2022届河南省郑州外国语学校高三调研考试（一）数学（理）试题含解析

2022届河南省郑州外国语学校高三调研考试（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解不等式求出集合A，再求两集合的交集

【详解】解：由，得，所以，

因为

所以．

故选：C．

2．已知函数，则函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.

【详解】因为，所以解得，所以函数的定义域为，

所以函数需满足且，解得且，

故选：D.

【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.

3．已知命题P：，使得，则命题为（    ）

A．，使得 B．，都有

C．，使得 D．，都有

【答案】D

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得；

【详解】解：命题P：，使得为存在量词命题，其否定为，都有

故选：D

4．设向量，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由向量坐标运算算出时满足的条件再与题中比较即可.

【详解】因为，

所以当时，即，又，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选:B

5．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将问题转化为比较的大小，然后构造函数，通过导数确定函数的单调性解决问题.

【详解】解析：，∵，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设，则，当时，，当时，，∴在上单调递减．∵，∴，∴．

故选：A.

6．已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（    ）

A．5 B．-2 C．1 D．2

【答案】D

【分析】先根据对称性分析出的奇偶性，然后根据分析出为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出的值.

【详解】由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，

又由，得，

所以是周期为的偶函数.

所以，

故选：D.

【点睛】结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：

（1）若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；

（2）若函数的图象关于点成中心对称，则为奇函数.

7．已知命题：①若，则；②“若，则”的逆否命题；③“若是偶数，则是偶数”的逆命题；④“若，则”的否命题其中真命题的个数有（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由不等式的性质可判断①；根据逆否命题可判断②；由逆命题可判断③；由否命题可判断④.

【详解】①若，则，为真命题.

②“若，则”的逆否命题为”若，则”是真命题.

③“若是偶数，则是偶数”的逆命题为”若是偶数，则，是偶数"为假命题.

④“若，则”的否命题为"若，则”是个假命题.

故真命题的个数为2个.

故选：C.

8．设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意知时的开口向上且值域，则问题转化为在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的取值范围.

【详解】∵，即开口向上且，

由恒成立，即在上恒成立，

∴当时，即，由二次函数的性质，显然成立；

当时，有两个零点，则只需满足，解得，故；

综上，的取值范围是.

故选：B

9．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（    ）

A．[，1） B．（0，] C．（1，） D．[）

【答案】B

【解析】令y＝logat，t＝2﹣ax，利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出a的取值范围．

【详解】令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0，∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减，

∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，

∴函数y＝logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立，∴，∴0＜a≤.

故选：B．

10．若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】先根据题意建立，的方程，再把用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到的最小值．

【详解】解：，因为切点在直线上，所以①，

，结合导数的几何意义有②，

因为，所以，

联立①②消去得，所以，，

令，则，

令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此，故的最小值为 1．

故选：．

11．已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】设，则，可得，令，然后利用导数求出其最大值即可

【详解】解：由题意设，则，

所以，

令，则，

因为，所以在上递减，

因为，所以当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得最大值为，

所以的最大值为1

故选：A

12．已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数，利用导数研究函数的单调性极值即可得出图象，令，对及其a分类讨论，结合图象即可得出.

【详解】解：函数，

，，，因此时，函数单调递增.

，，，可得函数在单调递增；

可得函数在单调递减.

可得：在时，函数取得极大值，.

画出图象：

可知：.

令，

①时，函数无零点.

②时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去.

，由，可知：此时函数无零点，舍去.

③，解得或.

解得，.

时，，.此时函数无零点，舍去.

因此，可得：.

由恰有四个不同的零点，

∴，，.

解得：.

则a取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.

二、填空题

13．设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .

【答案】2

【详解】，令，则为奇函数，

所以的最大值和最小值和为0，又.

有，即.

答案为：2.

14．已知函数,若存在及,使得成立,则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由题意即为当及时,函数的值域有交集,根据函数的单调性求出两个函数的值域,先求没有交集的情况,再取其补集即可.

【详解】根据一次函数性质易知函数在上的值域为，

函数在上的值域为.

若函数值域和函数的值域没有交集,

则或,

解得或,

所以要使当及时,函数的值域有交集,则.

故答案为：.

15．已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围．

【详解】函数，若存在使得不等式成立，

令，

，

所以，为奇函数．

不等式，即，

即，

所以，

因为在上为增函数，在上为增函数，

所以在上为增函数，

由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，

令，，

由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，

（1），（4），所以，，

所以由题意可得，

即实数的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性

16．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．

【答案】

【分析】由题意转化成在上有零点，通过构造函数，利用导数求函数的最值，再结合函数有零点，列式求实数m的取值范围.

【详解】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，

等价于在上有零点，

令

则，

所以在上，，单调递增，

在上，，单调递减，

则，又，

，

，

因，

又，

则，

所以①

②

解得．

故答案为:

三、解答题

17．已知集合P＝，函数的定义域为Q.

（Ⅰ）若PQ ，求实数的范围；

（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.

【答案】 (1) （2）

【分析】（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.

【详解】（Ⅰ）P＝，PQ，不等式在上有解，由得，而，

（Ⅱ） 在有解，即求的值域，

设

【点睛】（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),

18．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.

(1)若，且且为真，求实数的取值范围；

(2)非是非的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解、中对应的不等式，由且为真可求得实数的取值范围；

（2）根据是的充分不必要条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）命题：实数满足，其中，

由，得.又，所以，

当时，即为真命题时，实数的取值范围：.

又命题：实数满足.由解得，由解得，或，

所以为真时，实数的取值范围：.

若且为真，真真，则，

实数的取值范围是.

（2）不妨设，或，或

是的充分不必要条件，即，反之不成立，则是的真子集，

且，即，

实数的取值范围是.

19．函数对任意的都有,并且时，恒有.

(1).求证：在R上是增函数；

(2).若解不等式

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）利用函数的单调性的定义，结合已知条件转化，证明f（x）在R上是增函数；

（2）利用已知条件通过f（3）＝4，求出2＝f（1），然后利用函数的单调性解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

【详解】(1).设,且,则,所以

即,所以是R上的增函数.

(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.

，因为在R上为增函数，所以得到,

即.

【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性证明以及函数的单调性的应用，考查计算能力．

20．定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.

(1)求在上的解析式；

(2)判断在上的单调性；

(3)当为何值时，方程在上有实数解.

【答案】(1)

(2)在上为减函数

(3)或

【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解，

（2）由单调性的定义即可求解,

（3）由单调性求解函数的值域，即可求解.

【详解】（1）是上的奇函数，.

又为最小正周期，.

设，则，

（2）设，由于所以，，

所以

在上为减函数.

（3）在上为减函数，，即.

同理，在上时，.

又，

当或时，在内有实数解.

21．已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为．

（1）若方程有两个相等的实数根，求的解析式；

（2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围．

【答案】（1），（2）．

【分析】（1）依据不等式的解集为，可设函数的解析式为，得出的解析式．再利用有两个相等的实数根，通过求出的值最后代入即可；

（2）根据若函数区间内单调递减，通过导函数，求的取值范围．

【详解】解：（1）∵的解集为，

∴可设，且，

因而,

由得,

∵方程有两个相等的根，

∴，

即解得或,

由于，（舍去），将代入,

得的解析式为．

（2），

∵在区间内单调递减，

∴在区间上的函数值非正，

由于，对称轴，

故

因为，∴，

得或（舍去），

故所求的取值范围是．

22．已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）

(1)求的解析式及单调递减区间；

(2)若存在，使函数成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，单调递减区间是和.

(2).

【分析】（1）首先求得函数定义域与，然后利用导数的几何意义求得的值，从而根据求得函数的单调递减区间；

（2）首先将问题转化为，然后求得，并求得其单调区间，从而求得其最小值，进而求得的范围．

【详解】（1）

解：由及得函数的定义域为，

  由题意  解得，

故，此时，

由得或，

所以函数的单调递减区间是和.

（2）解：因为，

由已知，若存在使函数成立，

则只需满足当时，即可．

又，

则，

若，则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以，

∴，又∵，∴．

若，则在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的最小值为，

又，又，满足题意，

综上所述，的取值范围，即.