2022年上海交通大学附属中学5月高三高考模拟（二）数学试卷含答案解析

2022届上海交大附中高考数学模拟试卷（二）

数学

一、填空题（本大题共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分）

1. 已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．

2. 已知集合，则___________．

3. 函数（）为奇函数，则___________.

4. 已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则___________．

5. 已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为___________．

6. 已知实数满足，若，则的最大值为___________．

7. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为___________．

8. 受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于元，则可行的搭配方案种类数量为___________．

9. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且直线与双曲线没有交点，则的取值范围是__________．

10. 已知矩形是矩形内一点，且到距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为__________．

11 设实数且，已知函数，则__________．

12. 已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．

二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）

13. 已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

14. 设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（    ）

A.  B.

C  D.

15. 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 设是定义在非空集合上函数，且对于任意的，总有．对以下命题：

命题：任取，总存在，使得；

命题：对于任意的，若，则．

下列说法正确的是（    ）

A. 命题均为真命题

B. 命题为假命题，为真命题

C. 命题为真命题，为假命题

D. 命题均假命题

三、解答题（本大题共76分）

17. 已知正四棱柱，其中．

（1）若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．

（2）求点到平面的距离

18. 已知函数，其中

（1）若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；

（2）若，求函数在上的最小值；

19. 自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．

（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）

（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）

20. 已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．

（1）若的坐标为，求四边形的面积；

（2）若与椭圆相切于且，求的值；

（3）作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．

21. 设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．

（1）判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；

（2）已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；

（3）设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“㞷点数列”，试用表示．

2022届上海交大附中高考数学模拟试卷（二）

数学

一、填空题（本大题共54分，其中1-6题各4分，7-12题各5分）

1. 已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．

【答案】##

【分析】利用复数的减法化简可得结果.

【详解】.

故答案为：.

2. 已知集合，则___________．

【答案】

【分析】求得再求交集即可

【详解】；

故答案为：

3. 函数（）为奇函数，则___________.

【答案】

【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.

【详解】若函数为奇函数，则，

即，

即对任意的恒成立，则，

得.

故答案为：.

4. 已知方程组的增广矩阵为，若方程组有无穷组解，则___________．

【答案】

【分析】分别求得，，，令求解即可

【详解】，而

要使，则，解得；

故答案为：

5. 已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为___________．

【答案】

【分析】根据二项式系数的性质可确定所求的展开式中的项，从而可求其系数.

【详解】对给定，二项式系数中最大为，

故在所对应的展开式中的项为，其系数为，

故答案：

6. 已知实数满足，若，则的最大值为___________．

【答案】5

【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数的几何意义即可求解.

【详解】根据约束条件，作出可行域如图所示，通过直线的平移，可知当经过点 时，；

故答案为：

7. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的值为___________．

【答案】6

【分析】根据等比数列的通项公式，将题中所给的条件转化为关于首项和公比的关系式，化简求值，得到，之后将待求式子转化为关于的关系式，代入求得结果.

【详解】可知，

则；

故答案为：6.

8. 受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于元，则可行的搭配方案种类数量为___________．

【答案】

【分析】对所选荤菜与素菜种类进行分类讨论，采用列举法与组合计数原理可求得结果.

【详解】首先假设两荤一素的情形，则只可能选择荤食①荤食②素食①的组合，

接着假设一荤两素的情形，

若选择荤食①，此时由于任选两种素食的价格均不超过元，共种；

若选择荤食②，则只可能选择素食①素食②或素食①素食③两种，

总计种．

故答案为：

9. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且直线与双曲线没有交点，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】过原点的直线与标准的双曲线没有交点，则该直线的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率

【详解】过双曲线的右焦点F作FA垂直于渐近线，如下图所示：

双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得：（其中）

易知：，

又直线与双曲线没有交点，则只需直线的斜率大于或等于渐近线的斜率

可得：

解得：

故答案为：

10. 已知矩形是矩形内一点，且到的距离为2．若将矩形绕顺时针旋转，则线段扫过的区域面积为__________．

【答案】##

【分析】由题可得线段扫过的区域为圆锥的侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可

【详解】线段AP扫过的区域面积即为以为半径，母线长为的圆锥的侧面积的即，故；

故答案为：

11. 设实数且，已知函数，则__________．

【答案】1

【分析】根据题意计算，进而根据求解即可

【详解】，

而，则；

故答案为：1

12. 已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；

【详解】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题：

由，为锐角，

同时由余弦定理，

而实际上表示的是OA的延长线．

故，而，则与的夹角．

可知，随着的增大，也在增大，则在减小，

由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可．

第一种极限情况，当与A重合时，

第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，，

由于恒成立，则，则k的最小值为．

故答案为：

二、选择题（本大题共20分，每小题各5分）

13. 已知，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【分析】利用不等式的基本性质即可求解

【详解】∵，，∴，则选项不正确；

当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；

∵,∴，∴，则选项正确；

故选：.

14. 设，为随机事件，为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【分析】类比集合的运算，四个选项逐一分析即可判断

【详解】对于A，阴影部分表示，故A错误；

对于B，阴影部分表示，故B错误；

对于C，阴影部分表示，故C正确；

对于D，阴影部分表示，故D错误.

故选：C

15. 设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【分析】由，再分和分别求解可得，再根据与的关系，逐个选项代入判断即可

【详解】已知方程为一元二次方程，则．

首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论．

第一种情况，若，即，则，

解得．

第二种情况，若，即，则，

解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立．

而．

若，则均符合要求；

若，则仅有符合要求；

若，则均符合要求；

若则没有符合要求的项；

故选：B

16. 设是定义在非空集合上的函数，且对于任意的，总有．对以下命题：

命题：任取，总存在，使得；

命题：对于任意的，若，则．

下列说法正确的是（    ）

A. 命题均为真命题

B. 命题为假命题，为真命题

C. 命题为真命题，为假命题

D. 命题均为假命题

【答案】B

【分析】先判断命题p为假，再利用反证法证明命题即可

【详解】命题p显然是错的，下分析命题q为真命题．

关注到的任意性，不妨设，则，这是很重要的一点．

若，易知，若，则可验证S为无限集．

上述为分析过程，下利用反证法进行证明．

不妨假设，而由于，由定义，，

则，与假设矛盾．

故选：B

三、解答题（本大题共76分）

17. 已知正四棱柱，其中．

（1）若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．

（2）求点到平面的距离

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）根据与平面平行，直接求解三棱锥的体积即可；

（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量与，再根据线面距离的空间向量方法求解即可

【小问1详解】

实际上需求三棱锥体积．

由正四棱柱，

角形的面积为

因为P是棱上的动点且与平面平行，则只需写出与平面间的距离即可．

由于平面，不妨记三棱锥的高为

则三棱锥的体积

【小问2详解】

以D为原点，如图建立空间直角坐标系．

则

可知

设平面的法向量为

则

不妨设，同时设点到平面的距离为d

则

故点到平面的距离为

18. 已知函数，其中

（1）若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；

（2）若，求函数在上的最小值；

【答案】（1）；   

（2）

【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.

（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.

【小问1详解】

可知，

因为直线是图象的一条对称轴，故，

解得，而，故，则，

则周期，

再令，则，

故的递减区间为.

【小问2详解】

可知

因为，故，

则在即取最小值，其最小值为.

19. 自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．

（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）

（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）

【答案】（1）小时   

（2）6.5

【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；

（2）当时，令，，再令，面积由基本不等式求得最值； 当时，，利用单调性可得的最大值，再比较可得答案．

【小问1详解】

由于，则，

当时，，

解得，

当时，，

即产生有效作用的时间段为，

故产生有效作用的时间为小时．

【小问2详解】

当时，令，则，

同时，

再令，则，

面积，

由基本不等式，，

当且仅当时等号成立，

则在上的最大值为，

当时，，

则此时在是单调递减的，

则最大值时取到，，

综上所述，在上的最大值为6.5．

20. 已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．

（1）若的坐标为，求四边形的面积；

（2）若与椭圆相切于且，求的值；

（3）作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在；；

【分析】（1）根据点斜式方程可得，再联立椭圆方程得到，再根据求解即可；

（2）设，根据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到，再根据，化简可得，进而得到，再根据直角三角形中的关系求解的值即可；

（3）设，表达出，再根据列式化简可得，结合与椭圆的方程即可求得和直线的方程

【小问1详解】

由题意，，故，所以

与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故解得，代入椭圆方程可得，故且

则

【小问2详解】

由于直线PN的斜率必存在，则设

与椭圆方程联立，可得：

由相切，，则

同时有韦达定理，代入有，化简得，故

而，解得

则，所以轴，故直角三角形中，

【小问3详解】

由于N与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知

四边形是平行四边形，则与是平行的，

故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d．

设，其中，易验证，当时，与之间的距离为，不合要求，设，则，即，

发现当时，，即，整理得

代入得：，代入整理得，即由于，所以，代入椭圆方程有，故，

则的直线方程为

21. 设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．

（1）判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；

（2）已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；

（3）设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“㞷点数列”，试用表示．

【答案】（1）不是；理由见解析   

（2）   

（3）

【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可；

（2）首先可得，再依题意中只存在，即可得到当且仅当时，，其余均为，从而求出，再利用数列极限的概念计算可得；

（3）首先判断，利用反证法证明，即可得到，从而得解；

【小问1详解】

解：对于，由于，

则存在，不满足定义，故不是坠点数列．

对于，容易发现，

即在前4项中只有．而对于起，

由于，即对于是恒成立的．

故是“3坠点数列” ．

【小问2详解】

解：由绝对值定义，．

又因为是“5坠点数列”，则中只存在且．

则当且仅当时，，其余均为

故可分类列举：

当时，，

当时，，…，

分组求和知：

当时，，则

当时，

则当时，

则

【小问3详解】

解：结论：

经过分析研究发现：

下利用反证法予以证明．不妨设，首先研究．

由于为“q坠点数列”，则只存在，即

而对于且，则有，即

故在中有且仅有一项，其余项均大于0

又因为为“p坠点数列”，则有且仅有

同时，，

这与是矛盾的，则且

则，

故．