2023届河南省部分重点高中“顶尖计划”高三第四次考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省部分重点高中“顶尖计划”高三第四次考试数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省部分重点高中“顶尖计划”高三第四次考试数学（理）试题

一、单选题
1．已知集合A为英文单词“book”的字母组成的集合，集合B为英文单词“bike”的字母组成的集合，则集合的子集个数为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先写出集合A,B,再求出交集，最后确定子集个数即可.

【详解】由题意，，
其子集为，，，，共4个．
故选：D.

2．已知复数，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意，由复数的运算将化简，然后结合复数的模长公式即可得到结果.
【详解】因为，所以．
故选:B
3．《工程做法则例》是清朝雍正时期官方发布的一部较为系统全面的建筑工程专书，里面有一句话：“凡檐柱（支撑屋檐的柱子）以面阔十分之八定高，以百分之七定径寸（直径）．”这句话规定了房屋檐柱的高、直径与房屋宽度之间的比例．假设某座房子的“面阔”为，檐柱形状为圆柱，根据书中这句话的要求，这座房子的一根檐柱的体积为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由圆柱的体积计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】根据题意，檐柱的高为，檐柱的直径为，所以檐柱的体积为
．
故选:A
4．已知圆与圆C关于直线对称，且点，，P是圆C上一点，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的方程，画图分析即可求出的最大值.
【详解】
圆的标准方程为，其圆心为，半径．
因为点关于直线对称的点为，所以圆C的方程为，
画图分析可知，当AP与圆C相切,且点P在x轴下方时，最大.
连接，则，
，，，
又，，
.
故选：C.
5．今年3月5日“学雷锋”日，甲、乙、丙、丁、戊等5名学生去4个敬老院帮助老人，若每名学生只去1个敬老院，且每个敬老院至少有1名学生去，则甲、乙到同一敬老院的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分组后分配，根据分步乘法计数原理，即可求出总的分配方案数，进而求出甲、乙到同一敬老院的分配数，根据古典概型即可求出答案.
【详解】将5名学生分为4组，每组的人数分别为2，1，1，1，再将这4组学生分配到4个敬老院，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为．
其中甲、乙到同一敬老院的分配方案有种，
所以，甲、乙到同一敬老院的概率为．
故选：A.
6．已知变量x与y的一组样本数据满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得．若变量，则当z的预测值最大时，变量x的取值约为（    ）
A．5.4 B．10.9 C．14.8 D．29.6
【答案】D
【分析】先求样本中心点，再由样本中心点求回归直线的参数，最后结合二次函数即可求出最值时变量值.

【详解】由已知可得，
所以，
同理，代入，得，
所以，所以，则，
令，则，
当时，z取最大值，此时．
故选:D.
7．在直角坐标系中，点P，Q绕坐标原点按逆时针方向同时开始做匀速圆周运动，点P从点出发，角速度为，点Q从点出发，角速度为，以射线OP与OQ为终边的角分别设为与，则后，（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分别得到后点的坐标，从而得到的正，余弦函数值，再通过余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】由题意，后OP旋转了，点P的坐标变为，则，；
后OQ旋转了，点Q的坐标变为，则，．
所以．
故选:A
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据确定点的横坐标满足的关系式，再根据点在双曲线的右支上得到点的横坐标满足的不等式，解不等式即可.
【详解】设点的横坐标为，，，即，
由题可知，，得．
故选：D.
9．将函数的图像上各点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，若在区间上的最大值为M，最小值为N，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，可得函数的解析式，结合条件可得当与关于直线对称时，最小，从而求得结果.
【详解】由题意知，最小正周期为，其图像的对称轴方程为，而区间的长度是最小正周期的，
由正弦曲线的形状可知，当与关于直线对称时，最小．取对称轴，则，
此时在区间上的最大值为1，最小值为，故的最小值为．
故选：D
10．已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设切线l与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.
【详解】设该切线为l，对求导得，
所以l的方程为，即．
设l与曲线相切的切点为，
则l的方程又可以写为，即．
所以，．
消去m，可得，，
令，则．设，
当时，，所以在上单调递增，又，，
所以，所以．
故选：C.
11．已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设，相交于点，由平面，确定线面角，从而确定点的轨迹，从而得解.
【详解】因为长方体的外接球的表面积为，设外接球的半径为，
所以，解得或（舍去），即外接球的直径为，
设，，则，可得，
所以，当且仅当时，等号成立．
如图，设，相交于点，
因为，，平面，
所以平面，直线与平面所成角为，
所以，故，则点的轨迹是以为圆心，半径的半圆弧，
所以动点的轨迹长为．

故选：C
12．已知是定义在上的偶函数，，且在区间上单调递减，设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可推得关于点对称，的周期为8．进而根据周期性以及对称性，即可得出，.进而得出在区间上单调递减．构造函数，证明在上恒成立，根据函数的单调性，即可得出.令，证明当时，，根据函数的单调性，即可得出.
【详解】根据题意，可得，
，所以关于点对称.
又是定义在上的偶函数，则，
所以，所以，
所以的周期为8．
因为，
.
又因为在区间上单调递减，关于点对称，
所以在区间上也单调递减．
令，则在上恒成立，
所以，所以，
所以，.
因为，均在内，在区间上单调递减，
所以，所以.
令，则在上恒成立，
所以，所以当时，，
所以.
因为在区间上单调递减，所以，
所以.
综上所述，．
故选：B.
【点睛】思路点睛：已知函数的对称性，通过转化推得函数的周期，进而利用函数的单调性、周期性、单调性，比较函数值的大小.

二、填空题
13．已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为________．
【答案】8
【分析】作出不等式组表示的可行域，根据的几何意义，即可得出答案.
【详解】作出不等式组，表示的平面区域如图中阴影部分所示，

因为，所以，所以z表示直线在y轴上的截距，
当直线经过B点时，z最大.
联立，得，此时．
故答案为：.
14．已知向量，的夹角为，，是与方向相同的单位向量，且，则________．
【答案】
【分析】由已知根据数量积的运算即可推得，进而得出，进而即可根据数量积的运算律得出答案.
【详解】因为 ，所以，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以．
故答案为：.
15．已知不经过坐标原点O的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆经过点O，若当直线l变化时，点到直线l的最大距离为，则E的准线方程为________．
【答案】
【分析】设，，.联立直线与抛物线的方程可得，根据韦达定理得出坐标关系.由已知，代入坐标，整理可得，代入直线可得定点．当时，距离最大，由，即可得出的值，即可得出答案.
【详解】设，，，
联立直线与抛物线的方程，消去x可得，即，
由韦达定理可得，.
由已知可得，，所以，
解得或（舍去），
所以，故直线l过定点．
所以当时，P到直线l的距离最大.

因为，
由，
整理可得，
解得或（舍去），
故E的准线方程为．
故答案为：．
16．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意，由正弦定理化简可得，由，转化为函数值域问题，从而得到结果.
【详解】由正弦定理得，所以，所以，所以，所以，
因为，，所以或（舍去），所以．
因为，所以，所以．
所以

．
设，则，可得在上单调递增．
所以，故的取值范围是．
故答案为:

三、解答题
17．已知在数列中，，，且数列为等比数列．
(1)求实数的值；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据等比数列的概念，第项与第项的比是同一个常数，解出值.
（2）因为一部分是等比数列，一部分是等差乘等比的形式.先分组，等比数列利用公式求和，再对等差乘等比部分用错位想减进行求和.由两部分最终得到结果.
【详解】（1）由，
得，
因为数列为等比数列，
所以为定值，所以.
（2）因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即，
所以，
所以，
设，
则，
两式相减可得：
，
所以，
又，
故．
18．某条街边有A，B两个生意火爆的早餐店，A店主卖胡辣汤、油条等，B店主卖煎饼果子、豆浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了200名到这两个早餐店就餐的顾客，统计数据如下：

A店
B店
年龄50岁及以上
40
60
年龄50岁以下
10
90
(1)判断是否有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
(2)某天有3名顾客到这两个早餐店就餐（每人只选一家），他们选择A店的概率分别为，，，且他们的选择相互独立．设3人中到A店就餐的人数为X，到B店就餐的人数为Y，若，求m的取值范围．
附：．

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

【答案】(1)有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关
(2)

【分析】（1）根据题中的已知条件，列出列联表，结合给出的公式判断即可；
（2）根据题意找出离散型随机变量的可能取值，根据概率的性质计算出各自的概率，列出分布列，进而计算出期望，由可得出的取值范围.
【详解】（1）

A店
B店
总计
年龄50岁及以上
40
60
100
年龄50岁以下
10
90
100
总计
50
150
200
根据题意列出列联表，如上表，由公式可得，
由已知，   
因为，
所以有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，        
则，
，        
，
．           
所以X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P




故．      
因为，，所以，        
即，解得，
所以m的取值范围为．
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为1的菱形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，均为等边三角形，M为线段PQ的中点．

(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．

【分析】（1）根据题意，连接BD，与AC交于点O，取AB的中点G，连接PG，MO，设H为CD的中点，连接QH，GH，证得四边形PGHQ为矩形，从而可得平面OMD，即可得证；
（2）根据题意，连接CG，以G为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】（1）
如图，连接BD，与AC交于点O，取AB的中点G，连接PG，MO，则．
又平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD．     
设H为CD的中点，连接QH，GH，则GH过点O，且O是GH的中点．
同理可证平面ABCD，又，所以四边形PGHQ为矩形．
所以，，所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以，         
因为四边形ABCD为菱形，所以，    
又， 平面OMD,所以平面OMD，
又平面OMD，所以．
（2）连接CG，根据题意，，可知BG，CG，PG两两互相垂直，故以G为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则，，，，，
所以，，，        
设平面CQM的法向量为，则，
令，则．    
设平面CDM的法向量为
则，令，则，
设二面角的平面角为，
则，
由图可知，二面角的余弦值为．
20．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）依题意可得，参变分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）当时，，
则．         
令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，        
所以，．
（2）由，得，
即，因为，所以．       
令，
则．   
令，则．
令，则，
因为当时，，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，．        
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，
所以实数a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点D在C上，，，，且的面积为．
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为A，直线与x轴交于点P，过P作直线交C于G，H两点直线AG，AH分别与l交于M，N两点，O为坐标原点，证明：O，A，N，M四点共圆．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由已知结合椭圆的定义可得，进而根据面积公式可得，根据边长关系推得，然后根据余弦定理求出，即可得出，进而得出答案；
（2）由已知可转化为证明.设，，，表示出直线，直线，得出，求出，，转化为证明.设直线，与椭圆方程联立得出，根据韦达定理得出坐标关系，进而代入化简整理，即可得出证明.
【详解】（1）
由椭圆定义可知，.    
由可得，
因为，如图1可知，所以．    
在中，由余弦定理可得，
所以，即C的焦距为，，
所以，      
故C的方程为.
（2）
如图2，不妨取G点在H点的左侧，要证O，A，N，M四点共圆，
只需证明，即．
又，
，
故待证结论转化为证明．
设，，，显然，.
由题意可知，则直线，直线．
因为M在直线l上，所以，代入直线AG的方程，可知，
故点M的坐标为，所以.
又，故等价于．
设直线，与C的方程联立消去x得，
，则或.
又，，
则，
所以，所以，
综上O，A，N，M四点共圆．
【点睛】关键点睛：转化为证明与结论等价的条件，进而结合图象推理可得转化为证明．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若P和Q分别是和上的一点，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）消掉参数得到曲线的普通方程，利用极坐标化直角坐标的公式化简即可得到曲线的直角坐标方程；
（2）利用曲线的参数方程设出点的坐标，求出点到直线的距离，即可得到的最小值．
【详解】（1）由消去参数，得．         
把代入极坐标方程，
得的直角坐标方程为．
（2）依题可设，曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的圆，的最小值即的最小值减去1．   
因为，         
设，
，
由于恒成立，     
所以在上单调递减，在上单调递增，即，        
所以，即的最小值为
23．已知正实数a，b满足，设的最大值为m．
(1)求m的值；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析

【分析】（1）利用基本不等式可得答案；
（2）利用绝对值不等式的性质可得答案．
【详解】（1）
       

，       
所以，因此，，
当且仅当时，等号成立．
故m的值为2；
（2）因为，，所以，
所以，           
所以，        
即．