2021年上海市浦东新区高考数学三模试卷含详解

这是一份2021年上海市浦东新区高考数学三模试卷含详解，共16页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市浦东新区高考数学三模试卷
一、填空题（共12小题）.
1．函数y＝的单调递减区间为　 　．
2．已知＝（2，3），＝（4，x）且，则x＝　 　．
3．已知cosx＝，则＝　 　．
4．若从总体中随机抽取的样本为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是　 　（精确到0.1）．
5．方程log2（x+14）+log2（x+2）＝3+log2（x+6）的解是　 　．
6．在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为　 　．
7．数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则an＝　 　．
8．若复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，则z在复平面上所对应的图形的面积是　 　．
9．若直线3x+4y+m＝0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是　 　．
10．设函数f（x）＝cosx﹣m（x∈[0，3π]）的零点为x1、x2、x3，若x1、x2、x3成等比数列，则实数m的值为　 　．
11．已知函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，则实数a的取值范围是　 　．
12．已知||＝||＝1，若存在m，n∈R，使得m+与n+夹角为60°，且|（m+）﹣（n+）|＝，则||的最小值为　 　．
二、选择题
13．下列命题正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．三条相交直线确定一个平面
C．对于直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．对于直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c
14．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D＝0是该方程组有解的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB•tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是（　　）
A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1（y≠0）
C．x2+＝1 D．x2+＝1（y≠0）
16．已知函数f（x）＝sinx，各项均不相等的数列{an}满足|ai|≤（i＝1，2，…n），记G（n）＝．①若an＝（﹣）n，则G（2000）＞0；②若{an}是等差数列，且a1+a2+…+an≠0，则G（n）＞0对n∈N*恒成立．关于上述两个命题，以下说法正确的是（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对，②错 D．①错，②对
三、解答题
17．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2．
（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点C与平面AQC1的距离．

18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周长的取值范围．

19．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．
20．已知直线l：y＝x+t与椭圆C：＝1交于A、B两点（如图所示），且P（3，）在直线l的上方．
（1）求常数t的取值范围；
（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
（3）若△APB的面积最大，求∠APB的大小．

21．已知{an}，{bn}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，ai，bi均为有理数），{dn}为一无理数列（即对任意的i∈N*，di为无理数）．
（1）已知bn＝﹣2an，并且（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{dn}的通项公式．
（2）若{dn2}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝1+dn恒成立的充要条件为．
（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），dn＝，对任意的n∈N*，（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝1恒成立，试计算bn．


参考答案
一、填空题
1．函数y＝的单调递减区间为　（﹣∞，﹣1]　．
解：由题意，函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
令t＝x2﹣1，则在[0，+∞）上单调递增
∵t＝x2﹣1，在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增
∴函数y＝的单调递减区间为（﹣∞，﹣1]，
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
2．已知＝（2，3），＝（4，x）且，则x＝　6　．
解：∵已知＝（2，3），＝（4，x）且，则由两个向量共线的性质可得
2x﹣3×4＝0，解得x＝6，
故答案为 6．
3．已知cosx＝，则＝　　．
解：cosx＝，
＝sin2x﹣cos2x﹣1＝﹣2cos2x＝﹣2×＝﹣．
故答案为：﹣．
4．若从总体中随机抽取的样本为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，则该总体标准差的点估计值是　2.1　（精确到0.1）．
解：因为样本为数据为：﹣2、﹣2、﹣1、1、1、3、2、2、4、2，
所以样本的平均值为＝1，
故该总体标准差的点估计值是2.1．
故答案为：2.1．
5．方程log2（x+14）+log2（x+2）＝3+log2（x+6）的解是　x＝2　．
解：由方程log2（x+14）+log2（x+2）＝3+log2（x+6），可得 log2 （x+14）（x+2）＝log2 8（x+6），
即 ，解得 x＝2，
故答案为x＝2．
6．在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5位数，则得到能被2整除的5位数的概率为　0.4　．
解：5张卡片上分别写着数字1、2、3、4、5，然后把它们混合，再任意排成一行，得到的五位数的总数是A55＝120
五位数能被2整除的特征是个位数排2，4两个数，其排法种数是C21×A44＝48
故所得五位数能被2整除的概率是＝0.4
故答案为：0.4
7．数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y＝log2（x+1）的反函数的图象上，则an＝　2n﹣1　．
解：由题意得n＝log2（Sn+1）⇒sn＝2n﹣1．
n≥2时，an＝sn﹣sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，
当n＝1时，a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；
故答案为：2n﹣1
8．若复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，则z在复平面上所对应的图形的面积是　2　．
解：因为复数z＝x+yi（x，y∈R，i为虚数单位）满足|x|+|y|≤1，
所以复数z在复平面上所对应的图形为边长为的正方形内部（包括边界），
又正方形的面积为，
所以z在复平面上所对应的图形的面积是2．
故答案为：2．
9．若直线3x+4y+m＝0与曲线（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是　m＞10或m＜0　．
解：曲线（θ为参数）表示的是以（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，
由于直线3x+4y+m＝0与圆没有公共点，
所以圆心（1，﹣2）到直线的距离d＝，
整理得：|m﹣5|＞5，
解得m＞10或m＜0，
故答案为：m＞10或m＜0．
10．设函数f（x）＝cosx﹣m（x∈[0，3π]）的零点为x1、x2、x3，若x1、x2、x3成等比数列，则实数m的值为　　．
解：由题意得x2＝2π﹣x1，x3＝2π+x1，
由＝x1x3得（2π﹣x1）2＝x1（2π+x1），
解得x1＝，
m＝cos＝．
故答案为：﹣．
11．已知函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　．
解：∵函数f（x）＝，若存在实数x0，使得对于任意的实数x都有f（x）≤f（x0）成立，
即函数有最大值f（x0），
又因为当x＞a时，f（x）＝﹣x+2，单调递减，且f（x）＜﹣a+2，
故当x≤a时，f（x）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∴1≥﹣a+2且a≥﹣1，
故a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
12．已知||＝||＝1，若存在m，n∈R，使得m+与n+夹角为60°，且|（m+）﹣（n+）|＝，则||的最小值为　　．
解：由题意，，
令，
，
故有A，A′，B，B′共线，
∵为定值，
在△A′OB′中，由余弦定理可得，
＝，
当且仅当时，取最大值，此时△A′OB′面积最大，则O到AB距离最远，
即当且仅当A′、B′关于y轴对称时，最小，
此时O到AB的距离为，
∴，即．
故答案为：．

二、选择题
13．下列命题正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．三条相交直线确定一个平面
C．对于直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．对于直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c
解：选项A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
选项B，三条相交直线可确定一个平面，或三个平面，（三棱锥的三条侧棱），故B错误；
选项C，对于直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，在平面几何中是正确的，在立体几何中不一定成立，故C错误；
选项D，由平行公理可得：对已直线abc，若a∥b，b∥c，则a∥c，故D正确．
故选：D．
14．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D＝0是该方程组有解的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：系数行列式D≠0时，方程组有唯一的解，
系数行列式D＝0时，方程组有无数个解或无解．
∴当系数行列式D＝0，方程可能有无数个解，也有可能无解，
反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．
∴系数行列式D＝0是方程有解的既不充分也不必要条件．
故选：D．
15．已知两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB•tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是（　　）
A．x2﹣＝1 B．x2﹣＝1（y≠0）
C．x2+＝1 D．x2+＝1（y≠0）
解：两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB•tan∠PBA＝2，
则：＝2，其中y≠0，
化简可得，x2+＝1（y≠0）．
故选：D．
16．已知函数f（x）＝sinx，各项均不相等的数列{an}满足|ai|≤（i＝1，2，…n），记G（n）＝．①若an＝（﹣）n，则G（2000）＞0；②若{an}是等差数列，且a1+a2+…+an≠0，则G（n）＞0对n∈N*恒成立．关于上述两个命题，以下说法正确的是（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对，②错 D．①错，②对
解：f（x）＝sinx在[﹣]上为奇函数且单调递增，
①：a2k﹣1+a2k＜0（k∈N*）可得a2k﹣1＜﹣a2k，则f（a2k﹣1）＜f（﹣a2k）＜f（﹣a2k）＝﹣f（a2k），
所以f（a2k﹣1）+f（a2k）＜0＜0，则a1+a2+......+a2000＜0，
f（a1）+f（a2）+.....+f（a2000）+.....+f（a2000）＜0，故G（2000）＞0，①正确，
②：{an}为等差数列，当a1+a2+.....+an＞0时，
若n为偶数，a＞0，
a1＞﹣an可得f（a1）＞f（﹣an）＝﹣f（an），则f（a1）+f（an）＞0，
同理可得：f（a2）+f（an﹣1）＞0，.......f（a）+f（a）＞0，所以G（n）＞0，
若n为奇数，a1+an＝a2+an﹣1＝......＝2a＞0，
f（a1）+f（an）＞0，f（a2）+f（an﹣1）＞0，.....，f（a）＞0，所以G（n）＞0，
当a1+a2+.....+an＜0时，同理可证G（n）＞0，②正确，
故选：A．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，点P、Q分别为A1B1、BC的中点，C1Q与底面ABC所成的角为arctan2．
（1）求异面直线PB与QC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点C与平面AQC1的距离．

解：（1）∵C1C⊥平面ABC，∴∠C1QC为C1Q与底面ABC所成角，
即tan∠C1QC＝，∴C1C＝2．
以B为坐标原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），Q（1，0，0），C1（2，0，2），P（0，1，2），
则＝（0，1，2），，
设异面直线PB与QC1所成角的大小为θ，
∴cosθ＝＝，
则异面直线PB与QC1所成角的大小为arccos；
（2）设平面AQC1的法向量为，
由（1）知，，，
由，取y＝1，得．
又，
∴点C与平面AQC1的距离d＝．

18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周长的取值范围．

解：（1）根据函数的图象，函数的周期T＝，
故ω＝2．
由于点（）满足函数的图象，
所以Asin（φ）＝0，
由于0＜φ＜，
所以φ＝．
由于点（0，1）在函数的图象上，
所以A＝2．
故函数f（x）＝2sin（2x+）．
（2）由于f（）＝2sin（A+）＝2，
所以A＝．
由正弦定理：，整理得b＝，
同理c＝＝，由于，
所以，
由于，
所以，
所以．
所以：l△ABC∈（4，6]．
19．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人．
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．
解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，
a1＝20，公差为50，又a10＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1+a2+…+a9）+a10＝（9×30+）+410＝2480人；
（2）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n﹣20，
当k+1≤n≤30时，an＝（50k﹣20）﹣20（n﹣k）＝﹣20n+70k﹣20，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以＝11940，
解得﹣35k2+2135k﹣9900＝11940，即k2﹣61k+624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13﹣20＝630，
所以11月13日新感染者人数最多为630人．
20．已知直线l：y＝x+t与椭圆C：＝1交于A、B两点（如图所示），且P（3，）在直线l的上方．
（1）求常数t的取值范围；
（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
（3）若△APB的面积最大，求∠APB的大小．

解：（1）由题意知，＞+t，∴t＜0，
联立方程，消去y得：2x2+6tx+9t2﹣36＝0，
∵△＝36t2﹣8（9t2﹣36）＞0，
∴t2＜8，
∴．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣3t，x1x2＝，
又，，
∴k1+k2＝+＝，
上式分子＝（）+（）
＝﹣6（t﹣）
＝+﹣6（t﹣）
＝﹣
＝0，
∴k1+k2＝0．
（3）因为|AB|＝|x1﹣x2|＝＝3，
且点P到直线AB的距离d＝，
∴S△PAB＝|AB|d＝＝≤＝6，
当且仅当8﹣t2＝t2，即t＝﹣2时，等号成立，此时点A（0，﹣2），所以＝，
又k1+k2＝0，
∴∠APB＝．
21．已知{an}，{bn}为两非零有理数列（即对任意的i∈N*，ai，bi均为有理数），{dn}为一无理数列（即对任意的i∈N*，di为无理数）．
（1）已知bn＝﹣2an，并且（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝0对任意的n∈N*恒成立，试求{dn}的通项公式．
（2）若{dn2}为有理数列，试证明：对任意的n∈N*，（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝1+dn恒成立的充要条件为．
（3）已知sin2θ＝（0＜θ＜），dn＝，对任意的n∈N*，（an+bndn﹣andn2）（1+dn2）＝1恒成立，试计算bn．
解：（1）∵，∴，即，
∴，∵an≠0，∴，∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵为有理数列，∴，∴，以上每一步可逆，即可证明．
（3）∵，（0＜θ＜），
∴25tanθ＝12+12tan2θ，
∴或
∵，
∴，
当n＝2k（k∈N*）时，∴，
当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴．
∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵为有理数列，{dn}为无理数列，
∴，∴，
∴．
当n＝2k（k∈N*）时，∴．
当n＝2k﹣1（k∈N*）时，∴，
∴．