2021年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷含答案解析

这是一份2021年上海市徐汇区南洋模范中学高考数学三模试卷含答案解析，共18页。试卷主要包含了填空题.，选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市徐汇区南模中学高考数学三模试卷
一、填空题（共12小题）.
1．若＝，x+y＝　 　．
2．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是　 　cm3．

3．函数y＝lgsin2x的单调递减区间为　 　．
4．函数的零点为　 　．
5．已知实数x、y满足条件，z＝x+yi（i为虚数单位），则|z﹣7+3i|的最小值是　 　．
6．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8＝2021，则a1的最小值是　 　．
7．现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，则长方体的高h的取值范围是　 　．
8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　 　cm2．

9．已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为　 　．
10．平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为φ，则．类比该特性：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为θ，则θ＝　 　．
11．已知正六边形ABCDEF，M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得，当r＝　 　时，B、M、N三点共线．

12．已知数列{an}、{bn}满足：，bn+1bn﹣1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在a1的取值范围为　 　．
二、选择题（共4小题）.
13．下列函数中，与函数y＝x3的值域相同的函数为（　　）
A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+
14．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*，其前n项和Sn＝，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
16．已知递增正整数数列{an}满足，则下列结论中正确的有（　　）
（1）a1、a2、a3可能成等差数列；
（2）a1、a2、a3可能成等比数列；
（3）{an}中任意三项不可能成等比数列；
（4）当n≥3时，an+2＞an+1an恒成立．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题
17．（理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝1，∠ABC＝，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．
（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；
（2）求点M到平面ADN之间的距离．

18．已知函数是偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，求实数k的取值范围．
19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C、D分别落在直线BC下方点M、N处，FN交边BC于点P）再沿直线PE剪裁，若设∠EFP＝θ．
（1）试用θ表示PF的长，并求出θ的取值范围；
（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由．

20．已知椭圆，圆Q：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0的圆心Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2，过点P作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求直线l的方程；
（3）若S△AQB＝t•tan∠AQB，求t的取值范围．

21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}，C＝{c1，c2，…，cn}，且满足c1＜c2＜…＜cn，ak+bk＝ck，k＝1，2，…，n，则称集合P为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；
（Ⅲ）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n∈N*}，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（n∈N*）．


参考答案
一、填空题（共12小题）.
1．若＝，x+y＝　0　．
解：∵＝，
∴x2+y2＝﹣2xy
∴（x+y）2＝0
∴x+y＝0
故答案为0
2．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是　6　cm3．

解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个梯形，
梯形的上底是1，下底是2，高是2，
∴梯形的面积是
四棱柱的高是2，
∴四棱柱的体积是2×3＝6
故答案为：6
3．函数y＝lgsin2x的单调递减区间为　[kπ+，kπ+)，k∈Z　．
解：函数y＝lgsin2x的单调递减区间，即t＝sin2x＞0时，函数t的减区间．
再利用正弦函数的图象和性质可得，2kπ+≤2x＜2kπ+π，求得kπ+≤x＜kπ+，k∈Z，
故答案为：[kπ+，kπ+），k∈Z．
4．函数的零点为　　．
解：函数的零点即为方程的根，
方程可变形为12﹣4x（4x﹣1）﹣10（4x﹣1）＝0，
令t＝4x，则t＞0，
所以12﹣t（t﹣1）﹣10（t﹣1）＝0，即t2+9t﹣22＝0，解得t＝2或t＝﹣11（舍），
故4x＝2，解得，
所以函数的零点为．
故答案为：．
5．已知实数x、y满足条件，z＝x+yi（i为虚数单位），则|z﹣7+3i|的最小值是　4　．
解：由约束条件作出可行域如图，

由于z＝x+yi，∴|z﹣7+3i|的几何意义为可行域内的动点到定点P（7，﹣3）的距离．
∵PA与直线x＝3垂直，则|z﹣7+3i|的最小值是4．
故答案为：4．
6．已知等差数列{an}的各项均为正整数，且a8＝2021，则a1的最小值是　5　．
解：设等差数列{an}的公差为d（d∈N+），由a8＝a1+7d，得a1＝2021﹣7d；
由于2021＝7×288+5，所以a1＝7×288+5﹣7d＝7（288﹣d）+5，即当d＝288时，a1有最小值5．
故答案为：5．
7．现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，则长方体的高h的取值范围是　[4π，+∞）　．
解：设长方体的底面长为x，则宽为4﹣x，
∴底面积为S＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）．
∴当x＝2时，Smax＝4，则S∈（0，4]．
∴圆柱的底面积的范围为S∈（0，4]．
又圆柱的体积为16π，
由Sh＝16π，得h＝∈[4π，+∞），
又长方体与圆柱的高相等，可得长方体的高h的取值范围是[4π，+∞）．
故答案为：[4π，+∞）．
8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为　704　cm2．

解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
由题意可得：，
解得：r＝，
所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．
故答案为：704．

9．已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为　　．
解：∵的展开式中的第4项为xn﹣6，为常数项，∴n＝6，
故展开式的系数为，r＝0，1，2，3，4，5，6，其中，有4项为奇数，3项为偶数，
故从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 ，
故答案为：．
10．平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为φ，则．类比该特性：在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为θ，则θ＝　　．
解：∵“平面内，若三条射线OA、OB、OC两两成等角为ϕ，则”
我们可类比推理出：
在空间，若四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角为θ，则θ＝．
故答案为：．
11．已知正六边形ABCDEF，M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得，当r＝　　时，B、M、N三点共线．

解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB＝1，
由于得，
则A（0，0），B（1，0）C（，），
E（0，），
设M的坐标为（x，y），＝r＝（ r，r），∴M（ r，r）．
同理可求，N的坐标是（（1﹣r），(1+r))，
∴＝（ r﹣1，r），＝（﹣，(1+r))，
∵B，M，N三点共线，
∴∥，则（﹣1)×(1+r)﹣×()＝0，
化简得，3r2＝1，解得r＝，
故答案为：．

12．已知数列{an}、{bn}满足：，bn+1bn﹣1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2，若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在a1的取值范围为　、、、、　．
解：因为bn+1bn﹣1＝bn（n≥2），
所以，对任意的n∈N*有bn+5＝＝＝＝bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6．
且b1＝1，b2＝2，b3＝2，b4＝1，b5＝，b6＝，这六个数的和为7．
设cn＝a6n+i（n∈N）（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以cn+1﹣cn＝a6n+6+i﹣a6n+i＝b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5＝7（n∈N），
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，
设fk＝＝＝＝+（其中n＝6k+i，k≥0，i为{1，2，3，4，5，6}中一个常数），
当ai＝i时，对任意的n＝6k+i，有＝，
当ai≠i时，fk+1﹣fk＝﹣＝（ai﹣i）•，
（i）若ai＞i，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，所以数列{}为递减数列，
（ii）若ai＜i，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，所以数列{}为递增数列．
故只需ai≠i，i∈{1，2，3，4，5，6}即可满足题意，
因为a2＝a1+b1＝a1+1，a3＝a2+b2＝a1+3，a4＝a3+b3＝a1+5，a5＝a4+b4＝a1+6，a6＝a5+b5＝a1+，
所以a1≠，a1+1≠，a1+3≠，a1+5≠，a1+6≠，a1+≠7，
所以a1≠，a1≠，a1≠，a1≠﹣，a1≠﹣．
故答案为：、、、、．
二、选择题
13．下列函数中，与函数y＝x3的值域相同的函数为（　　）
A．y＝（）x+1 B．y＝ln（x+1） C．y＝ D．y＝x+
解：∵函数y＝x3的值域为实数集R，
又选项A中y＞0，选项B中y取全体实数，选项C中的y≠1，选项D中y≠0，
故选：B．
14．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z＝2．
∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．
故选：A．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*，其前n项和Sn＝，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
解：∵数列{an}的通项公式为，
∴，可得

即1﹣＝，解之得n＝9．
∴双曲线的方程为，得a＝，b＝3
因此该双曲线的渐近方程为y＝，即．
故选：C．
16．已知递增正整数数列{an}满足，则下列结论中正确的有（　　）
（1）a1、a2、a3可能成等差数列；
（2）a1、a2、a3可能成等比数列；
（3）{an}中任意三项不可能成等比数列；
（4）当n≥3时，an+2＞an+1an恒成立．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：由题可知＝，
∵{an}是递增正整数数列，∴an+1≥an+1，
当an+1＝an+1时，，
与题意矛盾，故an+1≥an+2，当an+1＝an+2时，{an}成等差数列，故（1）正确；
∵an+1≥an+2，∴a1≥2,a2≥4,a3≥6，若a1、a2、a3成等比数列，则有,
∴＝，∴a2+1＝a3，与题设不符，故（2）错误；
同理，若an﹣1,an,an+1成等比数列，则，
∴＝，与题设不符，故（3）正确；
当n≥3时，∵且an+1≥an+2，
∴＝，故（4）正确．
故选：D．
三、解答题
17．（理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝1，∠ABC＝，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．
（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；
（2）求点M到平面ADN之间的距离．

解：（1）设AB的中点为E，连接EN，
则EN∥AC，且，
所以∠MNE或其补角即为异面直线MN与AC所成的角．…3分
连接ME，在Rt△MEN中，…5分
所以异面直线MN与AC所成的角为arctan2．…6分
（2）因为AB＝AC＝1，，所以AB⊥AC，
以点A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则：，，…8分
设平面AND的一个法向量为
则
所以平面ADN的一个法向量为．…10
又，
所以点M到平面OAD的距离．…12分．


18．已知函数是偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）因为函数即f（x）＝m•2x+2﹣x是定义域为R的偶函数，
所以有f（﹣x）＝f（x），
即m•2﹣x+2x＝m•2x+2﹣x，
即（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0恒成立，
故m＝1．
（2）f（x）＝＞0，3k2+1＞0，
且2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，
故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，
又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），
所以，
从而≥，即有3k2﹣4k+1≤0，
因此，．
19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C、D分别落在直线BC下方点M、N处，FN交边BC于点P）再沿直线PE剪裁，若设∠EFP＝θ．
（1）试用θ表示PF的长，并求出θ的取值范围；
（2）若使剪裁得到的四边形MNPE面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由．

解：（1）如图，过点 P 作 AD 的垂线，垂足为 H，

若∠EFP＝θ，则∠EFD＝θ，∠PFH＝π﹣2θ，
所以 ，所以 ，
当 E，C 两点重合时，此时 ，
所以 ，
又因为点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处，
要使得 C 点落在直线 BC 的下方，只需 即可，
要使得 D 点落在直线 BC 的下方，
此时要满足 ，即 ，
又即 ，解得 ，
所以 ，
综上所述，θ 的取值范围为 ．
于是 ．
（2），
所以四边形 MNPE 的面积为 ＝
＝，
当且仅当 ，即 时取“＝“，此时，
答：当 时，沿直线 PE裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为 ．
20．已知椭圆，圆Q：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0的圆心Q在椭圆C上，点P（0，1）到椭圆C的右焦点的距离为2，过点P作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求直线l的方程；
（3）若S△AQB＝t•tan∠AQB，求t的取值范围．

解：(1)因为椭圆的右焦点F(c,0),|OP|＝1,|PF|＝2,
所以|OF|＝＝，即c＝,
所以a2﹣b2＝3,①
因为圆Q：x2+y2﹣4x﹣2y+3＝0的圆心Q坐标为(2,1),
又因为点Q在椭圆上，
所以+＝1,②
联立①②解得a2＝6,b2＝3,
所以椭圆C的方程为+＝1．
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
设直线l的方程为y＝kx+1,
联立,得(1+2k2)x2+4kx﹣4＝0,
所以x1+x2＝,x1x2＝,
所以|AB|＝|x1﹣x2|＝
＝,
＝＝，
因为|AB|＝，
所以＝,
化简得12k4﹣4k2﹣1＝0,
所以k2＝,
所以k＝±,
所以直线l的方程为x﹣y+＝0或x+y﹣＝0．
(3)S△AQB＝t•tan∠AQB＝|QA||QB|sin∠AQB,
所以t＝|QA||QB|cos∠AQB＝•
＝(x1﹣2,y1﹣1)•(x2﹣2,y2﹣1)＝(x1﹣2)(x2﹣2)+(y1﹣1)(y2﹣1)
＝x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2﹣(y1+y2)+1
＝x1x2﹣2(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)﹣[(kx1+1)+(kx2+1)]+1
＝(1+k2)x1x2+4﹣2(x1+x2)
＝(1+k2)•+4+
＝2+2•,
设4k﹣1＝m,则k＝,
当m＝0时，•＝2，则t＝1,
当m≠0时，•＝2+2•＝2+2•＝2+2•,
若m＞0时，m+≥2＝6,当且仅当m＝3时，取等号，
所以•≤4,t≤×4＝2,
所以0＜t≤2,
若m＜0时，m+≤﹣2＝﹣6,当且仅当m＝﹣3时，取等号，
所以•≥﹣2,﹣1＜t≤0,
所以t的取值范围为[﹣1,0)∪(0,2]．
21．已知集合P的元素个数为3n（n∈N*）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即P＝A∪B∪C，A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，其中A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}，C＝{c1，c2，…，cn}，且满足c1＜c2＜…＜cn，ak+bk＝ck，k＝1，2，…，n，则称集合P为“完美集合”．
（Ⅰ）若集合P＝{1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5，6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；
（Ⅱ）已知集合P＝{1，x，3，4，5，6}为“完美集合”，求正整数x的值；
（Ⅲ）设集合P＝{x|1≤x≤3n，n∈N*}，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n＝4k或n＝4k+1（n∈N*）．
解：（Ⅰ）将P分为{1}，{2}，{3}满足条件，是完美集合．将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1＝c1，a2+b2＝c2；Q中所有元素之和为21，21÷2＝10.5＝c1+c2，不符合要求．
（Ⅱ）若集合A＝{1，4}，B＝{3，5}，根据完美集合的概念知集合C＝{6，7}；
若集合A＝{1，5}，B＝{3，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{4，11}；
若集合A＝{1，3}，B＝{4，6}，根据完美集合的概念知集合C＝{5，9}；
故x的可能值为：7，9，11中任一个．
（Ⅲ）证明：P中所有元素之和为：
1+2+3+…+3n＝＝a1+b1+c1+a2+b2+c2+…+an+bn+cn+＝2（c1+c2+…+cn）；
∵cn＝3n；
∴＝c1+c2+…+cn﹣1+3n；
∴c1+c2+…+cn﹣1＝；
等式左边为正整数，则等式右边9n（n﹣1）可以被4整除；
∴n＝4k或n﹣1＝4k（n∈N*），即n＝4k或n＝4k+1（n∈N*）．