2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市蜀山区琥珀中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　）

A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为5：12：13
B．三边长之比为3：4：5
C．三内角之比为1：3：4
D．三边长的平方之比为1：2：3
5．估算的结果（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
6．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．2﹣
7．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（　　）
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
8．若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2
9．空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　）

A．有一种围法 B．有两种围法
C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
10．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1＝3，则S2的值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．计算÷＝　 　．
13．如图是某路口草坪的一角（∠ACB＝90°），当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道在草坪内走出了一条不该有的“捷径”AB．某学习实践小组通过测量得AC的长约为5米，BC的长约为12米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　 　米．

14．设α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的两个根，则（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝　 　．
15．如图，正方体盒子的棱长为，O为AE的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 　 　．

16．已知实数a≠b≠c，且满足＝a+3，＝b+3．请解决下列问题：
（1）当c＝﹣1时，a+b的值为 　 　；
（2）当c＞0时，的值为 　 　．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）x（x﹣2）＝1．
19．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝9m，DA＝12m，BC＝8m，CD＝17m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？

20．阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
22．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 　 　件，每件商品盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．
23．△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠BDC＝135°．连接BD，将△BDC沿BD翻折得△BDE，连接AE．
（1）请根据题意，在图1中补全图形；
（2）求证△ADE是直角三角形；
（3）若，，求AE的长．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝＝2，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．如图，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是（　　）

A．勾股定理
B．三角形内角和定理
C．勾股定理的逆定理
D．直角三角形的两锐角互余
【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，即可得得出结论．
解：若AB2+BC2＝AC2，
则△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的乘法，加法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、2﹣＝，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、+＝2，故C不符合题意；
D、×＝2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为5：12：13
B．三边长之比为3：4：5
C．三内角之比为1：3：4
D．三边长的平方之比为1：2：3
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
解：A、三内角之比为5：12：13，最大内角是，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三内角之比为1：3：4，最大内角是，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长的平方之比为1：2：3，1+2＝3，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．估算的结果（　　）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．
解：∵16＜23＜25，
∴4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4．
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
6．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．2﹣
【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
解：连接AD，如图所示：
∵AD＝AB＝2，
∴DE＝＝，
∴CD＝2﹣；
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
7．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小小同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．据此规律，当a＝45时，b的值是（　　）
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数；由表格中的规律，得到c＝b+1，由a2+b2＝c2，即可求出b的值．
解：由表格中的数据得：a2+b2＝c2，c＝b+1，
∴a2+b2＝（b+1）2，
当a＝45时，452+b2＝（b+1）2，
∴b＝1012．
故选：B．
【点评】本题考查勾股数，关键是掌握表格中数的变化规律．
8．若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的性质列出算式，计算即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，
∴m﹣2≠0且（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2≥0，
解得m≤4且m≠2，
故m的取值范围m≤4且m≠2．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．空地上有一段长为a米的旧墙AB，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若a＝18，S＝194，则（　　）

A．有一种围法 B．有两种围法
C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
【分析】设矩形ABCD的边AC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米，根据矩形面积公式列方程，解方程即可求解．
解：如图所示，设矩形ABCD的边AC为x米，则宽DC为（40﹣2x）米，

根据题意得：（40﹣2x）x＝194，
即：﹣2x2+40x＝194，
解得：x1＝10+，x2＝10﹣，
而40﹣2x≤18，
∴x≥11，
∴x＝10+
所以只有一种围法，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
10．勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1＝3，则S2的值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】设Rt△ABC的直角边AC＝a，BC，BA＝c．得到S2＝（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣（a+b）c+ab，S1＝（a+b﹣c）2＝3，由完全平方公式，勾股定理，即可求解．
解：设Rt△ABC的直角边AC＝a，BC，BA＝c．
∴a2+b2＝c2，
∵面积为S2的矩形的长和宽分别是c﹣a，c﹣b，
∴S2＝（c﹣a）（c﹣b）＝c2﹣（a+b）c+ab，
∵面积为S1的正方形的边长是a﹣（c﹣b）＝a+b﹣c，
∴S1＝（a+b﹣c）2＝3，
∴a2+b2+c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝3，
∴2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝3，
∴c2﹣（a+b）c+ab＝1.5，
∴S2＝1.5．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，完全平方公式，多项式的乘法，关键是应用勾股定理，完全平方公式进行计算．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥3　．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．计算÷＝　　．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
解：原式＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．如图是某路口草坪的一角（∠ACB＝90°），当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道在草坪内走出了一条不该有的“捷径”AB．某学习实践小组通过测量得AC的长约为5米，BC的长约为12米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 　4　米．

【分析】由勾股定理求出AB＝13米，即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5米，BC＝12米，
∴AB＝＝＝13（米），
∴AC+BC﹣AB＝5+12﹣13＝4（米），
∴提示牌上的“多行数步”是指多行4米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
14．设α，β是方程x2﹣2023x﹣3＝0的两个根，则（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）＝　10　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得α2﹣2023α＝3，β2﹣2023β＝3，然后代入求值即可．
解：由题意知，α2﹣2023α＝3，β2﹣2023β＝3，
∴（a2﹣2023α﹣1）（β2﹣2023β+2）
＝（3﹣1）×（3+2）
＝2×5
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
15．如图，正方体盒子的棱长为，O为AE的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 　　．

【分析】先把图中展开，根据勾股定理求出CO的长即可．
解：如图，连接CO，则线段CO的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，
∵正方体的棱长为2，O为AE的中点，
∴∠Q＝90°，QO＝2，CQ＝3，
由勾股定理得CO＝＝，
答：蚂蚁需爬行的最短路程为，
故答案为：．

【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，以及线段的性质：两点之间线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．
16．已知实数a≠b≠c，且满足＝a+3，＝b+3．请解决下列问题：
（1）当c＝﹣1时，a+b的值为 　﹣3　；
（2）当c＞0时，的值为 　2　．
【分析】（1）根据＝a+3，＝b+3，可知a2+3a﹣c＝0，b2+3b﹣c＝0，进一步可知a，b是一元二次方程x2+3x+1＝0的两个根，根据根与系数的关系求解即可；
（2）根据＝a+3，＝b+3，a2+3a﹣c＝0，b2+3b﹣c＝0，进一步可知a，b是一元二次方程x2+3x﹣c＝0的两个实数根，且a≠b，根据根与系数的关系可得a+b＝﹣3，ab＝﹣c，从而可得a2+b2的值，进一步计算即可．
解：（1）∵＝a+3，＝b+3，
∴a2+3a﹣c＝0，b2+3b﹣c＝0，
∵c＝﹣1，
∴Δ＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∵a≠b，
∴a，b是一元二次方程x2+3x+1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（2）∵＝a+3，＝b+3，
∴a2+3a﹣c＝0，b2+3b﹣c＝0，
∵c＞0，
∴Δ＝9+4c＞0，
∴a，b是一元二次方程x2+3x﹣c＝0的两个实数根，且a≠b，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣c，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9+2c，
∴＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分52分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可．
解：（1）
＝4﹣3+
＝；

（2）
＝1×2﹣1×+2﹣（）2
＝2﹣+2﹣2
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）x（x﹣2）＝1．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1；
（2）x（x﹣2）＝1，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
19．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝9m，DA＝12m，BC＝8m，CD＝17m．
（1）求出空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？

【分析】（1）连接BD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，四边形ABCD面积等于三角形ABD面积+三角形BCD面积，求出即可；
（2）由（1）求出的面积，乘以350即可得到结果．
解：（1）连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝92+122＝152，
在△CBD中，CD2＝172，BC2＝82，
而82+152＝172，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC，
＝•AD•AB+DB•BC
＝×12×9+×15×8
＝114（平方米）；
答：空地ABCD的面积114（平方米）；
（2）需费用114×350＝39900（元），
答：总共需投入39900元．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
20．阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道，
例题：求的值．
解：设x＝，两边平方得：
x2＝（）2＝（）2+（）2+2（）（），
即，x2＝10，
∴x＝±．
∵，∴．
请利用上述方法，求的值．
【分析】根据给定的方法求解即可．
解：设x＝，
则＝＝8﹣6＝2，
∴x＝±，
∵＜0，
∴＝．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，代入x1+x2﹣4x1x2＝2得出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣k﹣1）
＝4k2+1﹣4k+4k+4
＝4k2+5＞0，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出：x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝﹣k﹣1，
由x1+x2﹣4x1x2＝2得：﹣（2k﹣1）﹣4（﹣k﹣1）＝2，
解得：k＝﹣1.5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
22．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 　2x　件，每件商品盈利 　（40﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1500元，设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣500＜0，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利1500元．
解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1500，
整理得：y2﹣30y+350＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×350＝﹣500＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠BDC＝135°．连接BD，将△BDC沿BD翻折得△BDE，连接AE．
（1）请根据题意，在图1中补全图形；
（2）求证△ADE是直角三角形；
（3）若，，求AE的长．

【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据折叠的性质，可得∠BDE＝∠BDC＝135°，根据∠ADE＝∠BDE﹣∠BDA，即可得证；
（3）设AB＝2x，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程，求出x的值，可得AD＝AB＝2，根据折叠的性质可得DE＝DC＝1，再根据勾股定理可得AE的长．
【解答】（1）解：补全图形如下：

（2）证明：∵∠BDC＝135°，
∴∠BDA＝45°，
根据折叠的性质，可得∠BDE＝∠BDC＝135°，
∴∠ADE＝∠BDE﹣∠BDA＝135°﹣45°＝90°，
∴△ADE是直角三角形；
（3）设AB＝2x，
∵，，
∴AC＝3x，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得，
解得x＝1，
∴AB＝2，AC＝3，
∵∠BAC＝90°，∠BDA＝45°，
∴∠ABD＝45°，
∴AD＝AB＝2，
∴DC＝AC﹣AD＝3﹣2＝1，
根据折叠的性质，可得DE＝DC＝1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AE＝＝．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．