2021年上海市浦东新区建平中学高考三模数学试卷含答案解析

这是一份2021年上海市浦东新区建平中学高考三模数学试卷含答案解析，共16页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷
一、填空题（共12小题，每小题5分，共60分．）
1．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝　 　．
2．＝　 　．
3．（a﹣b）10二项展开式第六项的系数为　 　．
4．公比为q的无穷等比数列{an}各项的和为，则2a1+q＝　 　．
5．如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　 　．

6．已知非负实数x、y满足2x+y≥1，则的最小值为　 　．
7．函数y＝tan2x，的反函数为　 　．
8．小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为　 　．
9．已知，若，则sinα+cosα＝　 　．
10．函数y＝在[﹣2，﹣]上单调递增，则实数a的取值范围是　 　．
11．若正实数a、b满足a+b＝ab，则的最小值为　 　．
12．已知△ABC中，||＝1，•＝2，点P为线段BC的动点，动点Q满足＝++，则•的最小值等于　 　．
二．选择题
13．有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
14．关于x、y的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是（　　）
A．＝0
B．＝0
C．＝0
D．a1+b1＝c1
15．已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
16．已知函数f（x）＝2x2+x+2，g（x）＝|2x+1|+|x﹣t|，若不等式f（x）＜g（x）的解集为（a，b）∪（c，d），其中a＜b≤c＜d，则（b+d）﹣（a+c）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
三．解答题
17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝1．
（1）求直线PB与平面PCD所成的角的大小；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．

18．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若a＝2b＝c，△ABC的面积S＝，求c；
（2）若cosA＝cosB＝cosC，求sinC．
19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
20．（16分）已知椭圆C：＝1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．

21．（18分）已知无穷数列{an}，对于任意给定的正整数t，设不等式对任意n∈N*恒成立时t*的取值集合为T（t）．
（1），求集合T（2）；
（2）若{an}为等差数列，公差为d，求T（t）；
（3）若对任意t≥2，t∈N*，T（t）均为相同的单元素集合，证明：数列{an}为等差数列．


参考答案
一、填空题（共12小题，每小题5分，共60分．）
1．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝　{1，2}　．
解：∵A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤2}∩{﹣1，0，1，2，3}＝{1，2}．
故答案为：{1，2}．
2．＝　　．
解：∵＝，
∴＝＝＝．
故答案为：．
3．（a﹣b）10二项展开式第六项的系数为　﹣252　．
解：（a﹣b）10二项展开式的第六项为，
所以（a﹣b）10二项展开式第六项的系数为﹣252．
故答案为：﹣252．
4．公比为q的无穷等比数列{an}各项的和为，则2a1+q＝　1　．
解：根据题意，公比为q的无穷等比数列{an}各项的和为，
则S＝＝＝，变形可得2a1+q＝1；
故答案为：1．
5．如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　0.36π　．

解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为0.3米，高为0.6米的圆柱；
如图所示：

所以：圆柱的侧面积S＝2×π×0.3×0.6＝0.36π．
故答案为：0.36π．
6．已知非负实数x、y满足2x+y≥1，则的最小值为　　．
解：由题意可得，实数x、y满足，
故不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，

其中直线2x+y﹣1＝0与x轴，y轴的交点分别为，
令，则z的几何意义为可行域中的点到直线x+y+1＝0的距离，
由图可知，点到直线x+y+1＝0的距离最近，
故z的最小值为＝，
所以的最小值为．
故答案：．
7．函数y＝tan2x，的反函数为　，x∈（0，+∞）　．
解：函数y＝f（x）＝tan2x，
当x∈（0，）时，
则y≥0，即f（x）的值域为（0，+∞），
∵y＝tan2x，，
∴，（舍去），
f（x）的反函数 y＝，x∈0，+∞），
故答案为：，x∈（0，+∞）．
8．小明给同学发“拼手气”红包，他将1角钱分成三份，每份都是1分钱的正整数倍，若这三个红包分别被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲抢到1分钱的概率为　　．
解：将题干情景转换为：有10个相同的小球放进甲、乙、丙三个盒子，且盒子不能为空．
将10个小球排好，有9个空隙，
从这9个空隙中选出2个放入挡板可将小球分成3份，
∴分类方法共有＝36种，
甲盒有1个小球的情况有8种，分别为：
（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（1，8，1），（1，7，2），（1，6，3），（1，5，4），
∴甲抢到1分钱的概率为P＝＝．
故答案为：
9．已知，若，则sinα+cosα＝　　．
解：∵，∴﹣＜2α﹣＜0，
∵，∴cos（2α﹣）＝＝，
∴sin2α＝sin[（2α﹣）+]
＝sin（2α﹣）cos+cos（2α﹣）sin
＝﹣×+×＝，
所以sinα+cosα＝
＝＝＝．
故答案为：．
10．函数y＝在[﹣2，﹣]上单调递增，则实数a的取值范围是　[﹣1，）　．
解：由复合函数的单调性可知，y＝x2﹣ax﹣a在上为减函数，且此时x2﹣ax﹣a＞0恒成立，
∴，解得．
故答案为：．
11．若正实数a、b满足a+b＝ab，则的最小值为　7　．
解：因为a+b＝ab，
则有b＝ab﹣a，
所以＝＝7，
当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以的最小值为7．
故答案为：7
12．已知△ABC中，||＝1，•＝2，点P为线段BC的动点，动点Q满足＝++，则•的最小值等于　﹣　．
解：以BC所在直线为x轴，以BC边的高为y轴建立平面直角坐标系，如图．
∵，∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），
设P（a，0），A（0，b），则﹣2≤a≤﹣1．
∴＝（﹣a，b），＝（﹣2﹣a，0），＝（﹣1﹣a，0）．
∴＝（﹣3﹣3a，b），
∴＝（﹣2﹣a）（﹣3﹣3a）＝3a2+9a+6＝3（a+）2﹣．
∴当a＝﹣时，取得最小值﹣．
故答案为：．

二．选择题
13．有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
解：共有13名学生参加竞赛，取前6名参加决赛，
所以小梅需要知道自己的成绩能否进入前六，
把所有同学的成绩按照大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：C．
14．关于x、y的方程组有无穷多组解，则下列说法错误的是（　　）
A．＝0
B．＝0
C．＝0
D．a1+b1＝c1
解：根据关于x、y的方程组有无穷多组解，得到a1b2＝a2b1，a1c2＝a2c1，b1c2＝b2c1．
A中等式计算可得a1c2＝a2c1，故不选A；
B中等式计算可得（a1b2﹣a2b1﹣a1b1+a2b2）﹣（a1b2﹣a2b1﹣a1b1+a2b2）＝0，等式成立，故不选B；
C中等式计算可得a1b2+b1c2+a2c1﹣（a2b1+b2c1+a1c2）＝0，成立，故不选C；
D中等式算式中分母为0，错误，故选D．
故选：D．
15．已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
解：∵，∴，
∴{}是公差为1的等差数列，∴，
数列{an}为无穷数列⇔an≠0，
若数列{an}单调，若a1,a2异号，则an≠0，
若a1,a2＜0,则＞0，∴a3＜0，，∴a4＜a3，
∵数列{an}单调，∴{an}是一个递减数列，满足an≠0，
同理，若a1,a2＞0,{an}是一个递增数列，满足an≠0，
故“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的必要条件，
若数列{an}为无穷数列，取a1＝2,a2＝﹣1，则≠0，满足
此时，不满足数列{an}单调，
故“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的不充分条件．
故选：B．
16．已知函数f（x）＝2x2+x+2，g（x）＝|2x+1|+|x﹣t|，若不等式f（x）＜g（x）的解集为（a，b）∪（c，d），其中a＜b≤c＜d，则（b+d）﹣（a+c）的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：根据题意，作出函数f（x）＝2x2+x+2的图象，
由函数g（x）＝|2x+1|+|x﹣t|的图象可得t＝1时，
当x＜﹣时，g（x）＝﹣2x﹣1+1﹣x＝﹣3x，
由2x2+x+2＝﹣3x，即有x2+2x+1＝0，
f（x）的图象和g（x）的图象相切，
当b＝c＝﹣时，即有g（﹣）＝|﹣﹣t|＝2×﹣+2，
解得t＝（﹣舍去），
由题意可得1＜t≤，
当x＜﹣时，g（x）＝﹣2x﹣1+t﹣x＝﹣3x+t﹣1，
由f（x）＝g（x），可得2x2+4x+3﹣t＝0，
即有b﹣a＝＝，
当﹣＜x＜t时，g（x）＝2x+1+t﹣x＝x+t+1，
由f（x）＝g（x），即为2x2＝t﹣1，解得x＝±，
可得d﹣c＝，
则b﹣a+d﹣c＝2，
由1＜t≤，可得（b+d）﹣（a+c）＝b﹣a+d﹣c∈（0，2]，则（b+d）﹣（a+c）的最大值为2；
故选：B．

三．解答题
17．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝1．
（1）求直线PB与平面PCD所成的角的大小；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．

解：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD，
又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，∴∠BPC为直线PB与平面PCD所成的角．
∵PC＝＝，BC＝2，
∴tan∠BPC＝＝．
∴直线PB与平面PCD所成的角的大小．
（2）由（1）可知BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，
同理可得AB⊥PA，
∴S△PCD＝S△PAD＝＝1，S△PBC＝S△PAB＝＝
∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积为2×1+2×＝．
18．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）若a＝2b＝c，△ABC的面积S＝，求c；
（2）若cosA＝cosB＝cosC，求sinC．
【解答】【答案】：（1）设，所以，
根据余弦定理可得，
所以，
因为△ABC的面积，所以，解得t＝2，所以c＝4．
（2）由cosA＝cosB可得A＝B，所以cosC＝cos（π﹣A﹣B）＝﹣cos2B，
又，所以，
所以，解得，
所以，所以．
19．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
解：（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），
∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，
∴k＝10，
∴p（t）＝＝，
∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；
（2）由Q＝，可得
Q＝，
当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（）]≤6（140﹣10×12）＝120，
当且仅当t＝6时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝≤384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，
∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
20．（16分）已知椭圆C：＝1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．

解：（1）因为椭圆C的标准方程为，可得，
所以椭圆C的焦距为，短轴长为．
（2）证明：设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m）（m＞0）可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m），
所以直线PM的斜率，QM的斜率，所以，
所以为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，直线QB的方程为y＝﹣3kx+m，
联立方程，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0，
根据根与系数可得，可得，所以，
同理，
所以，
，
所以．由m＞0，x0＞0，可得k＞0，
所以，当且仅当，取得等号，
所以，解得，
所以直线AB倾斜角的最小值为arctan．
21．（18分）已知无穷数列{an}，对于任意给定的正整数t，设不等式对任意n∈N*恒成立时t*的取值集合为T（t）．
（1），求集合T（2）；
（2）若{an}为等差数列，公差为d，求T（t）；
（3）若对任意t≥2，t∈N*，T（t）均为相同的单元素集合，证明：数列{an}为等差数列．
解：（1）因为，T（2）为满足不等式的t*构成的集合，
所以有：n2﹣4≥t*（n﹣2），对任意n∈N*恒成立
当n＞2时，上式可化为n+2≥t*，
所以5≥t*．
当n＝1时，上式可化为3≤t*．
所以T（2）为[3，5]．
（2）若{an}为等差数列，公差为d，所以
当n＞t时，t*≤d
当n＜t时，t*≥d
所以t*＝d，所以T（t）＝{d}
（3）对于数列{an}，若对任意t≥2，t∈N*，T（t）中均只有同一个元素，不妨设为a．
下面证明数列{an}为等差数列．
当n＝t+1时，at+1﹣at≥a对任意t≥2恒成立；
当n＝t﹣1时，有at﹣at﹣1≤a对任意t≥2恒成立，所以at+1﹣at≤a对任意t≥2恒成立；
所以at+1﹣at＝a对任意t≥2恒成立
所以数列x1，x2，…，xn，…为等差数列．