高考专攻八 圆锥曲线中的证明、探索性问题课件PPT

这是一份高考专攻八 圆锥曲线中的证明、探索性问题课件PPT，共48页。PPT课件主要包含了特训点1，特训点2，特训点3，特训点4，∴x0＝m2等内容，欢迎下载使用。

1．圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．2．“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，证明：k1＋k2＝0.
特训点 1　数量关系的证明　【师生共研类】
(2)已知直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x＝my＋4，技巧：直线方程的设法，若直线过x轴上定点，且需要考虑斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m，避免讨论．
k1＋k2＝0得证．解题反思：证明代数式为定值，依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．
(1)求椭圆的方程．(2)过点P(0，1)作椭圆的两条弦AB，CD(A，C分别位于第一、二象限)．若AD，BC与直线y＝1分别交于点M，N.求证：|PM|＝|PN|.
(2)由题意，可设直线AB：y＝k1x＋1，CD：y＝k2x＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，M，N点的横坐标为xM，xN，
∴(xM－x1)(1－y4)－(xM－x4)(1－y1)＝0，将y1－1＝k1x1，y4－1＝k2x4代入并整理可得(k2x4－k1x1)xM＝(k2－k1)x1x4，又y1≠y4，即k2x4－k1x1≠0，
特训点 2　位置关系的证明　【师生共研类】
[解题指导](1)利用离心率以及焦点的坐标→求出a和c的值→求出b的值→椭圆的标准方程．(2)先证明充分性，设直线MN的方程→利用圆心到直线的距离公式求出m的值→联立直线与椭圆的方程→求出|MN|即可；再证明必要性，设直线MN的方程→由圆心到直线的距离公式求出m和t的关系→联立直线与椭圆的方程→求出|MN|，得到方程→求出m和t的值→得到直线MN必过点F→结论．
可得(t2＋3)y2＋2tny＋n2－3＝0，则Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24，
因为直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，
故M，N，F三点共线，所以必要性得证．
树立“转化”意识，证明位置关系，关键是将位置关系转化为代数关系．
(1)求椭圆C的方程；(2)过F点作相互垂直的弦DE，MN，设DE，MN的中点分别为P，Q，当△FPQ的面积最大时，证明：点P，Q关于x轴对称．
解：(1)设F(－c，0)，∵点A，B为过点F且垂直于x轴的直线与C的交点，
(2)证明：由题意得直线DE，MN的斜率均存在，
设直线DE的方程为y＝k(x＋1)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，
可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝144k2＋144>0，
∴点P，Q关于x轴对称，即得证．
典例3　(2022·长沙模拟预测)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
特训点 3　拆解法求参数的取值范围　【师生共研类】
解：(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
设点P的横坐标为xP.
当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM时，四边形OAPB为平行四边形，
存在性问题的求解方法(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤：①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；②列出关于待定系数的方程(组)；③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程．(2)若经过定点Q(6，0)的直线l与曲线T相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线，与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，设直线l的方程为x＝my＋6，联立抛物线方程可得y2－4my－24＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，
∴x1＋x2＝4m2＋12，x1x2＝36.假设存在N(x0，y0)，使得NA⊥NB，
∴代入化简可得(m2＋6)(3m2－2)＝0，
(1)求椭圆C的方程．(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
特训点 4　含参数的存在性问题　【师生共研类】
在方程③中，令x＝4，得M的坐标为(4，3k)，
故存在常数λ＝2符合题意．
字母参数值存在性问题的求解方法求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程．
(1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C.
(2)由题设可知，M，N两点一个在椭圆外，一个在椭圆内；P，Q两点一个在圆F2内，一个在圆F2外．在直线l上的四点满足|NQ|－|MP|＝(|NQ|＋|NP|)－(|MP|＋|NP|)＝|PQ|－|MN|＝|PQ|－1.