小学数学苏教版五年级下册三 倍数与因数课时训练

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第3讲 因数与倍数热点难点一网打尽


知识点一：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点二：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的 1
②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。
③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点四：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点五：2 、5、3的倍数的特征
2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。
3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
知识点六：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数

考点1：因数与倍数的意义

例1．（2019春•凤凰县期末）如果、、都是不等于0的自然数），那么　　
A．是的倍数 B．和都是的倍数
C．和都是的因数 D．是的因数
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：如果、、都是不等于0的自然数），则，
即和都是的因数；
故选：．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
K]

1．（2019春•亭湖区期中），2和3是6的　 　；6是2和3的　 　．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：由题意可知：，则，，2和3是6的因数；6是2和3的倍数；
故答案为：因数，倍数．
【名师点评】考查了因数和倍数的意义，规范解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行思路分析、规范解答．
2．（2019春•新密市月考）能被整除，是　倍数　，是的　 　．
．倍数 ．因数 ．公倍数 ．公因数．
【思路分析】如果能被除外）整除，我们就说是的倍数，是的约数．
【规范解答】解：能被整除，是倍数，是的 因数；
故选：，．
【名师点评】此题考查了倍数与约数的关系．
3．（2019秋•南开区校级期中）若、、都是非零自然数），则是的　倍　数，是的　 　数．
【思路分析】根据因数和倍数的关系：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：若、、都是非零自然数），则是的倍数，是的因数；
故答案为：倍，因．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．

考点2：运用列举法解决有关因数和倍数的问题

例2．（2019秋•乳源县期中）一个数，既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少？
【思路分析】一个数既是24的因数，又是6的倍数，即求既是24的因数又是6的倍数的数，找出共同的数即可．
【规范解答】解：24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
24（包括以内6的倍数有：6、12、18、24；
所以，一个数既是24的因数又是6的倍数，这个数可能是6、12、24．
答：这个数可能是6、12、24．
【名师点评】规范解答此题应根据找一个数的因数的方法和找一个数倍数的方法分别列举，进而得出结论．


1．（2019春•潍坊期中）五年级（3）班的学生排队做操，每行8人，10人都能排成长方形，已知这个班学生人数在人之间，那么这个班有学生多少人？
【思路分析】每行8人，10人都能排成长方形，则学生人数应是8和10的公倍数，先求出8和10的公倍数，再找出在之间的数即可．
【规范解答】解：，；
8和10的最小公倍数是：；
8和10的公倍数有：40、80、；

答：这个班有学生40人．
【名师点评】规范解答本题的关键是把问题转化为求公倍数的问题，再根据求公倍数方法规范解答即可．
2．（2019秋•东莞校级期中）王老师买了36支铅笔，48本练习本奖励给一些进步的学生，刚好发完，没有剩余，一共有多少个进步的学生？
【思路分析】求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数，根据找一个数因数的方法，进行直接列举，然后排除掉不合适的即可．
【规范解答】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；
48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
36和48的公因数有：1、2、3、4、6、12，因为是奖励给一些进步的学生，所以1排除，
所以可以有2、3、4、6、12个进步的学生．
【名师点评】规范解答此题应明确：要求有多少个进步的学生，即求36和48的公因数．
3．（1）一个数是48的因数，这个数可能是多少？
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是多少？
【思路分析】①一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数试题本身；
②一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；
③先根据求因数的方法求出48的因数，再根据求倍数的方法分别求出8和3在48以内的倍数，找出符合这三个条件的数．据此规范解答．
【规范解答】解：①48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48，
答：一个数是48的因数，这个数可能是1、2、3、4、6、8、12、16、24，48；
②48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48．
8的倍数：8、16、24、32、40、48．
答：一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是8、24、16、48；

③48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48．
8的倍数：8、16、24、32、40、48．
3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27，30，33、36、39、42，45、48．
答：这个数是24或48．
【名师点评】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，掌握求一个数的因数和求一个数的倍数的方法．

考点3：运用2，5和3的倍数的特征解决问题

例3．（2019春•吉林期中）牡丹江百货大楼新进一批不同样式的书包，其价格都既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数．
（1）这批书包中最低价格是多少元？
（2）如果价格不超过100元，有哪几种价格？
【思路分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；
根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；
根据3的倍数的特征，一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
依据公倍数的意义，即在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，据此即可进行规范解答．
【规范解答】解：（1）既是2的倍数，又是5的倍数，同时还是3的倍数的数可以说是2、3、5的公倍数．
所以它的最小值为：．
所以这批书包中最低价格是30元．

（2）如果价格不超过100元，只要是30元的倍数都可以，所以答案可以为：30元，60元，90元三种．
答：30元，60元，90元三种不同的价格．
【名师点评】本题考查的目的是掌握2、3、5的倍数的特征．记住它们的特征是解题的关键．


1．（2019春•会昌县期中）人85个面包，如果每2个装成一袋，能正好装完吗？如果每5个装成一袋，能正好装完吗？如果每3个装成一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路分析】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；
（3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．
【规范解答】解：（1）85个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完；

（2）85个位上是5，能被5整除，
所以每5个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完；

（3），不能被3整除，
所以每3个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完．
【名师点评】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题．
2．（2019春•海南期末）从下面先选三张数字卡片，再按要求组成三位数，（要求写全）
6 0 5 7
（1）是3的倍数
（2）同时是2、5的倍数
（3）是2的倍数．
【思路分析】（3）3的倍数：各个数位上的和能被3整除；
（4）2和5的倍数：末尾是0即可；
（3）能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）是3的倍数有：570、750、657、675、567、576、756、765；
（2）同时是2、5的倍数有：650、560、570、750、670、760；
（3）是2的倍数有：560、650、506、670、760、706、570、750、576、756．
【名师点评】规范解答此题应根据题意，根据能被2、3、5、整除数的特征进行规范解答即可．
3．（2019春•麻城市期中）从0，4，5，7，9中各选出四个数字组数．（各写三个）
（1）是2的倍数：　 　
（2）是3的倍数：　 　
（3）是5的倍数：　 　
（4）同时是2，3，5的倍数：　 　 ．
【思路分析】（1）能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；
（2）能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除；
（3）能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数；
（4）要同时能被2、3和5整除，这个数的个位一定是0，各个数位上的数字相加的和能被3整除，规范解答即可．
【规范解答】解：由思路分析规范解答如下：（答案不唯一）
（1）是2的倍数：4570、4790、5794
（2）是3的倍数：4590、5490、7950
（3）是5的倍数：2790、4795、5740；
（4）同时是2，3，5的倍数：4590、5490、7590．
故答案为：4570、4790、5794；4590、5490、7950；2790、4795、5740；4590、5490、7590．
【名师点评】此题主要根据能被2、3、5整除的数的特征解决问题．

考点4：运用数的奇偶性解决实际问题
]
例4．（2019秋•罗定市期中）乐乐家卧室的开关最初在关闭状态，若按1次之后灯是开着的，那么在开和关13次后，灯是开的还是关的呢？如果开和关200次后，灯又是怎么样的？为什么？请简单说明理由．
【思路分析】灯最初是关闭状态，拉一次，打开，拉两次，灯关闭；三次，打开；四次，关闭．由此可以发现，拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态，由此求解．
【规范解答】解：根据思路分析可知：拉奇数次时，灯为打开状态，拉偶数次时，灯为关闭状态．
因为13是奇数，开关13次后，是打开状态；
因为200是偶数，开关200次后，灯处于关闭状态．
【名师点评】灯的开关状态改变的规律为：拉奇数次，状态改变，拉偶数次，状态不变；所以完成此类题目时，一定要注意开关的初始状态是怎样的．

1．（2019春•漳平市校级期末）小丽写了这样的一个算式让小军判断结果是奇数还是偶数：，小军根据所学知识很快就作出了正确的判断，那么，你认为结果应是奇数还是偶数呢？你是用什么方法来解决这个问题的？
【思路分析】，则在的自然数中，有496个偶数，有497个奇数，根据数和的奇偶性可知，496个偶数之和一定是偶数，奇数个奇数之和是奇数，所以497个奇数之和是奇数．偶数奇数奇数，所以原式之和一定是奇数．
【规范解答】解：，则在的自然数中，
有496个偶数，有497个奇数，
根据数和奇偶性可知，
496个偶数之和一定是偶数，497个奇数之和是奇数．
偶数奇数奇数，
所以原式之和一定是奇数．
本题是根据数的奇偶性进行思路分析解决的．
【名师点评】本题是从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质进行思路分析规范解答的．
2．（2019春•永康市月考）三个连续的偶数之和是120，这三个偶数分别是多少？
【思路分析】自然数中，相邻的两个偶数相差2，由此可设和为120的三个连续偶数中的最小的一个为，则另两个分别为，，由此可得等量关系式：．解此方程即可．
【规范解答】解：可设和为120的三个连续偶数中的最小的一个为，可得方程：




则

答：这三个连续偶数分别是38，40，42．
【名师点评】了解自然数中，偶数的排列规律是完成本题的关键．
3．一只茶杯口朝上放在桌子上，翻动1次后底朝上，翻动2次后，口朝上．
①当把这个茶杯翻动51次后，茶杯的口朝上还是朝下？说出你的理由．
②当翻动2010次后，茶杯的口朝哪个方向？说出你的理由．
③当翻动次后，茶杯的口朝那个方向？次呢？说出你的理由．
【思路分析】翻动1次，杯口朝下，翻动2次杯口朝上，翻动3次杯口朝下，翻动奇数次杯口朝下，翻动偶数次杯口朝上．
【规范解答】解：①口朝下，奇数是口朝下，51是奇数．
②口朝上，偶数时口朝上，2010是偶数．
③是偶数，偶数时口朝上；
是奇数，奇数时口朝下．
【名师点评】规范解答此题的关键是发现杯子口的上下和翻动次数奇偶性之间的关系，根据规律即可规范解答问题．

考点5：质数与合数
]
例5．（2019春•克州校级期中）将下面各数分别填入指定的圈里．
1、10、12、25、37、54、23、17、102、398

【思路分析】根据质数与合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；1既不是质数也不是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：质数有：37、23、17；
合数有：10、12、25、54、102、398；
故答案为：

【名师点评】本题主要考查质数与合数的意义，注意1既不是质数也不是合数．


1．（2019秋•成都期末）两质数的和是10，他们的积是21，这两个质数分别是　3　和　　．
【思路分析】将21分解质因数为，又，所以这两个质数分别是3和7．
【规范解答】解：

即这两个质数分别是3和7．
故答案为：3，7．
【名师点评】利用每个合数都可以写成几个质数相乘的形式解决问题．
2．（2019春•张店区期末）在2，10，27，47，28各数中，既是偶数又是质数的数是　2　，既是奇数又是合数的数是　 　，把28分解质因数　 　．
【思路分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数．分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解．据以上定义进行思路分析填空即可．
【规范解答】解：根据质数与合数，偶数与奇数定义可知，
在在2，10，27，47，28这些数中，2既是质数又是偶数；
27既是奇数又是合数．
把28分解质因数为：

故答案为：2，27，．
【名师点评】自然数中，即是质数又是偶数的数只有2，除了2之外 所有质数都为奇数．
3．（2019秋•惠州校级期中）按要求把下列个数填入相应的圈里．
5 8 13 17 18 23 91 101 201

【思路分析】除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；据此规范解答即可．
【规范解答】解：

【名师点评】规范解答此题主要明确质数、合数的概念．

考点6：求几个数的最大公因数和最小公倍数
]
例6．（2019春•高新区期中）用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．
24和60 15和45 26和78
【思路分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次规范解答即可．
【规范解答】解：（1）24和60

24和60的最大公因数是，最小公倍数是；

（2）15和45

15和45的最大公因数是15，最小公倍数是；

（3）26和78

26和78的最大公因数是26，最小公倍数是．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．

1．（2019春•寻乌县期中）求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数．
24和28
16和40
25和45
【思路分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
【规范解答】解：

所以24和28的最大公因数是，最小公倍数是



所以16和40的最大公因数是，最小公倍数是



所以25和45的最大公因数是5，最小公倍数是．
【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公2．（2019春•枣庄期中）求下列每组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）27和72
（2）19和76
（3）36和48
【思路分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，先将这两个数分解质因数，它们的最大公因数就是它们共有的质因数的乘积，最小公倍数就是它们共有的和各自剩下的质因数的乘积；当两个数中，其中一个数是另一个数的倍数时，它们的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数．
【规范解答】解：（1），
所以它们的最大公因数是，最小公倍数是．

（2）
所以它们的最大公因数是9，最小公倍数是79．

（3），
所以它们的最大公因数是，最小公倍数是．
【名师点评】此题主要考查了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．
3．（2019秋•浦东新区校级期中）用短除法分别求下列各组数的最大公约数和最小公倍数．
26、39和52
18、20和30
【思路分析】求三个数的最大公约数与最小公倍数的方法：三个数的公有质因数连乘积是最大公约数，三个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．
【规范解答】解：26、39和52

故26、39和52的最大公约数是13，最小公倍数是；

18、20和30

故18、20和30的最大公约数是2，最小公倍数是．
【名师点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法规范解答．

考点7：利用公因数及最大公因数解决实际问题
]
例7．（2019春•溧阳市期末）班主任把20支钢笔和25本练习本平均奖给“三好学生”，结果钢笔多了2支，练习本少了2本．“三好学生”最多有多少人？
【思路分析】由题意可知，奖给每个学生的钢笔的数量、练习本的数量是相同的，这个数量是奖给学生的钢笔的总数量的因数，也是练习本总数量的因数，也就是钢笔总数量和练习本总数量的公因数；根据钢笔现有20支，结果多出了2支，用（支，求出需要的钢笔的总数量；根据现有25本练习本，练习本少2本，用（本，求出需要的练习本的总数量，要求评出的三好学生最多是多少人，也就是求18和27的最大公因数．
【规范解答】解：（支
（本


18和27的最大公因数是9．
答：三好学生最多有9人．
【名师点评】规范解答此题先弄清题意，求出奖给学生的钢笔的数量和练习本的数量，再求这两个数的最大公因数．


1．（2019春•兴化市期末）房间的地面长3.6米，宽3米．现在想用正方形的地砖铺地，要求地砖无需切割并且尽可能大，那么每块地砖的边长是多少分米？共要多少块这样的地砖？
【思路分析】3.6米分米，3米分米，求正方形地砖的边长最长是多少就是求36和30的最大公因数是多少，按求最大公因数的方法求出边长，然后再求块数．
【规范解答】解：3.6米分米，3米分米，
，，
所以36和30的最大公因数为，
即地砖的边长最长是6分米，


（块
答：地砖的边长最长是6分米，需要这样的地砖30块地板砖．
【名师点评】此题主要考查求几个数的最大公因数并解决实际问题．
2．（2019春•邹城市期末）学校要举行大扫除，五一班来了45人，五二班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？
【思路分析】要求每组最多有多少人，也就是求45和54的最大公因数是多少，先把45和54分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可．
【规范解答】解：

所以45和54的最大公约数是：
答：每组最多有9人．
【名师点评】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公约数，再根据求两个数的公有质因数的方法规范解答即可．
3．（2019秋•雨花台区期末）五年级共有48名男生、54名女生．把男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，这时每排最多站多少人？男、女生分别有几排？
【思路分析】（1）由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；
（2）求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可．
【规范解答】解：（1）

所以48和54的最大公因数是：
即每排最多有6人
答：每排最多站6人．

（2）男生分的排数：（排
女生分得排数：（排
答：男生有8排，女生有9排．
【名师点评】规范解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数．

考点8：利用公倍数及最小公倍数解决实际问题
]
例8．（2019•海淀区）某班有学生63人，一天上体育课排队，4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？
【思路分析】“4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人”可以理解为“4人一排少2人，5人一排少2人，6人一排少2人”，求多少人参加，也就是求63人以内的比4、5、6的公倍数少2的人，由此规范解答即可；然后用63减去上课的人数，即可求出缺勤的人数．
【规范解答】解：4、5、6的最小公倍数是60，所以上课的有：（人
缺勤的有：（人
答：这天上体育课的有58人，缺勤的有5人．
【名师点评】明确要求的上体育课的人数即比比4、5、6的公倍数少2的人，是答此题的关键．


1．（2019秋•浦东新区校级期中）有一批同样的地砖，长45厘米，宽60厘米，至少用这样的地砖多少块，才能铺成一块正方形的地面？
【思路分析】先把“45和60进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，求出正方形地面的边长，进而求出长需要几块，宽需要几块，然后相乘求出用砖的总块数．
【规范解答】解：，
所以铺成地面的边长是厘米
需要：

（块
答：至少用这样的地砖12块，才能铺成一块正方形的地面．
【名师点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除规范解答．
2．（2019秋•浦东新区校级期中）三个朋友每人隔不同的天数去图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次．至少要过多少天才能在图书馆重逢？
【思路分析】求出3、4和5的最小公倍数，即为一起在图书馆重逢的最小间隔时间，即可得解．
【规范解答】解：因为3、4、5两两互质，所以他们的最小公倍数是3、4、5的乘积，
所以3、4和5的最小公倍数是
即又在图书馆相见的最小间隔时间是60天，
答：至少再过60天才能在图书馆重逢．
3．（2019春•简阳市 期末）一箱苹果在40个和60个之间，如果4个4个地数，最后剩下3个，如果个5个地数，最后剩下4个．这箱苹果共多少个？
【思路分析】如果4个4个地数，最后剩下3个，如果个5个地数，最后剩下4个．把苹果的个数加1个，就正好数完，也就是说苹果的个数就是比4、5的公倍数少1，要求这箱苹果有多少个，即是40个和60之间4和5的最小公倍数再减1即可．
【规范解答】解：4和5是互质数，
所以4和5的最小公倍数是，
20的倍数有20，40，60，80，
40个和60之间只有（个
答：这箱苹果共59个．
【名师点评】考查了求几个数的最小公倍数的方法，规范解答本题关键是理解：苹果的个数加1就是4、5的公倍数．

[来

1．（2019春•覃塘区校级期中）因为，所以　　是　 　的倍数，　 　是　 　的因数．
【思路分析】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：因为，所以 30是 5和6的倍数，5和6是 30的因数；
故答案为：30，5和6，5和6，30．
【名师点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行规范解答．
2．（2019秋•南开区校级期中）若、、都是非零自然数），则是的　倍　数，是的　 　数．
【思路分析】根据因数和倍数的关系：如果数能被数整除，就叫做的倍数，就叫做的因数；进行规范解答即可．
【规范解答】解：若、、都是非零自然数），则是的倍数，是的因数；
故答案为：倍，因．
【名师点评】此题考查了因数和倍数的意义，应注意基础知识的积累．
3．（2019春•东海县校级月考）28的因数有　1、2、4、7、14、28　．50以内6的倍数有　 　．
【思路分析】（1）根据找一个数因数的方法，进行列举即可；
（2）根据求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1、2、3、，从中找出符合要求的倍数，即可规范解答．
【规范解答】解：（1）28的因数有：1、2、4、7、14、28；

（2），，，，，，，，
50以内8的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48；
故答案为：1、2、4、7、14、28；6，12，18，24，30，36，42，48．
【名师点评】本题主要考查求一个数的因数和倍数的求法，注意界定倍数所在的范围．
4．（2019秋•德惠市期中）最小的质数是　2　，最小的合数是　 　，既不是质数又不是合数的数是　 　．
【思路分析】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4，1既不是质数又不是合数的数．
【规范解答】解：最小的质数是2，最小的合数是4，既不是质数又不是合数的数是1；
故答案为：2，4，1．
【名师点评】此题考查了质数与合数的含义．
5．（2019春•宿迁期末）有一个三位数是43□，如果它是3的倍数，那么里最小填　2　；如果它同时是2、5的倍数，那么里只能填　　．
【思路分析】3的倍数特征：各位数之和能被3整除．据此规范解答即可根据能被2、5整除的数的特征：被2整除的数个位都是偶数，被5整除的数个位不是0就是5，可知既是2 的倍数，又是5的倍数的数的个位是0．
【规范解答】解：根据3的倍数特征：各位数之和能被3整除就是3的倍数，
又因为，9是3的倍数，所以432是3的倍数，里最小填2；
根据能被2、5整除的数的特征，可知满足题意的数个位是0．
故答案为：2、0．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．
6．（2019春•泰兴市校级期中）三位数8□3是3的倍数，□里最大填　7　；三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填　　；三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填　　．
【思路分析】是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，三位数8□3是3的倍数，□里可以填1、4、7，所以□里最大填7；
是2的倍数的数的个位都是偶数，是5的倍数的数个位不是0就是5，三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填0；
是2的倍数的数的个位都是偶数，是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填4．
【规范解答】解：三位数8□3是3的倍数，□里最大填7；三位数47□既是2的倍数，又是5的倍数，□里应填0；三位数47□既是2的倍数，又是3的倍数，□里应填4．
故答案为：7、0、4．
【名师点评】此题主要考查了是2、3、5的倍数的数的特征，要熟练掌握．
7．（2019春•射阳县校级期中）如果两个数的积是偶数，那么这两个数　　
A．都是偶数 B．至少有一个偶数
C．都是奇数 D．至少有一个奇数
【思路分析】奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数，由此进行求解．
【规范解答】解：奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数
要使两个数的积是偶数，那么这两个数至少有一个偶数；
故选：．
【名师点评】此题考查的是奇数和偶数的性质，根据其性质进行思路分析即可．
8．（2019•衡水模拟）萧克买了一张入场券，它的号码是四位数，其中个位数是质数，十位数是5的倍数，百位数是偶数，千位数是个位数的3倍．入场券的号码是　　
A．9303 B．9402 C．9455 D．9853
【思路分析】根据质数、偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．是2的倍数的数叫做偶数．再根据3、5的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，个位上是0或5的数都是5的倍数．据此规范解答即可．
【规范解答】解：10以内的质数有2、3、5、7；这个数的个位是质数，也就是个位可能是2、3、5、7，十位是5的倍数，那么十位上是5，百位是偶数，也就是百位可能是0、2、4、6、8，千位是3的倍数，也就是千位可能是3、6、9；由此得：这个四位数9853．
故选：．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握质数、偶数的意义，以及3、5的倍数的特征及应用．
9．下面哪些是质数？哪些是合数？分一分．
34、21、29、17、84、68、79、57、95
92、67、83、13、23、37、51、65、43

【思路分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫做质数；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；据此分类即可．
【规范解答】解：

【名师点评】此题考查的目的是理解和掌握质数与合数的概念及意义．
10．小明家的电话号码是七位数，第一位比3的最小倍数小1，第二位是最小合数，第三位是最小的偶数，第四位是既不是素数也不是合数，第五位数是9的最小因数，第六位比最小的素数多1，第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，明明家的电话号码是：　 　．
【思路分析】根据质数与合数、奇数与偶数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．数2的倍数的数叫做偶数．倍数2的倍数的数叫做奇数．1既不是质数也不是合数，1 最小的奇数；2是最小的质数，4是最小的合数．由此规范解答．
【规范解答】解：第一位比3的最小倍数小1，3的最小倍数是它本身，，
第二位是最小合数，就是4，
第三位是最小的偶数，就是0，
第四位是既不是素数也不是合数，那就是1，
第五位第五位数是9的最小因数，是1，
第六位比最小的素数多1，，
第七位是10以内的既是2的倍数又是4的倍数但不是4，是8．
所以明明家的电话号码是：2401138．
故答案为：2401138．
【名师点评】此题主要考查质数与合数、奇数与偶数、因数与倍数的概念及意义．


11．（2019春•端州区月考）体育课上，30名学生站成一行，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，，30．
（1）老师先让所报的数是2的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？
（2）余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？
【思路分析】（1）所有是2的倍数的去跑步，30及其30以内的2的倍数是（人
（2）余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，那么就是利用3的倍数的个数减去2和3的公倍数，即为减去6的倍数即可．
【规范解答】解：（1）30个数字中，偶数有：
（人
答：参加跑步的有15人．

（2）30以内6的倍数有：6，12，18，24，30，
（个
（人
答：参加跳绳的有5人．
【名师点评】本题考查2，3，5的倍数特征：注意根据它们倍数的特征正确的减去重复的人数．
12．（2019春•老河口市校级期中）在下面的“□”里填上一个适当的数字．
（1）既是2的倍数，又是3的倍数． 472□
（2）既有因数3，又有因数5.41□□
（3）同时是2、3、5的倍数．3□□
【思路分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；既是2的倍数，又是3的倍数的数个位上是偶数且各位上的数字之和是3的倍数；既有因数3，又有因数5的数个位上是0或5且各位上的数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数．据此规范解答．
【规范解答】解：（1）既是2的倍数，又是3的倍数． 472□，口里可以填2，即4722；
（2）既有因数3，又有因数5.41□□，时位上可以填1，个位上可以填0，即4110；
（3）同时是2、3、5的倍数．3口口，个位上必须填0，十位上可以填3，即330．
故答案为：（1）2；（2）1、0；（3）3、0．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征．
13．学校举行“趣味行走”比赛，分“2人一组”“3人一组”“5人一组”三个项目．下面是比赛报名表
项目
2人一组
3人一组
5人一组
报名人数
35人
45人
50人
哪些项目的报名人数分组后没有剩余？
【思路分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数．据此规范解答即可．
【规范解答】解：因为35不是2的倍数，所以2人一组的有剩余；
因为45是3的倍数，所以3人一组的没有剩余；
因为50是5的倍数，所以5人一组的没有剩余；
答：3人一组和5人一组的报名人数没有剩余．
【名师点评】此题主要考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用．
14．（2019春•毕节市校级期中）三个连续的奇数的和是57，中间的数是，你能列方程求的值吗？
【思路分析】是三个连续奇数中间的一个数，根据连续奇数的意义和性质，前面的数可用字母表示为：，后面的数就是：．则这三个连续奇数是：、、，它们的和就是：，由此列方程规范解答即可．
【规范解答】解：因为，根据连续奇数的意义和性质，
前面的数可用字母表示为：
后面的数就是：
则这三个连续奇数是：、、




答：的值是19．
【名师点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列方程即可得解．
15．（2019春•南充期末）某装修队给学校设计一个校园广播室，需要用正方形艺术砖铺一个长，宽的长方形文艺墙（用的砖全是整块的），这个正方形艺术砖的边长最大是多少？一共需要多少块这样的艺术砖？
【思路分析】（1）要求每块正方形艺术砖的边长最大是多少分米，就是求32和24的最大公因数；
（2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可．
【规范解答】解：（1）

32和24的最大公因数是，
答：每块正方形艺术砖的边长最大是8分米．

（2）


（块
答：一共需要12块这样的艺术砖．
16．把绿豆和红豆分别装在若干个纸箱中，要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等．
（1）每箱绿豆或红豆质量是多少千克？
（2）一共需要准备多少个纸箱？
【思路分析】（1）要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等，就是求140和160的最大公因数，
（2）用绿豆或红豆总质量除以每箱绿豆或红豆的质量，据此规范解答即可．
【规范解答】解：（1）

所以140和160的最大公因数是：
答：每箱绿豆或红豆质量是20千克．
（2）

（个
答：最少需要15个这样的纸箱．
【名师点评】解决本题先求140 和160 的最大公因数，再根据除法的包含意义进行求解．
17．（2019秋•醴陵市期末）一些排球的个数在之间，若2个2个地分，或3个3个地分，都正好分完．这些排球一共有多少个？
【思路分析】先求出3、2的最小公倍数，再找到3、2的公倍数在之间的数即为所求．
【规范解答】解：2、3的最小公倍数是
因为，苹果总数在之间
所以这些排球一共有36个．
答：这些排球一共有36个．
【名师点评】此题考查了公倍数问题，规范解答该题关键是会求两个数的最小公倍数，并用它解决实际问题．
18．（2019秋•惠来县期末）五（1）班的学生人数在人之间，一次大扫除，按6人一组分组，则少1人；按8人一组分组，还是少1人．五（1）班有学生多少人？
【思路分析】如果全班人数再增加1人，全班人数也就是6和8的公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行规范解答即可．
【规范解答】解：，，
6和8的最小公倍数是；
，，
答：五（1）班有学生47人．
【名师点评】本题考查了求几个数的最小公倍数的方法，规范解答此题的关键是先求出6和8的最小公倍数，进而结合题意，规范解答得出结论．


19．（2019秋•浦东新区校级期中）把168支铅笔，126块橡皮，42个文具盒平均装成若干个完全一样的礼品袋，最多可装多少袋？每个袋子里分别有几支铅笔、几块橡皮、几个文具盒？
【思路分析】求最多可装多少袋，即求168、126和42的最大公因数，分别用铅笔、橡皮、文具盒的数量除以袋数可求每个袋子里铅笔、橡皮、玩具盒和奶糖的数量．
【规范解答】解：


所以168、126、42的最大公因数是：
（支
（块
（个
答：最多可装42袋，每个袋子里分别有4支铅笔、3块橡皮、1个文具盒．
【名师点评】此题主要考查求三个数的最大公因数的方法：三个数的公有质因数的连乘积是最大公因数；数字大20．（2019春•翼城县期中）把一张长100厘米，宽80厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形且没有剩余，能裁成多少张？
【思路分析】先求100与80的最大公约数，100与80最大公约数为20，也就是正方形的边长为20厘米，所以可以裁出正方形的数量为（张．
【规范解答】解：，
，
因此100与80最大公约数为，即裁成的正方形的边长为20厘米．
又，，
所以能裁成：张面积尽可能大的正方形且没有剩余．
答：能裁成20张．
【名师点评】这道题的关键就是求100与80的最大公约数，也就是求出正方形的边长，进而解决问题．
21．（2019春•聊城期中）把35块奶糖，45块水果糖分给一些小朋友，每个小朋友分得的奶糖和水果糖的数量相等，结果水果糖正好分完，奶糖还差1块，这些小朋友最多有多少人？
【思路分析】根据题意可知：如果水果糖有45块，奶糖有块，正好平均分完，求这些小朋友最多有多少人，即求45和36的最大公因数，把45和36进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；由此规范解答即可．
【规范解答】解：（块


所以45和36的最大公因数是，即最多有9人；
答：这些小朋友最多有9人．
【名师点评】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数．
22．（2019秋•福田区校级月考）有一些铅笔，比30支多，比60支少，无论平均分给2人、3人，还是5人，都多1支．这些铅笔可能有多少支？
【思路分析】把这些铅笔平均分给2人、3人还是5人，都多1支，说明这些铅笔的支数是2、3和5的公倍数，多1，且比30支多，比60支少；据此规范解答即可
【规范解答】解：2、3、5的最小公倍数：30，多1支为31支
符合条件：比30支多，比60支少．
答：这些铅笔可能有31支．
【名师点评】本题考查了灵活应用求几个数的最小公倍数的方法来解决实际问题．
23．（2019春•南京期中）花店运来一批花，要扎成花束，如果每5朵扎一束，则多2朵；如果每8朵扎一束，则差6朵，这批鲜花最少有几朵？
【思路分析】“如果每8朵扎一束，则差6朵”理解为：如果每8朵扎一束，则多2朵，求这批鲜花最少有几朵，也就是求5和8的最小公倍数多2的数，由此规范解答即可．
【规范解答】解：（朵
答：这批鲜花最少有42朵．
【名师点评】明确要求的问题即5和8的最小公倍数多2的数，是规范解答此题关键．
24．（2019春•玄武区校级期中）把38个蘑菇和31个萝卜分给若干只小兔子，每只小兔子分得的蘑菇相同，萝卜也相同．结果蘑菇多2个，萝卜少1个．最多有多少只小兔？每只小兔分得几个蘑菇，几个萝卜？
【思路分析】根据题意，兔子一共分了个蘑菇，个萝卜，求出36和32的最大公约数，即为兔子只数；进而求出每只小兔分得的蘑菇与萝卜的数量，解决问题．
【规范解答】解：，


36和32的最大公约数是
因此最多有4只小兔．


答：最多有4只小兔，每只小兔分得9个蘑菇，8个萝卜．
【名师点评】此题求出兔子一共分得的蘑菇与萝卜的总数，通过求最大公约数，解决问题．
25．（2019春•祁东县期中）大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长．
【思路分析】54和72的最小公倍数是216，大亮走四步和爸爸走三步是一样的，又因为人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印），再由，雪地上留下60个脚印，所以他们走了次的216厘米．所以，周长厘米．
【规范解答】解：，
，
（厘米）；
答：花圃的周长是2160厘米．
【名师点评】此题规范解答时应认真审题，明确大亮走四步和爸爸走三步是一样的，平均每走216厘米，雪地上会留下个脚印，由此列式规范解答即可得出结论．
26．（2019•泗县模拟）小明在操场周围种树，开始每隔3米种一棵，种到第9棵后，发现树苗不够了，于是决定重种，改为每隔4米种一棵，重种树时，有几棵树不必拔掉？
【思路分析】根据“间隔米数（棵树总米数”可求出植树的总米数，重植时，当树在3和4的公倍数米数的位置时就不必拔掉，另外第一棵不必拔掉，求出现在植树的总米数之内的3和4的公倍数，看有几个再加一，就是不必拔掉的树的棵树．
【规范解答】解：，
，
（米，
3和4的公倍数有，，
第一棵、12米距离上的那棵、24米距离上的那棵不必拔掉，
答：有3棵树不必拔掉．
【名师点评】此题主要考查两个数的公倍数以及植树问题知识，注意用“间隔米数（棵树总米数”、“重植时，当树在3和4的公倍数米数的位置时就不必拔掉，另外第一棵不必拔掉”等知识解决实际问题．
27．（2010•北京校级自主招生）一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，被7除余6，被8除余7，被9除余8，被10除余9．求这样的四位数．
【思路分析】先把条件理解为一个四位数被2除差1，被3除差1，被4除差1，被5除差1，被6除差1，被7除差1，被8除差1，被9除差1，被10除差1．满足以上条件实际上就是求2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数就可以了．
【规范解答】解：先分解质因数如下：

所以2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数是，
此数是．
答：这样的四位数是2519．
28．（2009秋•雁江区月考）、两地之间每隔竖一根电杆，包括两端的两根电杆在内，共竖有65根电杆，现在要改变为每隔竖一根电线杆，那么除了两端的两根电线杆外，、两地之间还有多少根电线杆可以不必移动？
【思路分析】由题意得：地到地距离为：（米，根据45与60的最小公倍数为180，可得，然后即可得出答案．
【规范解答】解：因为甲地到乙地距离为：（米，
45与60的最小公倍数为180，
所以，
（根，
答：、两地之间还有14根电线杆不需要移动．
【名师点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是利用最小公倍数求解现实问题．