增（如下图所示），
由于在上单调递减，在上单调递增，
要使且，
则必有，即
由得：.
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：，
只需证：，
又，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
即证，
令，
只需证：，
，
令，
在上单调递减，
所以，
所以
所以在上单调递减，所以
所以
所以：.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
35．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，设直线l为在处的切线，且l与的图像在内有两个不同公共点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】(1)由题意可得，根据的正负及即可得答案；
(2)由题意可得，记，利用导数，根据函数在内有两个不同的零点求解即可.
【详解】（1）解：因为当时，，，
所以，
令，得；
令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：因为，
，
所以，
所以切点为 ，切线的斜率
所以切线，
记，
则，
令，
则，
所以当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
令，
①当，即时，则，不满足条件；
②当，即时，易有，使得在上单调递减，在上单调递增；
又因为，
所以在上单调递增，在内只可能单调递减或者先减后增，
又因为，，
所以存在为函数的一个零点，
所以只需在内存在一个零点即可，
因为，
所以只需即可，
解得，此时存在，使得，满足题意；
当时，在内再无零点.
综上所述：实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用导数确定函数单调性时，如果第一次求导后不能确定导数的正负时，需进行再次求导，或构造函数进行再求导.
36．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的方程可得，根据题意结合双曲线的定义，运算求解即可得结果；
（2）设直线，根据题意求的坐标，由圆的性质可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设，不妨设M为双曲线右支上一动点，则，
则，即，
可得，
注意到，则，
由题意可得：，即，
则，
∵的对称轴为，则在上单调递增，
故，
则，解得或（舍去），
可得，
故双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可得，设直线，
联立方程，消去y得，
则，
直线，令，则，
即点，
同理可得点，
若O，A，P，Q四点共圆，则，
∵，
注意到，，且点P，Q位于同一象限，即，
可得，
故，
整理得，
则，
整理得，解得或（舍去），
故实数m的值为.
【点睛】方法定睛：解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
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