2023届湖南省名校高三下学期5月适应性测试数学试题含解析

这是一份2023届湖南省名校高三下学期5月适应性测试数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖南省名校高三下学期5月适应性测试数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的交运算即可化简求解.【详解】由题意可知，则.故选：B2．设，则（    ）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】先把化简为的形式，求出，再相减即可.【详解】由题意可得，则，所以.故选：A3．函数的最小正周期和最小值分别是（    ）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】先把三角函数化简为（）形式，最小正周期，再根据三角函数有界性求最小值即可.【详解】，则的最小正周期，当，即时，取到最小值为.故选：C.【点睛】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.4．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（    ）A．4 B． C． D．2【答案】D【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.【详解】由，得，则，根据抛物线的定义知2，解得，代入，得，所以的面积为.故选：D.5．已知函数在处取得极大值4，则（    ）A．8 B． C．2 D．【答案】B【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.【详解】因为，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以.故选：B6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】C【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种， ②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，所以不同的安排方法有种.故选：C7．如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由数量积的几何意义，先求在上的投影的取值范围，再乘以，则可得到的取值范围.【详解】如图，延长，过点做交的延长线于点.因为，，,所以.由图可知当在点处时，在上的投影有最大值1，当在点处时，在上的投影有最小值，又因为，所以的取值范围是.故选：D8．已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，做出其轴截面的图形，结合相似以及基本不等式即可得到结果.【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示，点为球心，为切点，设内切球的半径为，圆锥的底面圆的半径为，高为，所以，则，易知，所以，则，即，圆锥的体积，当且仅当时，等号成立.故选:A 二、多选题9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（    ）A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍C．产品升级后，产品C的营收减少D．产品升级后，产品B､D营收的总和占总营收的比例不变【答案】ABD【分析】根据扇形统计图由产品升级前的营收为，升级后的营收为，结合图中数据即可结合选项逐一求解.【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为.对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确.对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确，对于产品 ，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收增加，C错误.产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变，D正确.故选：ABD10．已知圆与圆，下列说法正确的是（    ）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；做差可得与相交弦的方程为到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；若分别是圆上的动点，则，故D正确.故选：BD11．如图，在棱长为1的正方体中，分别为和的中点，是截面上的一个动点（不包含边界），若，则下列结论正确的是（    ）A．的最小值为B．三棱锥的体积为定值C．有且仅有一个点，使得平面D．的最小值为【答案】BCD【分析】根据线面垂直计算可以判断A选项，由线面平行可以判断B选项，根据线线平行得到线面平行应用反证法得出唯一性可以得到C选项，展开图可以得出最小值判断D选项.【详解】若，则在平面上的投影在上，所以的轨迹为的最小值为到的距离，，故的最小值为，故错误；因为分别为和的中点，所以，的轨迹为,到平面的距离为定值所以三棱锥的体积为定值，故B正确；当且仅当为的中点时，平面，若存在两个点M,平面,平面,,平面,平面,平面平面,得出矛盾，故C正确；将平面翻折到与平面重合，，所以，所以，所以的最小值为，故D正确.故选：:BCD.12．下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】构造函数根据函数单调性比较大小关系分别判断各个选项.【详解】令，则，令且，则.所以单调递增，故，仅当时等号成立，即，所以，故错误.从而，所以，综上，.令，则，令，则，当时，单调递减，所以，从而可得，所以在上单调递减，所以，化简可得，故C正确.因为时，故，即，所以时，.令，则，即，令，故B正确，D错误.故选:BC. 三、填空题13．如图，三个相同的正方形相接（在同一平面中），则______.【答案】/【分析】根据两角差的正切公式直接计算即可.【详解】在中，，在中，，所以故答案为：14．已知函数.若.则的取值范围是__________.【答案】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为函数定义域为，，，所以是奇函数且在上单调递增，由0，可得，则，解得，即的取值范围是.故答案为：. 四、双空题15．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点（不重合），的垂直平分线过点，则中点的坐标为__________，双曲线的离心率为_________【答案】     /     【分析】第一空由垂直平分线与垂直且过点可得垂直平分线方程，联立直线与垂直平分线方程，解得交点即为的中点；第二问设的坐标，分别代入渐近线方程，作差化简即可得到，代入离心率公式即可得到答案.【详解】如图，由题可知的垂直平分线的方程为，将与联立可得即的中点坐标为.设，则两式作差可得，即，因为，，所以，则双曲线的离心率为.故答案为：， 五、填空题16．为激发大家学习数学的兴趣，在一次数学活动课上.老师设计了有序实数组表示把中每个都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：，则.定义.若，则中有______个1.【答案】【分析】根据给定有序实数组定义，写出，探究所具有的规律，再利用数列知识求解即可.【详解】因为，依题意，，显然，中有2项，其中1项为项为，中有4项，其中1项为项为1，2项为，中有8项，其中3项为项为1，2项为0，由此可得总共有项，其中1和-1的项数相同.设中有项为，项为0，所以，从而，因为表示把中每个-1都变为，每个0都变为，每个1都变为0，1，所得到的新的有序实数组，则，所以，,可得，即，则，所以，解得，所以中有个1.故答案为：【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，解题时要通过阅读，理解所给出的新定义，并将其应用在解题中. 六、解答题17．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.(1)求的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算求解可得；（2）应用错位相减法计算即可.【详解】（1）因为，所以，因为是公差为2的等差数列，所以，所以.（2），①所以，②① -②则，所以.18．在中，角所对的边分别为的面积为.(1)求的大小.(2)点满足.若，求.【答案】(1)(2). 【分析】（1）由三角形的面积公式、正弦定理得边化角和两角和与差的正弦公式化简已知式，即可得出答案；（2）由余弦定理可得，由平面向量的减法公式可得，对其两边同时平方有，解方程即可求出答案.【详解】（1）因为的面积为，所以，因为，所以，则，由正弦定理得，所以，展开得，即，因为，所以，即.又因为，所以.（2）由余弦定理知，，则.①由题可知，，所以，即,又，所以，故，又，所以，则，②由①②得，化简得，解得.③将③代入①，解得.19．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据，并计算得=30.A充电桩投资金额x/万元3467910所伏利润y/百万元1.5234.567(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其经验回归方程；(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀投资额”.记2分，所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应的投入额为“良好投资额”，记1分，所获利润y与投资金额x的比值不超过，则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分，现从表中6个投资金额中任意选2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据已知数据，利用最小二乘法，求出回归系数，可得线性回归方程；（2）利用概率公式求出随机向量X的概率，可得随机变量X的分布列，代入期望公式计算即可.【详解】（1）根据获得的利润统计数据，可得，，，所以，所以，所以关于的经验回归方程为.（2）由题意，，，，，，，所以“优秀投资额”有2个，“良好投资额”有1个，“不合格投资额”有3个.随机变量的可能取值为，，，，，，所以的分布列为01234数学期望.20．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体，如图，在羡除ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，(1)证明：平面ADE⊥平面.(2)求平面ABFE与平面BFC夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，从而得到面面垂直；（2）根据题意，以为坐标原点，分别以的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.【详解】（1）证明：分别取和的中点，连接，则，在梯形中，，分别作垂直于，垂足分别为，易知，故.又，所以，因为平面FBC，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，从而.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，得.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.21．已知椭圆的右焦点为，且是椭圆上一点.(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线（与轴不重合）与椭圆相交于两点，过的直线与轴交于点，与直线交于点（与不重合），记的面积分别为，若，求直线的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求出，再根据之间的关系求出，即可得解；（2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，根据直线与轴平行，可得，再根据化简即可得解.【详解】（1）由已知可得为的左焦点，所以，即，所以，故椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，则由得，显然，于是，由直线与轴平行，可得，所以，所以，解得，即，所以直线的方程为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知函数.(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求直线的方程；(2)已知，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导利用导数值求解斜率，结合垂直关系即可求解.（2）构造函数，，求导确定单调性，结合零点存在性定理即可求解.【详解】（1）解：，因为切线与直线垂直，所以，即，又，所以直线的方程为.（2）证明：，设，则，即在上是增函数，因为，所以，所以存在，使得，当时，，则，即在上单调递减，当时，，则，即在上单调递增，故是函数的极小值点，也是最小值点，则.又因为，所以，要证，只需证，即证.设，则在上单调递减，因为，所以，则，故.故当时，.【点睛】思路点睛：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.