2022-2023学年重庆市綦江区未来学校联盟八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年重庆市綦江区未来学校联盟八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各组数中能作为直角三角形三边的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

6.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

9.  下列说法中正确的是(    )

A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 四边相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形

10.  如图，▱中，，，为上一点，为中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11.  ______ ．

12.  如图，菱形对角线、相交于点，，，则菱形的边长为            ．
 

13.  如图，中，，平分交于点，点为的中点，连接，则的长是______ ．

14.  如图，在中，，点是边的中点，，，则的长为______ ．

15.  如图，两个边长为的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为______．

16.  如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于______ ．

17.  如图，在正方形中，点、分别在边，上，与交于点若，，则的长是______．

18.  对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为最佳拆分点例如，，则称是一个矩数，为的最佳拆分点把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，，例如，，，则若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为，当时，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
如图，四边形是矩形，连接、交于点，平分交于点．
用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接，；保留作图痕迹，不写作法，不写结论
求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是矩形
，
______
平分，平分
，
______
在和中

______
______
又
四边形是平行四边形

21.  本小题分
已知，如图，在四边形中，，点，为对角线上两点，且，，求证：．

22.  本小题分
某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高元，用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍．
求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？
如果该单位计划购买甲，乙两种物品共件，且总费用不超过元，求最多能购买甲物品多少件？

23.  本小题分

如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

24.  本小题分
如图，在四边形中，，过对角线的中点作分别交边，于点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的面积．

25.  本小题分
如图，四边形中，平分，于点，，求证：．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足一动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；动点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为秒．
求、两点的坐标；
当为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时、两点的坐标；
当为何值时，是以为腰的等腰三角形？并求出、两点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

解：、该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
本题主要考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

解：．，不是最简二次根式，不符合题意；
B.，不是最简二次根式，不符合题意；
C.，不是最简二次根式，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义即可进行解答．
本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义．最简二次根式根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母不含有根号．
 

3.【答案】 

解：由题意可知：，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
 

4.【答案】 

解：，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
B.，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
C.，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
D.，能作为直角三角形三边长度，符合题意．
故选：．
直接根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

解：、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C、，，四边形内角和为，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

解：矩形的对角线，相交于点，
，，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

解：．与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意；
B.，计算错误，故不符合题意；
C.，计算错误，故不符合题意；
D.，计算正确，故符合题意．
故选：．
根据二次根式的减法、乘法可进行求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
 

8.【答案】 

解：原式


，
，
，
．
故选：．
根据乘法的分配律以及二次根式的运算，进行计算后，再进行估算即可．
本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，掌握二次根式的混合运算的方法是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边相等的四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

解：在菱形中，与互相垂直平分，
点、关于对称，
连接，则就是所求的的最小值的线段，
为的中点，，
，
，
的最小值为．
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分，点关于的对称点是点，连接，最小值，然后解直角三角形即可求解．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到三角形中位线定理和解直角三角形，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

解：原式
．
故答案为：．
利用实数的乘方法则和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，实数的乘方和零指数幂的意义，熟练掌握实数的乘方法则和零指数幂的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
由菱形中对角线、相交于点，若，，即可求得与的长，然后由勾股定理求得菱形的边长．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：四边形是菱形，且，，
，，，
．
故答案为：．  

13.【答案】 

解：，平分，
，
点为的中点，，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

14.【答案】 

解：，点是斜边的中点，
，
，
，
在中，
由勾股定理得．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出，再根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

解：如图，连接、，则，

，
是正方形，为正方形的中心，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案是：．
连接、，证明≌，得阴影部分的面积等于的面积，再由的面积与正方形的面积的关系求得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积．
 

16.【答案】 

解：四边形为矩形，，，
，，，，
由折叠可知，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据矩形的性质得，，，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键．
 

17.【答案】 

解：四边形是正方形，
，．
，
．
即．
在与中，
．
≌．
．
．
．
．
．
在中，
．
，
．
故答案为：．
利用正方形的性质证明≌，得到，再根据等量代换求出，最后利用根据，求出的长．
本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，其中利用等积式求线段的长是解题的关键．
 

18.【答案】 

解：根据题意可得：，，
，
，即，
整理得：，
、均为正整数，且，
、均为正整数，且，
，
或或或，
解得：或或或，
、均为正整数，
或，
或，
，
的最小值为；
故答案为：．
先根据题意可写出和，根据可整理出，然后根据、均为正整数和，可列出或或或，分别解出和的值，然后根据、均为正整数，可得出或，推出或，根据，推出的最小值为．
本题考查了因式分解与新定义结合的题型，解题关键：一是写出，二是根据推出相应的和的值．
 

19.【答案】解：

；




． 

【解析】先计算零指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可；
根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】    ≌   

【解析】解：图形如图所示：


证明：四边形是矩形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
在和中
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
故答案为：，，≌，．
利用尺规作出图形即可；
证明≌，推出，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
． 

【解析】首先证明≌可得，再由条件可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，即可证明．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲物品的单价是元，乙物品的单价是元．
设购买件甲物品，则购买件乙物品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多能购买甲物品件． 

【解析】设乙物品的单价是元，则甲物品的单价是元，利用数量总价单价，结合用元单独购买甲物品的数量是用元单独购买乙物品数量的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入中，可求出甲物品的单价；
设购买件甲物品，则购买件乙物品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：连结，
在中，，米，米，由勾股定理得：米，
，，
，
，
该区域面积平方米，
即铺满这块空地共需花费元． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理，三角形面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出区域的面积．
 

24.【答案】解：证明：，
．
在和中，
，
≌．
，
又，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，
．
在中，
，
，
，
． 

【解析】运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知，，只需要证明即可，用全等三角形得出；
菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形可求、的长度．
本题主要考查三角形全等的判定及性质、菱形的判定、面积计算等知识，考查推理论证的能力．
 

25.【答案】解：过点作，交的延长线于点，如图所示：
则，
平分，，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质可得，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，再证明≌，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，，
故B；
由题意得：，，

则：，，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
；
当时，过作，
由题意得：，
解得：，
故，；
当时，过作轴，
由题意得：，，
则，
解得：，，
故 ，，． 

【解析】此题主要考查了二次根式的非负性，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是注意分类讨论，不要漏解．
根据二次根式的性质得出，的值进而得出答案；
由题意得：，，，，根据平行四边形的判定可得，再解方程即可；
当时，，解方程得到的值，再求点坐标；当时，由题意得：，，进而得到方程，再解方程即可．